2011年淄博市中考数学真题及解析.doc

答案与评分标准
一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置上．第1～8小题每题3分，第9～12小题每题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．
1、（2011•淄博）2011年4月28日，国家统计局公布了第六次全国人口普查结果，总人口为1 339 000 000人，将1 339 000 000用科学记数法表示为（　　）
A、1.339×108 B、13.39×108
C、1.339×109 D、1.339×1010
考点：科学记数法—表示较大的数。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：1 339 000 000=1.339×109．
故选：C．
点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2、（2011•淄博）计算2m2n﹣3m2n的结果为（　　）
A、﹣1 B、﹣
C、﹣m2n D、﹣6m4n2
考点：合并同类项。
专题：计算题。
分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变计算即可．
解答：解：2m2n﹣3m2n=（2﹣3）m2n=﹣m2n．
故选C．
点评：本题考查了合并同类项的法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，易于掌握．
3、（2011•淄博）下列等式不成立的是（　　）
A、6•=6 B、
C、 D、
考点：二次根式的混合运算。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的混合运算依次计算，再进行选择即可．
解答：解：A、6•=6，故本选项错误；
B、=2，故本选项正确；
C、=，故本选项错误；
D、﹣=2=，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了二次根式的混合运算，是基础知识比较简单．
4、（2011•淄博）由方程组可得出x与y的关系式是（　　）
A、x+y=9 B、x+y=3
C、x+y=﹣3 D、x+y=﹣9
考点：解二元一次方程组。
分析：由①得m=6﹣x，代入方程②，即可消去m得到关于x，y的关系式．
解答：解：
由①得：m=6﹣x
∴6﹣x=y﹣3
∴x+y=9．
故选A．
点评：本题考查了代入消元法解方程组，是一个基础题．
5、（2011•淄博）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A、a﹣3＜b﹣3 B、﹣2a＞﹣2b
C、 D、a＞b﹣1
考点：不等式的性质。
分析：根据不等式的性质分别进行判断即可．
解答：解：∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3；﹣2a＜﹣2b；＞；a＞b＞b﹣1，
所以A、B、C选项都错误，D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向．
6、（2011•淄博）在1，2，3，﹣4这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=的图象在第二、四象限的概率是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：列表法与树状图法；反比例函数的性质。
专题：图表型；数形结合。
分析：四个数任取两个有12种可能．要使图象在第四象限，则k＜0，找出满足条件的个数，除以12即可得出概率．
解答：解：依题意共有12种，
要使图象在二、四象限，则k＜0，
满足条件的有6种，
因此概率为=．
故选B．
点评：本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7、（2011•淄博）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=1，BD平分∠ABC，BD⊥CD，则AD+BC等于（　　）

A、2 B、3
C、4 D、5
考点：等腰梯形的性质。
分析：由AD∥BC，BD平分∠ABC，易证得△ABD是等腰三角形，即可求得AD=AB=1，又由四边形ABCD是等腰梯形，易证得∠C=2∠DBC，然后由BD⊥CD，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得∠DBC=30°，则可求得BC的值，继而求得AD+BC的值．
解答：解：∵AD∥BC，AB=DC，
∴∠C=∠ABC，∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB=1，
∴∠C=2∠DBC，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠C=90°，
∴∠C=60°，∠DBC=30°，
∴BC=2CD=2×1=2，
∴AD+BC=1+2=3．
故选B．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
8、（2011•淄博）一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（　　）

A、75cm2 B、（25+25）cm2
C、（25+）cm2 D、（25+）cm2
考点：解直角三角形；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：过G点作GH⊥AC于H，则∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=10cm，先在Rt△GCH中根据等腰直角三角形三边的关系得到GH与CH的值，然后在Rt△AGH中根据含30°的直角三角形三边的关系求得AH，最后利用三角形的面积公式进行计算即可．
解答：解：过G点作GH⊥AC于H，如图，
∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=10cm，
在Rt△GCH中，GH=CH=GC=5cm，
在Rt△AGH中，AH=GH=cm，
∴AC=（5+）cm，
∴两个三角形重叠（阴影）部分的面积=•GH•AC
=×5×（5+）
=（25+）cm2．
故选C．
点评：本题考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形．也考查了含30°的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系以及旋转的性质．
9、（2011•淄博）下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图象解方程5x﹣1=2x+5，其中正确的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：一次函数与一元一次方程；一次函数的性质。
专题：推理填空题。
分析：把x=0代入解析式求出直线与y轴的交点，再根据k的值判断y随x的增大而增大还是减小即可判断选项．
解答：解：5x﹣1=2x+5，
∴实际上求出直线y=5x﹣1和 y=2x+5的交点坐标，
把x=0分别代入解析式得：y1=﹣1，y2=5，
∴直线y=5x﹣1与Y轴的交点是（0，﹣1），和y=2x+5与Y轴的交点是（0，5），
∴直线y=5x﹣1中y随x的增大而增大，故选项C、D错误；
∵直线y=2x+5中y随x的增大而增大，故选项A正确；选项B错误；
故选A．
点评：本题主要考查对一次还是的性质，一次函数与一元一次方程的关系等知识点的理解和掌握，能根据一次函数与一元一次方程的关系进行说理是解此题的关键．
10、（2011•淄博）已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（　　）
A、 B、
C、﹣1 D、1
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，再整体代入即可．
解答：解：原式=
=，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
点评：本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．
11、（2011•淄博）如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（　　）

A、4 B、
C、 D、5
考点：圆锥的计算；相切两圆的性质。
分析：首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．
解答：解：∵AB=4，∠B=90°，
∴==2π，
∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，
∴⊙O的周长为2π，
∴⊙O的半径为1，
∴AD=BC=BE+EC=4+1=5，
故选B．
点评：本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式．
12、（2011•淄博）根据右图中已填出的“√”和“×”的排列规律，把②、③、④还原为“√”或“×”且符合右图的排列规律，下面“”中还原正确的是（　　）

A、 B、
C、 D、
考点：规律型：图形的变化类。
分析：根据已知可以得出规律：上面若是一对一错，下面就是是错号，上面两个若都是对号，下面也是对号，上面两个都是错号，下面也是对号，利用图形分别分析即可得出答案．
解答：解：根据已知可以得出规律：
上面若是一对一错，下面就是错号，上面两个若都是对号，下面也是对号，上面两个都是错号，下面也是对号，
依此规律可从下往上推出，∵④与右侧的对号下面是对号，
∴④这个位置是对号，
∵②的上面为一对一错，∴②代表的是错号，
∵①与右侧错号的下面是错号，
∴①是对号，
∵①与它的左侧是一错一对，
∴③是错号，
故选：C．
点评：此题主要考查了图形的变化规律，根据已知发现规律类似正负数积的符号确定方法是解决问题的关键．
二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13、写出一个大于3且小于4的无理数　π（答案不唯一）　．
考点：无理数。
专题：开放型。
分析：根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
解答：解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
点评：本题考查的是无理数的定义，此题属开放性题目，答案不唯一，只要写出的答案符合题意即可．
14、（2011•淄博）方程x2﹣2=0的根是　±．
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根，直接得出答案即可．
解答：解：移项得x2=2，
∴x=±．
故答案为：±．
点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
15、（2011•淄博）某校九年级二班的学生在植树节开展“植树造林，绿化城市”的活动，本次活动结束后，该班植树情况的部分统计图如下所示，那么该班的总人数是　40　人．

考点：条形统计图；扇形统计图。
专题：应用题。
分析：从条形统计图得到植树4株的人数为5人，从扇形统计图得植树4株的人数占总人数的12.5%，则该班的总人数=5÷12.5%．
解答：解：∵植树4株的人数为5人，占总人数的12.5%，
∴该班的总人数=5÷12.5%=40（人）．
故答案为40．
点评：本题考查了条形统计图：条形统计图反映了各小组的总数；也考查了扇形统计图：扇形统计图反映各小组所占总体的百分比．
16、（2011•淄博）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．

考点：锐角三角函数的定义。
分析：根据已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行线分线段成比例定理得出==，进而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．
解答：解：∵正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴==，
∵HC=3，
∴PC=3，
∴PH=6，
∴tan∠NPH===，
故答案为：．

点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义以及平行线分线段成比例定理等知识，根据已知得出PH的长再利用锐角三角函数的定义求出是解决问题的关键．
17、（2011•淄博）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF=．

考点：正方形的性质；解直角三角形。
分析：延长BF交CD于H．根据勾股定理求得AC的长，根据ASA可以证明△ABE≌△BCH，则CH=BE=1，再根据相似三角形的性质解．
解答：解：延长BF交CD于H．
在正方形ABCD中，正方形的边长是2，根据勾股定理，得AC=2．
∵AB=BC，∠ABE=∠BCH=90°，∠BAE=∠CBH，
∴△ABE≌△BCH，
∴CH=BE=1．
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CHF，
∴=2，
∴CF=AC=．
故答案为．

点评：此题综合运用了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，综合性较强．
三、解答题：本大题共7小题，共60分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18、（2011•淄博）计算：（﹣2）3+2×（﹣3）．
考点：有理数的混合运算。
专题：计算题。
分析：先进行乘方运算﹣2的3次方等于﹣8，然后进行乘除运算，最后进行加减运算．
解答：解：原式=﹣8﹣6
=﹣14．
点评：本题考查了有理数的混合运算：先去括号，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算．
19、（2011•淄博）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数．

考点：平行线的判定与性质。
专题：应用题。
分析：根据平行线的判定得出AB∥CD，从而得出∠3=∠4，即可得出答案．
解答：解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠4=75°（两直线平行，内错角相等）．
点评：本题主要考查了平行线的判定与性质，比较简单．
20、（2011•淄博）“十年树木，百年树人”，教师的素养关系到国家的未来．我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为100分，并按2：3：5的比例折合纳入总分，最后，按照成绩的排序从高到低依次录取．该区要招聘2名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节，这6名选手的各项成绩见下表：
序号
1
2
3
4
5
6
笔试成绩
66
90
86
64
65
84
专业技能测试成绩
95
92
93
80
88
92
说课成绩
85
78
86
88
94
85
（1）笔试成绩的极差是多少？
（2）写出说课成绩的中位数、众数；
（3）已知序号为1，2，3，4号选手的成绩分别为84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用？为什么？
考点：加权平均数；中位数；众数；极差。
专题：图表型。
分析：（1）根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值求解即可．
（2）根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）根据加权平均数的计算方法求出5号和6号选手的成绩，进行比较即可．
解答：解：（1）笔试成绩的最高分是90，最低分是64，
∴极差=90﹣64=26．
（2）将说课成绩按从小到大的顺序排列：78、85、85、86、88、94，
∴中位数是（85+86）÷2=85.5，
85出现的次数最多，∴众数是85．
（3）5号选手的成绩为：65×0.2+88×0.3+94×0.5=86.4分；
6号选手的成绩为：84×0.2+92×0.3+85×0.5=86.9分．
∵序号为1，2，3，4号选手的成绩分别为84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，
∴3号选手的成绩最高，应被录取．
点评：本题考查加权平均数、中位数、众数和极差的知识，属于基础题，比较容易解答，注意对这些知识的熟练掌握．
21、（2011•淄博）已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．

考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）连接OE．欲证直线EF是⊙O的切线，只需证明EF⊥AC．利用等边三角形的三个内角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的内角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°，从而判定OE∥AC，所以由已知条件EF⊥AC判定OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；
（2）连接DF．设⊙O的半径是r．由等边三角形的三个内角都是60°、三条边都相等、以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半求得关于r的方程4﹣r=2（4r﹣4），解方程即可．
解答：解：（1）证明：连接OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°；
在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，
∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°（三角形内角和定理），
∴∠BOE=∠A=60°，
∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；

（2）连接DF．
∵DF与⊙O相切，
∴∠ADF=90°．
设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4﹣r，AD=4﹣2r．
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴AF=2AD=8﹣4r．
∴FC=4r﹣4；
在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，
∴4﹣r=2（4r﹣4），
解得，r=；
∴⊙O的半径是．

点评：本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22、（2011•淄博）如图1，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上的一点，BD＞CD，将△ABC沿AD剪开，拼成如图2的四边形ABDC′．
（1）四边形ABDC′具有什么特点？
（2）请同学们在图3中，用尺规作一个以MN，NP为邻边的四边形MNPQ，使四边形MNPQ具有上述特点（要求：写出作法，但不要求证明）．

考点：作图—复杂作图；等腰三角形的性质。
分析：（1）根据等腰三角形的性质得出AB=DC′，∠B=∠C′；
（2）根据（1）中四边形的特点按要求作出即可．
解答：解：（1）四边形ABCD中，AB=DC′，∠B=∠C′，
（2）作法：①延长NP；
②以点M为圆心，MN为半径，交NP的延长线于点G；
③以点P为圆心，MN为半径画弧，以点M为圆心，PG为半径画弧，两弧交于点Q；
④连接MQ，PQ；
四边形MNPQ是满足条件的四边形．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及复杂图形作法，根据已知分别作出以点M为圆心，MN为半径和以点P为圆心，MN为半径画弧作出是解决问题的关键．
23、（2011•淄博）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
考点：一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质。
专题：应用题。
分析：（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，
m2﹣4（﹣）=0，
（m﹣1）2=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，
解得x1=x2=0.5，
∴菱形的边长是0.5cm；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
∴▱ABCD的周长=2×（2+0.5）=5cm．
点评：综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．
24、（2011•淄博）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），与直线y=x交于点A（﹣2，﹣2），B（2，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且MN=，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）把C的坐标代入求出c的值，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可求出抛物线的解析式；
（2）以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，当M在OA上，N在OB上时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，求出N的横坐标，求出ND、MD，根据勾股定理求出m即可．
解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），
代入得：c=﹣2，
∴y=ax2+bx﹣2，
把A（﹣2，﹣2），B（2，2）代入得：，
解得：，
∴y=x2+x﹣2，
答：抛物线的解析式是y=x2+x﹣2．

（2）解：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形．理由如下：
∵M、N在直线y=x上，
∴OP=PM，OQ=QN，
只有M在OA上，N在OB上时，ON=OM时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，
过M作MC⊥y轴于C，交NQ的延长线于D，
∵MN=，M点的横坐标为m，
∴N的横坐标是﹣m，
MD=ND=|2m|，
由勾股定理得：（2m）2+（2m）2=，
∵m＜0，
m=﹣．
答：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，m的值是﹣．
点评：本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能用待定系数法求二次函数的解析式和得到MD=ND=|2m|是解此题的关键．

21