2020年甘肃省兰州市中考数学真题及答案.doc

2020年甘肃省兰州市中考数学真题及答案
一、 选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)
1.－2020的绝对值是( C )．

2.如图是有5个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是( A )．

A． B． C． D．

3.据中国电子商务研究中心（100EC．CN）发布《2020年度中国共享经济发展报告》显示，截止2020年12月，共有190家共享经济平台获得1159．56亿元投资．数据1159．56亿元用科学计数法可表示为（ C ）
A.1159．56×108元 B.11.5956×1010元
C.1.15956×1011元 D.1.15956×108元
4.下列二次根式中,是最简二次根式的是( B ).
A. B. C. D.
5如图,AB//CD,AD＝CD，∠1＝65°则∠2的度数是（ A ）
A．50°　　　　B．60°　　　　C．65°　　　　　D．70°

6.下列计算正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
7.如图,边长为4的等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的面积是（ A ）
A. B. C. D.
(第7题)
C
A
E
D
B

8.如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,BE//DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长度是（ C）
A. B． C． D．
A
B
C
D
E
F

9．如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F．若ABD＝48°，CFD＝40°，则E为（ B ）
A．102° B．112° C．122° D．92°
第11题图
x
O
y
-1
1
A
E
B
D
C
F

10．关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围为（ D ）
A. a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a－2 D．a＞1且a2

D.解析：化简得x＝a－1<0（x－1）即a>1且a2．

11．如图，已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：
①；②b－a＞c；
③．其中正确的结论有（ B ）
A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤
B.解析：开口向下，a<0，与y轴交点在上方，c>0，，即b>0，故；x＝－1时，y＝a－b＋c<0，故b－a>c；x＝2时，y＝4a＋2b＋c<0；是2到3之间的数x－1到0之间的数>－3，故3a<－c；⑤式化解得，，，无论m大于1还是1，该式总成立，故⑤成立，即答案为B．

12．如图，抛物线与x轴的交于点A、B，把抛物线在x轴即其下方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴的交于点B、D．若直线与C1、C2共有三个不同的交点，则m的取值范围是（ C ）
y
O
D
A
B
C2
C1

A. B.
C. D.
C.解析:在y＝中，令y＝0，解得x1＝9,x2＝5，∴点A，B的坐标分别为（9，0），（5，0）．∵C2是由C1向左平移得到的，∴点D的坐标为（1，0），C2对应的函数解析式为y＝＝（1≤x≤5）．当直线y＝与C2相切时，可知关于x的一元二次方程＝有两个相等的实数根，即方程x2－7x＋5－2m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（－7）2－4×1×（5－2m）＝0，解得m＝．当直线y＝过点B时，可得0＝，解得m＝．如图，故当<m<，直线y＝与C1，C2共有3个不同的交点．

二、 填空题：本大题共4小题，每小题3分，共24分．
13．因式分解：＝ ．

y(x＋y)(x－y)
14．不等式组的解集为 ．
－1<x<3.
15．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB的长是 ．
O
A
C
B

.
13. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AB交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是
．

N
第16题图
M
F
E
D
B
A
C

三、 解答题（本大题共11小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：．
解:．

18.解方程:．
解:移项,得3x2－2x＝2,
配方,得3（x－）2＝,
解得x1＝，x2＝ ．
19．先化简，再求值：，其中．

解:原式＝＝,代入得原式＝．
20. （6分）如图，在Rt△ABC中．
（1）利用尺度作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；
（2） 利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
C
A
B
第20题图

解:∠A的角平分线作法.作图略．

21．（7分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛帮助，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．

2次
0次
1次
26%
3次
b%
4次及以上
学生借阅图书的次数统计表 学生借阅图书的次数统计图
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1） a＝ ，b＝ ；
（2） 该调查统计数据的中位数是 ，众数是 ；
（3） 请计算扇形统计图中的“3次”所对应的圆心角的度数；
（4） 若该校共有2000名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
解:(1)17，20%.＝17,b＝＝20%；
(2)10,10.由中位数和众数的定义即可得；（3）72°.360°20%＝72°；
（4）120人.（人）
22．（7分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状是、大小完全相同．李强从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样就确定了点M的坐标（x，y）．
（1） 画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；
（2） 求点M（x，y）在函数y＝x＋1的图像上的概率．

解:（1）
x
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
y
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
（2） .解:一共12个点坐标，有三个点坐标在上面．

B
A
D
C
F
E
23. （7分）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°．求CD的高度．（结果保留根号）

解:过B点作CD的垂线，垂足为F,设CD＝x米,则
DF＝（x－3）（米），BF＝AC，BF＝，AC＝AE＋CE
＝，即，
解得，，即CD长为9米．

24．（7分）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商家管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天的销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30，且x为整数）的销量为y件．
（1） 直接写出y与x的函数关系式；
（2） 设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？

解:（1）y＝38＋2x；解析：y＝40＋2（x－1）＝2x＋38；
（2）＝
故x＝21时，w值最大，为2041元，即第21天时，利润最大，最大利润为2041元．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax＋b的图像与反比例函数的图像交于点A（1，2）和B（－2，m）．
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式；
（2） 请直接写出时，x的取值范围；
y2
y1
y
x
D
O
A
E
B
第25题图
（3） 过点B做BE//x轴，于点D，点C是直线BE上一点，若AC＝2CD，求点C的坐标．

解:（1）；解析：代入点坐标即可；
（3） ；解析：观察图像可知；
（3）C点的坐标为；解析：易知D（1，－1），设C点坐标为（x，－1），故AC＝，BC＝，由AC＝2BC可知，，即，解得，故C点的坐标为．

26．（8分）如图，在ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G．连接AD、CF．
（1） 求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2） 若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．

证明（1）
A
D
C
B
E
F
G
第26题图

（2）

即AB的长为6．

27．（9分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，．
（1） 求证：DC为圆O的切线；
A
F
C
O
B
D
E
（2） 线段DF分别交AC，BC于点E，F，且＝45°，圆O的半径为5，，求CF的长．

（1）连接OC，

（2）解析：由∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，可知，∠CFE＝∠CEF＝45°，即CF＝CE． 由，可得AC＝6,由勾股定理得，BC＝8，设CF＝CE＝x，由∠CDE＝∠BDF，∠ECD＝∠FBD，可知，△CED相似于△BFD，即，由∠CFD＝∠AED，∠EDA＝∠FDC，可知△CFD相似于△AED，即，联立①②得，，即CF的长为．

28．（12分）如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分；
A
C
B
x
y
O
第28题图
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解:（1）将A，B两点的坐标分别代入，
得
解得
故抛物线的表达式为y＝．
（2）证明：设直线AB的表达式为y＝kx＋b’，
则
解得
故直线AB的表达式为y＝．
设直线AB与y轴的交点为点D，则点D的坐标为（0，）．
易得点C的坐标为（0，－4），
则由勾股定理，可得AC＝．
设点B到直线AC的距离为h，
则,
解得h＝4．
易得点B到x轴的距离为4，
故AB平分∠CAO．
（3）存在．
易得抛物线的对称轴为直线，
设点M的坐标为（）．
由勾股定理，得AB2＝[5－(－3)]2＋(－4－0)2＝80，AM2＝[－(－3)]2＋(m－0)2＝＋m2，BM2＝（－5）2＋[m－(－4)]2＝m2＋8m＋．
当AM为该直角三角形的斜边时，
有AM2＝AB2＋BM2，即＋m2＝80＋m2＋8m＋，
解得m＝－9，
故此时点M的坐标为（，－9）．
当BM为该直角三角形的斜边时，
有BM2＝AB2＋AM2，即m2＋8m＋＝80＋＋m2，
解得m＝11，
故此时点M的坐标为（，11）．
综上所述，点M的坐标为（，－9）或（，11）．