2016年广西省南宁市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年广西省南宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
2．把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（　　）
A． B． C． D．
3．据《南国早报》报道：2016年广西高考报名人数约为332000人，创历史新高，其中数据332000用科学记数法表示为（　　）
A．0.332×106 B．3.32×105 C．3.32×104 D．33.2×104
4．已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（　　）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
5．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（　　）
A．80分 B．82分 C．84分 D．86分
6．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（　　）

A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米
7．下列运算正确的是（　　）
A．a2﹣a=a B．ax+ay=axy C．m2•m4=m6 D．（y3）2=y5
8．下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（　　）

A．140° B．70° C．60° D．40°
10．超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（　　）
A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90
11．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（　　）

A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）

A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　　　　　　．
14．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=50°，则∠A=　　　　　　．

15．分解因式：a2﹣9=　　　　　　．
16．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016•南宁）如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为　　　　　　．

18．观察下列等式：

在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第　　　　　　层．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：|﹣2|+4cos30°﹣（）﹣3+．

20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

22．在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：
（1）请求出九（2）全班人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．

23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．

24．在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．
（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？

25．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

26．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年广西省南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选C．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平行投影．
【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．
【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．
故选A．
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．

3．据《南国早报》报道：2016年广西高考报名人数约为332000人，创历史新高，其中数据332000用科学记数法表示为（　　）
A．0.332×106B．3.32×105C．3.32×104D．33.2×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将332000用科学记数法表示为：3.32×105．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（　　）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】本题较为简单，把坐标代入解析式即可求出m的值．
【解答】解：把点（1，m）代入y=3x，可得：m=3，
故选B
【点评】此题考查一次函数的问题，利用待定系数法直接代入求出未知系数m，比较简单．

5．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（　　）
A．80分 B．82分 C．84分 D．86分
【考点】加权平均数．
【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案．
【解答】解：
由加权平均数的公式可知===86，
故选D．
【点评】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式=是解题的关键．

6．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（　　）

A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，
∴DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36°，
∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

7．下列运算正确的是（　　）
A．a2﹣a=a B．ax+ay=axy C．m2•m4=m6D．（y3）2=y5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答案．
【解答】解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、ax和ay不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、m2•m4=m6，计算正确，故本选项正确；
D、（y3）2=y6≠y5，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于掌握各知识点的运算法则．

8．下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的概念．
【分析】根据函数的意义求解即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．
故选D．
【点评】主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．

9．如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（　　）

A．140° B．70° C．60° D．40°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，
∴∠DOE=180°﹣40°=140°，
∴∠P=∠DOE=70°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

10．超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（　　）
A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设某种书包原价每个x元，可得：0.8x﹣10=90，
故选A
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价．

11．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（　　）

A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
【考点】正方形的性质．
【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：
∵=，
∴=，
∴=，
∴S1=S正方形ABCD，
∴S1=x2，
∵=，
∴=，
∴S2=S正方形ABCD，
∴S2=x2，
∴S1：S2=x2： x2=4：9；
故选D．

【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）

A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，
∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，
∵a＞0，
∴＞0，
∴a+b＞0．
故选C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．

14．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=50°，则∠A=　50°　．

【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠A．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
∵∠1=50°，
∴∠A=50°，
故答案为50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．

15．分解因式：a2﹣9=　（a+3）（a﹣3）　．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

16．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016•南宁）如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为　2　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过D作DE⊥OA于E，设D（m，），于是得到OA=2m，OC=，根据矩形的面积列方程即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥OA于E，
设D（m，），
∴OE=m．DE=，
∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
∴OA=2m，OC=，
∵矩形OABC的面积为8，
∴OA•OC=2m•=8，
∴k=2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键．

18．观察下列等式：

在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第　44　层．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442＜2016＜452，则2016在第44层．
【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，
第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，
第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，
∵442=1936，452=2025，
又∵1936＜2016＜2025，
∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，
故答案为：44
【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：|﹣2|+4cos30°﹣（）﹣3+．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简，进而求出答案．
【解答】解：原式=2+4×﹣8+2
=4﹣6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键．

20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x≤1，
解②得x＞﹣3，
，
不等式组的解集是：﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．
【分析】（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；
（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．
【解答】解：（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，

（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，如图2所示，

∵A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），
∴直线AC解析式为y=﹣3x+8，与x轴交于点D（，0），
∵∠CBD=90°，
∴CD==，
∴sin∠DCB===．
∵∠A2C2B2=∠ACB，
∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=．
【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．

22．在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：
（1）请求出九（2）全班人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．

【分析】（1）由演讲人数12人，占25%，即可求得九（2）全班人数；
（2）首先求得书法与国学诵读人数，继而补全折线统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们参加的比赛项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵演讲人数12人，占25%，
∴出九（2）全班人数为：12÷25%=48（人）；

（2）∵国学诵读占50%，
∴国学诵读人数为：48×50%=24（人），
∴书法人数为：48﹣24﹣12﹣6=6（人）；
补全折线统计图；

（3）分别用A，B，C，D表示书法、国学诵读、演讲、征文，
画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，他们参加的比赛项目相同的有4种情况，
∴他们参加的比赛项目相同的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及折线与扇形统计图的知识．注意掌握折线统计图与扇形统计图的对应关系．

23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．

【考点】切线的判定．
【专题】计算题；与圆有关的位置关系．
【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
（2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由BG+GC求出BC的长，再由三角形BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的长即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
则AC为圆O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∴BC=BG+GC=6+10=16，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴=，即=，
解得：OA=，
∴AB=+10=，
连接EF，
∵BF为圆的直径，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴=，即=，
解得：BE=12．

【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．

24．在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．
（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；
（2）根据题意得（+）×40=，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到=，即可得到结论．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，
根据题意得×（30+15）+×15=，
解得：x=450，
经检验x=450是方程的根，
答：乙队单独完成这项工程需要450天；

（2）根据题意得（+）×40=，
∴a=60m+60，
∵60＞0，
∴a随m的增大增大，
∴当m=1时，最大，
∴=，
∴÷=7.5倍，
答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍
【点评】此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．

25．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．
（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，
∴BG=2，AG=2，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2，
∴EB=EG﹣BG=2﹣2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，
∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，
∴∠EFH=75°，
∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，
∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣．
∴点F到BC的距离为3﹣．

【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．

26．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标．
【解答】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，

则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，
①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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