2009年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）.doc

2009年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）如果向东走80m记为+80m，那么向西走60m记为（　　）
A．﹣60m B．|﹣60|m C．﹣（﹣60）m D．m
【微点】正数和负数．
【思路】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解析】解：“正”和“负”相对，所以，如果向东走80m记为“+80m”，那么向西走60m记为“﹣60m”．
故选：A．
【点拨】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（3分）点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【微点】关于原点对称的点的坐标．
【思路】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解析】解：∵点P（﹣2，1）关于原点对称，
∴点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．
故选：C．
【点拨】这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．
3．（3分）如图中的正五棱柱的左视图应为（　　）

A． B．
C． D．
【微点】简单几何体的三视图．
【思路】左视图是从物体左面看所得到的图形．
【解析】解：从正五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B．
【点拨】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．
4．（3分）2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（　　）
A．0.156×10﹣5 B．0.156×105 C．1.56×10﹣6 D．1.56×106
【微点】科学记数法—表示较小的数．
【思路】科学记数法就是将一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数，为整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解析】解：0.00000156＝1.56×10﹣6．
故选：C．
【点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．
5．（3分）一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝（　　）

A．50cm B．25cm C．cm D．50cm
【微点】含30度角的直角三角形；切线的性质．
【思路】钢管放在V形架内，则钢管所在的圆与V形架的两边相切，根据切线的性质可知△OMP是直角三角形，且∠OPM＝∠OPN＝30°，根据三角函数就可求出OP的长．
【解析】解：∵圆与V形架的两边相切，
∴△OMP是直角三角形中∠OPN∠MPN＝30°，
∴OP＝2ON＝50CM．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了切线的性质定理，解题的关键是将此问题转化为解直角三角形的问题来解决．
6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示：则这些运动员成绩的中位数是（　　）
成绩/m
1.50
1.61
1.66
1.70
1.75
1.78
人数
2
3
2
1
5
1
A．1.66 B．1.67 C．1.68 D．1.75
【微点】中位数．
【思路】先求出14名运动员成绩的总和，再除以14即可．
【解析】解：根据图表可知题目中数据共有14个，故中位数是按从小到大排列后第7，第8两个数的平均数作为中位数．
故这组数据的中位数是（1.66+1.70）＝1.68．
故选：C．
【点拨】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个图表分析的不准确，没有考虑到共有14个数据而不是6个而错解．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．（3分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为60°的菱形，则剪口与折痕所成的角α的度数应为（　　）

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
【微点】菱形的性质；剪纸问题．
【思路】如图：折痕为AC与BD，∠ABC＝60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD＝30°，易得∠BAC＝60°．所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD∠ABC，∠BAC∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选：D．

【点拨】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，有助于提高学生的动手及立体思维能力．
8．（3分）小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“ⓧ”、“⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出“ⓧ”、“⊕”处的值分别是（　　）
A．ⓧ＝1，⊕＝1 B．ⓧ＝2，⊕＝1 C．ⓧ＝1，⊕＝2 D．ⓧ＝2，⊕＝2
【微点】解二元一次方程组．
【思路】把x，y的值代入原方程组，可得关于“ⓧ”、“⊕”的二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】解：将代入方程组，
两方程相加，得x＝⊕＝1；
将x＝⊕＝1代入方程x+ⓧy＝3中，得
1+ⓧ＝3，ⓧ＝2．
故选：B．
【点拨】要求学生掌握二元一次方程组常见解法，如加减消元法．
9．（3分）已知是正整数，则实数n的最大值为（　　）
A．12 B．11 C．8 D．3
【微点】二次根式的性质与化简．
【思路】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．
【解析】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n＝11．故选B．
【点拨】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的中心在原点，顶点A，C在反比例函数y的图象上，AB∥y轴，AD∥x轴，若ABCD的面积为8，则k＝（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【微点】反比例函数系数k的几何意义．
【思路】根据图形的对称性，设点A的坐标，可以表示出点C的坐标，进一步表示矩形的长和宽；再根据矩形的面积求得mn的值，进一步求得k的值．
【解析】解：设点A的坐标是（﹣m，n），则点C的坐标一定是（m，﹣n），
则AB＝2n，AD＝2m；
若ABCD的面积为8，
即2n•2m＝8，则mn＝2；
又点（﹣m，n）在函数y的图象上，
则k＝﹣mn＝﹣2．
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．注意：过反比例函数y的图象上任意一点，作以原点为中心的矩形ABCD，相对的顶点一定在双曲线的另一个分支上，矩形的面积等于4|k|．当k＞0时，面积是4k；当k＜0时，面积是﹣4k．反之，矩形面积是S时，当图象在一，三象限是k；当图象在二，四象限时，k．
11．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD＝4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE：AC＝（　　）

A．1：3 B．3：8 C．8：27 D．7：25
【微点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【思路】根据题意可得四边形ACED是等腰梯形，即求上底与下底的比值，作高求解．
【解析】解：从D，E处向AC作高DF，EH，垂足分别为F、H．
设AB＝4k，AD＝3k，则AC＝5k．
由△AEC的面积4k×3k5k×EH，得EHk；
根据勾股定理得CHk．
所以DE＝5kk×2．
所以DE：AC＝7：25．
故选：D．

【点拨】本题的关键是利用折叠的特点及三角形面积的计算，求得EH，CH的长，从而求得DE的长，然后求比值．
12．（3分）如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【微点】等腰直角三角形；直角梯形；扇形面积的计算．
【思路】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求阴影部分的面积．
【解析】解：连接O1O2，设圆O2的半径为x．

∵O1O22﹣AO12＝AO22，
∴（x）2﹣（）2＝（a﹣x）2，
解得：xa．
设⊙O1交BC于D，⊙O2交BC于E．
∴CE＝PExa，BCAB，CDABa，
∴S阴影＝S△ADC﹣S△CEP＝CD•AD•CE•PE•aaa2．
故选：D．
【点拨】本题的关键是理解经过一定的平移后，阴影部分的面积为直角梯形PEDA的面积．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）计算：（2a2）2＝　4a4　．
【微点】幂的乘方与积的乘方．
【思路】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．
【解析】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．
【点拨】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
14．（4分）如图，直线a∥b，l与a、b交于E、F点，PF平分∠EFD交a于P点，若∠1＝70°，则∠2＝　35　度．

【微点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【思路】利用两直线平行同位角相等、角平分线的性质及三角形外角和内角的关系计算．
【解析】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠EFD．
又∵PF平分∠EFD，
∴∠EFPEFD∠1．
∵∠1是△EFP的外角，
∴∠1＝∠2+∠EFP，
即∠2＝∠1﹣∠EFP＝∠1∠1∠170°＝35°．
【点拨】本题考查了角平分线的性质；解答此题的关键是要利用两直线平行同位角相等即∠1＝∠EFD，再根据角平分线的性质及三角形外角和内角的关系解答．
15．（4分）小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E，楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A＝30度．已知楼房高CD＝21米，且与树BE之间的距离BC＝30米，则此树的高度约为　3.7　米．（结果保留两个有效数字，1.732）

【微点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路】利用CD及相应的三角函数表示出AC长，减去BC即为AB，进而利用30°的正切函数求BE长．
【解析】解：根据题意可得：
AC21，
∴AB＝AC﹣BC＝2130．
∴树高BE＝AB×tan30°＝（2130）×tan30°≈3.7（米）．
【点拨】命题立意：考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．
16．（4分）一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是　　．

【微点】概率公式．
【思路】列举出所有情况，看花色完全搭配正确的情况占所有情况的多少即为所求的概率．
【解析】解：因为三个茶杯只有花色不同，两个盖杯随机地搭配在一起，共3×2＝6种结果，
所以其概率是．

法二：解：总共有6种搭配结果，依次是：第一种：杯1 盖1；杯2 盖2；杯3； 第二种：杯1 盖1；杯2；杯3盖2；第三种：杯1 盖2；杯2 盖1；杯3；第四种：杯1 盖2；杯2；杯3盖1；第五种：杯1；杯2 盖1；杯3盖2；第六种：第五种：杯1；杯2 盖2；杯3盖1；共6种搭配方式，只有第一种符合完全满足颜色正确搭配，
故概率为．
【点拨】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
17．（4分）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第　670　行第　3　列．

第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
3

第2行

6
5
4
第3行
7
8
9

第4行

12
11
10
…

【微点】规律型：数字的变化类．
【思路】每行有3列，奇数开始的从左边开始排列，偶数开始的从右边开始排列．每行的最后都是3的倍数．那么2009÷3＝669…2，说明2007排在669行的最后，2008应从670行第4列开始，那么2009应在第670行第3列．
【解析】解：∵2009÷3＝669…2，∴2007排在669行的最后，2008应从670行第4列开始，∴2009应在第670行第3列．
【点拨】解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．关键为：每行有3列，奇数开始的从左边开始排列，偶数开始的从右边开始排列，每行的最后都是3的倍数．
18．（4分）如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90°再向右平移2个单位的图形（其中C、D为所在小正方形边的中点）　答案如下图　．

【微点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．
【思路】本题主要是根据旋转的性质画图．即对应点旋转的角度相行，线段相等，然后再平移2个单元格即可
【解析】解：

【点拨】本题考查旋转变换作图，做这类题的关键是掌握平移旋转的性质
三、解答题（共7小题，满分60分）
19．（8分）（1）计算：（﹣1）2009+3（tan 60°）﹣1﹣|1|+（3.14﹣π）0；
（2）先化简，再选择一个合适的x值代入求值：．
【微点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路】（1）涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）考查分式的化简求值，应先化简再代入求值．
【解析】解：
（1）原式＝﹣1+3（）﹣1﹣（1）+1
＝﹣1+31+1
＝1；
（2）原式

．
取x＝0，则原式＝﹣1．
（注：x可取除±1，±外的任意实数，计算正确均可得分）
【点拨】（1）题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
（2）取合适的数代入求值时，要特别注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
20．（8分）新民场镇地处城郊，镇政府为进一步改善场镇人居环境，准备在街道两边植种行道树，行道树的树种选择取决于居民的喜爱情况．为此，新民初中社会调查小组在场镇随机调查了部分居民，并将结果绘制成如下扇形统计图，其中∠AOB＝126度．
请根据扇形统计图，完成下列问题：
（1）本次调查了多少名居民？其中喜爱柳树的居民有多少人？
（2）请将扇形统计图改成条形统计图（在图中完成）；
（3）请根据此项调查，对新民场镇植种行道树的树种提出一条建议．

【微点】扇形统计图；条形统计图．
【思路】（1）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．可求得“小叶榕”的比例为35%，进而求得调查居民的数目；最后计算出喜爱柳树的居民人数；
（2）根据比例计算出各部分的人数，将数据依次标在条形图中，就将扇形统计图改成条形统计图；（3）根据实际情况，提出建议即可．
【解析】解：
（1）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．可求得“小叶榕”的比例为
∵100%＝35%，
总人数为∴280÷35%＝800，800×（1﹣40%﹣35%﹣10%﹣10%）＝40，即本次调查了800名居民，其中喜爱柳树的居民有40人．

（2）如图．

（3）建议多植种香樟树．（注：答案不唯一）

【点拨】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【微点】根的判别式．
【思路】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△＝b2﹣4ac＞0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围；
（2）利用假设的方法，求出它的另一个根．
【解析】解：（1）∵△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）
＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4＝﹣8k+8，
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴﹣8k+8＞0，
解得k＜1，
即实数k的取值范围是k＜1；

（2）假设0是方程的一个根，
则代入原方程得02+2（k﹣1）•0+k2﹣1＝0，
解得k＝﹣1或k＝1（舍去），
即当k＝﹣1时，0就为原方程的一个根，
此时原方程变为x2﹣4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
所以它的另一个根是4．
【点拨】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
22．（8分）李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．
（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？
（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元/只，卖B种种兔可获利6元/只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．
【微点】一元一次不等式的应用．
【思路】（1）等量关系为：种种兔的数量增加了20只B＝种种兔的2倍少10只，据此列方程即可求解；
（2）关系式为：A种种兔少于B种种兔；共获利≥280，根据这两个不等关系列不等式组即可求解．
【解析】解：
（1）设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只，则由题意得
x+20＝2x﹣10
解得x＝30
即一年前李大爷共买了60只种兔．

（2）设李大爷卖A种兔y只，则卖B种兔30﹣y只，则由题意得
y＜30﹣y①
15y+（30﹣y）×6≥280②
解①得y＜15
解②得y
即y＜15．
∵y是整数，11.11
∴y＝12，13，14．
即李大爷有三种卖兔方案
方案一：卖A种种兔12只，B种种兔18只；可获利12×15+18×6＝288（元）；
方案二：卖A种种兔13只，B种种兔17只；可获利13×15+17×6＝297（元）；
方案三：卖A种种兔14只，B种种兔16只；可获利14×15+16×6＝306（元）．
显然，方案三获利最大，最大利润为306元．
【点拨】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的关系式和不等关系式组．利用不等式找出x的取值范围并根据实际意义求得x的值获取方案是常用的方法，要掌握．
23．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣x+c经过点Q（﹣2，），且它的顶点P的横坐标为﹣1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．

【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）横坐标为﹣1，那么1，再把点Q坐标代入即可．
（2）与x轴的交点，此时，函数值y＝0，可化为一元二次方程求解．
（3）易求得AB之间的距离，可设出一次函数的解析式，把P、B坐标代入即可求得过P、B的解析式，与y轴的交点就是OC的长．
【解析】解：（1）由题意得，
解得a，c．
∴抛物线的解析式为yx2﹣x．

（2）把y＝0代入yx2﹣x得：x2﹣x0，
整理得x2+2x﹣3＝0．
变形为（x+3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1．
∵抛物线与x轴的交点A点在x轴负半轴，B点在x轴正半轴，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（3）将x＝﹣l代入yx2﹣x中，
得y＝2，即P（﹣1，2）．
设直线PB的解析式为y＝kx+b，
将P（﹣1，2），B（1，0）代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝1．
即直线PB的解析式为y＝﹣x+1．
把x＝0代入y＝﹣x+1中，则y＝1，即OC＝1．
又∵AB＝AO+OB＝1+3＝4，
∴S△ABCAB×OC4×1＝2，即△ABC的面积为2．
【点拨】图象与x轴的交点的纵坐标为0；二次函数的顶点坐标为（，）；数轴上两点间的距离＝数轴右边的数减去左边的数．
24．（10分）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，AB与PC交于Q点．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若∠ABP＝15°，△ABC的面积为4，求PC的长．

【微点】等边三角形的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【思路】（1）由圆周角定理知，∠BAC＝∠BPC＝∠APC＝∠BPC＝60°，即可证明△ABC是等边三角形；
（2）过B作BD∥PA交PC于D，证得△AQP∽△BQD，，再证PB＝BD即可；
（3）通过作辅助线，构造等腰直角三角形求解．
【解析】（1）解：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）证明：如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP＝∠APC＝60°，
又∵∠AQP＝∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，
∴，
∵∠BPD＝∠BDP＝60°，
∴PB＝BD，
∴；

（3）解：设正△ABC的高为h，则h＝BC•sin60°．
∵BC•h＝4，
即BC•BC•sin60°＝4，
解得BC＝4，
连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC＝120°，从而得∠OCE＝30°，
∴，
由∠ABP＝15°得∠PBC＝∠ABC+∠ABP＝75°，
于是∠POC＝2∠PBC＝150°，
∴∠PCO＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM＝15°，则∠RNG＝30°，
作GH⊥RN，垂足为H．
设GH＝1，则cos∠GNM＝cos15°．
在Rt△GHN中，
NH＝GN•cos30°，GH＝GN•sin30°，
∴RH＝GH，MN＝RN•sin45°，
∴cos15°．
在图中，作OF⊥PC于F，
∴PC＝2CF＝2OC•cos15°．

【点拨】本题利用了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很强的综合性．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m＝n时，如图，求证：EF＝AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m＝tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．
【微点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；反证法；相似三角形的判定与性质．
【思路】（1）根据m＝n，我们可得出四边形AOBC应该是个正方形．要证EF＝AE，可通过构建全等三角形来实现，在OA上取点C，使AG＝BE，则OG＝OE．那么我们的目的就是证三角形ABE和EBF全等，这两个三角形中已知的条件只有AG＝BE，我们发现∠AGE和∠EBF都是90+45＝135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么这两组对应角就相等，构成了三角形全等的条件，于是EF＝AE了．
（2）可用反证法来求解，方法同（1）类似，也是通过构建全等三角形来求解．作FH⊥x轴于H，假设题目给出的条件成立，通过证明三角形AOE和EHF全等来得出线段相等，即AO＝EH，OE＝FH，根据FBH＝45°，设E（a，0）．那么FH＝BH＝OE＝a，那么不难得出EH＝EB+BH＝OE+EB＝m，又根据AO＝EH，m＝n，因此不存在点E．
（3）可根据相似三角形来得出线段之间的比例关系来求得．辅助线作法同（2），我们不难证得三角形AOE和FEH相似（根据同角的余角相等和一组直角即可得出相似），那么就能将EF＝（t+1）AE转换为FH＝（t+1）OE，根据相似我们还可得出关于AO、EH、OE、FH的比例关系，那么就能得出一个关于OE、FH、m、n的关系式，将这式子进行化简，即可得出OE与m、n的关系，便能求出E的坐标了．
【解析】解：
（1）由题意得m＝n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点G，使AG＝BE，
∵正方形OACB，OA＝OB，
∴OG＝OE．
∴∠EGO＝∠GEO（180°﹣90°）＝45°，从而∠AGE＝90°+45°＝135°．
由BF是外角平分线，得∠EBF＝135°，
∴∠AGE＝∠EBF．
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEB+∠AEO＝90°．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠EAO＝∠FEB，
在△AGE和△EBF中
∵
∴△AGE≌△EBF，
EF＝AE．

（2）假设存在点E，使EF＝AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由（1）知∠EAO＝∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH＝OE，EH＝OA．
∴点F的纵坐标为a，即FH＝a．
由BF是外角平分线，知∠FBH＝45°，
∴BH＝FH＝a．
又由C（m，n）有OB＝m，
∴BE＝OB﹣OE＝m﹣a，
∴EH＝m﹣a+a＝m．
又EH＝OA＝n，
∴m＝n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF＝AE成立．

（3）如（2）图，设E（a，0），FH＝h，则EH＝OH﹣OE＝h+m﹣a．
由∠AEF＝90°，∠EAO＝∠FEH，得△AOE∽△EHF，
∴EF＝（t+1）AE等价于FH＝（t+1）OE，即h＝（t+1）a，
且，即，
整理得nh＝ah+am﹣a2，
∴h．
把h＝（t+1）a代入得（t+1）a，
即m﹣a＝（t+1）（n﹣a）．
而m＝tn，因此tn﹣a＝（t+1）（n﹣a）．
化简得ta＝n，解得a．
∵t＞1，
∴n＜m，
故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．

【点拨】本题解题的关键是根据全等三角形的判定或相似三角形得出线段相等或成比例．

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