电子科大数值分析非线性方程求根公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx
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1、第二章第二章 非线性方程求根办法非线性方程求根办法第1页第1页第二章第二章 非线性方程求根办法非线性方程求根办法n n引言引言n n方程求根二分法方程求根二分法n n迭代法及其收敛性迭代法及其收敛性n nNewton迭代法迭代法第2页第2页n n方程是在科学研究中不可缺乏工具;方程是在科学研究中不可缺乏工具;方程是在科学研究中不可缺乏工具;方程是在科学研究中不可缺乏工具;n n方程求解是科学计算中一个主要研究对象;方程求解是科学计算中一个主要研究对象;方程求解是科学计算中一个主要研究对象;方程求解是科学计算中一个主要研究对象;n n几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程几百年前就已经找到
2、了代数方程中二次至五次方程几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程求解公式;求解公式;求解公式;求解公式;n n但是,对于更高次数代数方程当前仍无有效准确解但是,对于更高次数代数方程当前仍无有效准确解但是,对于更高次数代数方程当前仍无有效准确解但是,对于更高次数代数方程当前仍无有效准确解法;法;法;法;n n对于无规律非代数方程求解也无准确解法;对于无规律非代数方程求解也无准确解法;对于无规律非代数方程求解也无准确解法;对于无规律非代数方程求解也无准确解法;n n因此,研究非线性方程数值解法成为必定。因此,研究非线性方程数值解法成为必定。因此,研
3、究非线性方程数值解法成为必定。因此,研究非线性方程数值解法成为必定。2.1 引言引言第3页第3页非线性方程普通形式:非线性方程普通形式:非线性方程普通形式:非线性方程普通形式:f f(x x)=0 0代数方程:代数方程:代数方程:代数方程:f f(x x)=a=a0 0+a+a1 1x+ax+an nx xn n (a an n 0 0)超越方程超越方程:f f(x x)中含三角函数、指数函数、或其中含三角函数、指数函数、或其它超越函数。它超越函数。用数值办法求解非线性方程环节:用数值办法求解非线性方程环节:(1)找出隔根区间;(只含一个实根区间称隔根区)找出隔根区间;(只含一个实根区间称隔根
4、区间)间)(2)近似根准确化。从隔根区间内一个或多个点出)近似根准确化。从隔根区间内一个或多个点出发,逐次迫近,寻求满足精度根近似值。发,逐次迫近,寻求满足精度根近似值。第4页第4页2.2 方程求根二分法方程求根二分法n n定理定理定理定理1 1(介值定理)设函数(介值定理)设函数(介值定理)设函数(介值定理)设函数f f(x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 连续,连续,连续,连续,且且且且f f(a a)f f(b b)0)0)0,则则则则x x*在在在在x x0 0右侧,令右侧,令右侧,令右侧,令a a1 1=x x0 0,b b1 1=b b;(2 2)若)若)若)若f f
5、(x x0 0)f f(a a)0)0,则则则则x x*在在在在x x0 0左侧,令左侧,令左侧,令左侧,令a a1 1=a a,b b1 1=x x0 0。第5页第5页以以以以 a a1 1,b b1 1 为新隔根区间,且仅为为新隔根区间,且仅为为新隔根区间,且仅为为新隔根区间,且仅为 a a,b b 二分之一,对二分之一,对二分之一,对二分之一,对 a a1 1,b b1 1 重复前过程,得新隔根区间重复前过程,得新隔根区间重复前过程,得新隔根区间重复前过程,得新隔根区间 a a2 2,b b2 2,如此二分下去,得一系列隔根区间:如此二分下去,得一系列隔根区间:如此二分下去,得一系列隔根
6、区间:如此二分下去,得一系列隔根区间:a a,b b a a1 1,b b1 1 a a2 2,b b2 2 a ak k,b bk k 其中每个区间都是前一区间二分之一,故其中每个区间都是前一区间二分之一,故其中每个区间都是前一区间二分之一,故其中每个区间都是前一区间二分之一,故 a ak k,b bk k 长度:长度:长度:长度:当当当当k k趋于无穷时趋于趋于无穷时趋于趋于无穷时趋于趋于无穷时趋于0 0。即若二分过程无限继续下去,这些区间最后必收敛于即若二分过程无限继续下去,这些区间最后必收敛于即若二分过程无限继续下去,这些区间最后必收敛于即若二分过程无限继续下去,这些区间最后必收敛于一
7、点一点一点一点x x*,即方程根。即方程根。即方程根。即方程根。第6页第6页n n二分法性质:二分法性质:uuf(an)f(bn)0;uubn an=(b a)/2n实际计算中,若给定充足小正数实际计算中,若给定充足小正数实际计算中,若给定充足小正数实际计算中,若给定充足小正数 0 0和允许误差限和允许误差限和允许误差限和允许误差限 1 1,当,当,当,当|f f(x xn n)|)|0 0或或或或b bn n-a an n 1 1时,均可取时,均可取时,均可取时,均可取x x*x xn n。每次二分后,取有根区间中点每次二分后,取有根区间中点每次二分后,取有根区间中点每次二分后,取有根区间中
8、点x xk k=(a ak k+b bk k)/2)/2作为作为作为作为根近似值,则可得一近似根序列:根近似值,则可得一近似根序列:根近似值,则可得一近似根序列:根近似值,则可得一近似根序列:x x0 0,x x1 1,x x2 2,该序该序该序该序列必以根列必以根列必以根列必以根x x*为极限。为极限。为极限。为极限。第7页第7页n n定理定理2 设设设设x x*为方程为方程为方程为方程f f(x x)=0)=0在在在在 a a,b b 内唯一根,且内唯一根,且内唯一根,且内唯一根,且f f(x x)满满满满足足足足f f(a)(a)f f(b b)0)0,则由二分法产生第,则由二分法产生第
9、,则由二分法产生第,则由二分法产生第n n个区间个区间个区间个区间 a an n,b bn n 中点中点中点中点x xn n满足不等式满足不等式满足不等式满足不等式证实:证实:第8页第8页n n计算过程简朴,收敛性可确保;计算过程简朴,收敛性可确保;n n对函数性质要求低,只要连续即可。对函数性质要求低,只要连续即可。n n收敛速度慢;收敛速度慢;n n不能求复根和重根;不能求复根和重根;n n调用一次求解一个调用一次求解一个a,b间多个根无法求间多个根无法求得。得。二分法求解非线性方程优缺点:二分法求解非线性方程优缺点:第9页第9页n n不动点迭代法不动点迭代法n n不动点存在性与迭代法收敛
10、性不动点存在性与迭代法收敛性n n迭代收敛加速办法迭代收敛加速办法2.3 迭代法及其收敛性迭代法及其收敛性第10页第10页迭代法基本思想:迭代法基本思想:迭代法是一个逐次迫近办法,用某个固定公式重迭代法是一个逐次迫近办法,用某个固定公式重迭代法是一个逐次迫近办法,用某个固定公式重迭代法是一个逐次迫近办法,用某个固定公式重复校正根近似值,使之逐步准确化,最后得到满足复校正根近似值,使之逐步准确化,最后得到满足复校正根近似值,使之逐步准确化,最后得到满足复校正根近似值,使之逐步准确化,最后得到满足精度要求结果。精度要求结果。精度要求结果。精度要求结果。例:求方程例:求方程例:求方程例:求方程 x
11、x3 3-x x-1=0-1=0 在在在在 x x=1.5=1.5 附近一个根。附近一个根。附近一个根。附近一个根。解:将所给方程改写成解:将所给方程改写成解:将所给方程改写成解:将所给方程改写成假设初值假设初值假设初值假设初值x x0 0=1.5=1.5是其根,代入得是其根,代入得是其根,代入得是其根,代入得第11页第11页x x1 1 x x0 0,再将,再将,再将,再将x x1 1代入得代入得代入得代入得x x2 2 x x1 1,再将,再将,再将,再将x x2 2代入得代入得代入得代入得如此下去,这种逐步校正过程称为如此下去,这种逐步校正过程称为如此下去,这种逐步校正过程称为如此下去,
12、这种逐步校正过程称为迭代过程迭代过程迭代过程迭代过程。这里用公式称为这里用公式称为这里用公式称为这里用公式称为迭代公式迭代公式迭代公式迭代公式,即,即,即,即k k=0,1,2,=0,1,2,第12页第12页迭代结果见下表:迭代结果见下表:迭代结果见下表:迭代结果见下表:k k x xk k k k x xk k0 01 12 23 34 41.51.51.357211.357211.330861.330861.325881.325881.324941.324945 56 67 78 81.324761.324761.324731.324731.324721.324721.324721.324
13、72仅取六位数字,仅取六位数字,仅取六位数字,仅取六位数字,x x7 7与与与与x x8 8相同,即认为相同,即认为相同,即认为相同,即认为x x8 8是是是是方程根。方程根。方程根。方程根。x x*x x8 8=1.32472=1.32472第13页第13页2.3.1 不动点迭代法不动点迭代法n n将连续函数方程将连续函数方程将连续函数方程将连续函数方程f f(x x)0 0改写为等价形式:改写为等价形式:改写为等价形式:改写为等价形式:x=x=(x x)其中其中其中其中 (x x)也是连续函数,称为迭代函数。也是连续函数,称为迭代函数。也是连续函数,称为迭代函数。也是连续函数,称为迭代函数
14、。不动点不动点不动点不动点:若:若:若:若x x*满足满足满足满足f f(x*x*)=0 0,则则则则x*=x*=(x*x*);反之,若反之,若反之,若反之,若x*=x*=(x*x*),则,则,则,则f f(x*x*)=0 0 ,称,称,称,称x x*为为为为 (x x)一个不动点。一个不动点。一个不动点。一个不动点。不动点迭代不动点迭代不动点迭代不动点迭代:(k k=0,1,)=0,1,)若对任意若对任意若对任意若对任意 x x0 0 a a,b b,由上述迭代得序列由上述迭代得序列由上述迭代得序列由上述迭代得序列 x xk k,有极限,有极限,有极限,有极限则称迭代过程则称迭代过程则称迭代
15、过程则称迭代过程收敛收敛收敛收敛,且,且,且,且x x*=*=(x x*)*)为为为为 (x x)不动点。不动点。不动点。不动点。第14页第14页x2 x1 x0y=x几何意义:几何意义:第15页第15页n n但迭代法并不总令人满意,如将前述方程但迭代法并不总令人满意,如将前述方程但迭代法并不总令人满意,如将前述方程但迭代法并不总令人满意,如将前述方程x x3 3-x x-1=0-1=0改写为另一等价形式:改写为另一等价形式:改写为另一等价形式:改写为另一等价形式:此时称迭代过程此时称迭代过程发散发散。则有则有x1=2.375,x2=12.396,x3=1904,结果越来越大。结果越来越大。仍
16、取初值仍取初值x0=1.5,建迭代公式:建迭代公式:第16页第16页收敛收敛 发散发散 第17页第17页n n定理定理3(存在性)(存在性)设设(x)Ca,b且满足下列且满足下列两个条件:两个条件:uu(1)对于任意)对于任意x a,b,有,有a(x)b;uu(2 2)若)若(x)在在a,b一阶连续,且一阶连续,且存在常数存在常数0 0L1,使得对任意,使得对任意x a,b,成立成立|(x)|L则则(x)在在a,b上存在唯一不动点上存在唯一不动点x*。2.3.2 不动点存在性与迭代法收敛性不动点存在性与迭代法收敛性第18页第18页不动点存在性证实:不动点存在性证实:证:证:若若或或显然显然 (
17、x)有不动点;有不动点;不然,设不然,设则有则有(因(因a(x)b)记记则有则有故存在故存在x*使得使得即即x*即为不动点。即为不动点。第19页第19页不动点存在唯一性证实:不动点存在唯一性证实:设有设有 x1*x2*,使得使得则则其中,其中,介于介于 x1*和和 x2*之间。之间。由定理条件由定理条件可得可得矛盾!矛盾!故故 x1*=x2*,不动点唯一存在。,不动点唯一存在。第20页第20页定理定理4(全局收敛性)(全局收敛性)设设(x x)C a a,b b 且满足下列两个条件:且满足下列两个条件:则对任意则对任意x0 a a,b b,由由xn+1=(xn)得到迭代序列得到迭代序列xn 收
18、敛到收敛到(x x)不动点不动点x x*,并有误差预计:并有误差预计:(2)若若(x)在在a,b一阶连续,且存在常数一阶连续,且存在常数0L1,使得对任意使得对任意x a,b,成立,成立|(x)|L(1)对于任意)对于任意x a,b,有有a(x)b;第21页第21页(0L1)故迭代格式收敛。故迭代格式收敛。因此因此证实:证实:第22页第22页重复递推,可得误差预计式重复递推,可得误差预计式第23页第23页n n定义定义 设设(x)有不动点有不动点x*,若存在,若存在x*某邻域某邻域R:|x-x*|,对任意,对任意x0 R,迭代过程,迭代过程xk+1=(xk)产生序列产生序列xk R且收敛到且收
19、敛到x*,则称不动,则称不动点迭代法点迭代法xk+1=(xk)局部收敛局部收敛。定理定理定理定理4 4给出收敛性称全局收敛性,实际应用时给出收敛性称全局收敛性,实际应用时给出收敛性称全局收敛性,实际应用时给出收敛性称全局收敛性,实际应用时通常只在不动点通常只在不动点通常只在不动点通常只在不动点x x*邻近考察其收敛性,称局部收敛邻近考察其收敛性,称局部收敛邻近考察其收敛性,称局部收敛邻近考察其收敛性,称局部收敛性。性。性。性。第24页第24页n n证实证实证实证实:依据连续函数性质,因:依据连续函数性质,因:依据连续函数性质,因:依据连续函数性质,因 (x x)连续,存在连续,存在连续,存在连
20、续,存在x x*某邻某邻某邻某邻域域域域R R:|x-x*|x-x*|,对任意,对任意,对任意,对任意x x R R,|(x)|(x)|L L11,且,且,且,且|(x x)-x*|=|-x*|=|(x x)-(x*x*)|=|=|()|x-x*|x-x*|L|x-x*|L|x-x*|x-x*|x-x*|即对任意即对任意即对任意即对任意x x R R,总有总有总有总有 (x x)R R。由全局收敛性定义知,迭代过程由全局收敛性定义知,迭代过程由全局收敛性定义知,迭代过程由全局收敛性定义知,迭代过程 x xk k+1+1=(x xk k )对于任意初对于任意初对于任意初对于任意初值值值值x x0
21、 0 R R均收敛。均收敛。均收敛。均收敛。n n定理定理5(局部收敛性)(局部收敛性)设设x*为为(x)不动点,不动点,(x)在在x*某邻域连续,且某邻域连续,且|(x*)|11时称时称时称时称超线性收敛超线性收敛超线性收敛超线性收敛。且且且且r r 越大,收敛越快。越大,收敛越快。越大,收敛越快。越大,收敛越快。第28页第28页n n定理定理定理定理:设:设:设:设x x*为为为为x x=(x x )不动点,若不动点,若不动点,若不动点,若 (x x )满足:满足:满足:满足:uu(1 1)(x x )在在在在x x*附近是附近是附近是附近是p p次连续可微次连续可微次连续可微次连续可微(
22、p p1)1);uu(2 2)则迭代过程则迭代过程则迭代过程则迭代过程x xn n+1+1=(x xn n)在点在点在点在点x x*邻近是邻近是邻近是邻近是p p阶收敛。阶收敛。阶收敛。阶收敛。得得得得因此因此因此因此故故故故迭代过程迭代过程迭代过程迭代过程x xn n+1+1=(x xn n )p p阶收敛。阶收敛。阶收敛。阶收敛。n n证:证:证:证:由由Taylor公式公式第29页第29页假定假定假定假定 (x x )改变不大,近似取某个近似值改变不大,近似取某个近似值改变不大,近似取某个近似值改变不大,近似取某个近似值L L,则有,则有,则有,则有2.3.3 迭代收敛加速办法迭代收敛加
23、速办法一、一、Aitken加速收敛办法:加速收敛办法:由微分中值定理,有由微分中值定理,有由微分中值定理,有由微分中值定理,有同理同理同理同理两式相比,得两式相比,得两式相比,得两式相比,得第30页第30页类推可得类推可得类推可得类推可得故故故故上式即为上式即为上式即为上式即为AitkenAitken加速收敛办法迭代格式。加速收敛办法迭代格式。加速收敛办法迭代格式。加速收敛办法迭代格式。第31页第31页将将将将AitkenAitken加速技巧与不动点结合可得加速技巧与不动点结合可得加速技巧与不动点结合可得加速技巧与不动点结合可得或将其写为或将其写为二、二、Steffensen迭代法:迭代法:第
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