2014年辽宁省辽阳市中考数学试卷（含解析版）.doc

2014年辽宁省辽阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题所列出的四个选项中只有一个是正确的）
1．（3分）（2015•北海）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
2．（3分）（2014•辽阳）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）（2014•辽阳）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a5
C．2a2+3a2=5a6 D．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2
4．（3分）（2014•辽阳）某校九年级三班的团员在爱心助残捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10、8、12、15、10、11、12、9、13、10，关于这组数据表述错误的是（　　）
A．众数是10元 B．中位数是10元 C．平均数是11元 D．极差是7元
5．（3分）（2014•辽阳）如图，将三角板的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=55°，∠2=60°，则∠3的大小是（　　）　　21*cnjy*com

A．55° B．60° C．65° D．75°
6．（3分）（2014•辽阳）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集是（　　）

A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
7．（3分）（2014•辽阳）某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难学生400元，今年上半年发给了500元．设每半年发给的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．500（1+x）2=400 B．400（1+x）2=500 C．400（1+2x）=500 D．500（1+2x）=400
8．（3分）（2014•辽阳）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，他们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2014•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），线段OA向右平移得到线段O′A′，点A的对应点A′在函数y=（x＞0的图象上），则点O与其对应点O′之间的距离是（　　）

A． B． C． D．3
10．（3分）（2014•辽阳）如图，边长为40cm的等边三角形硬纸片，小明剪下与边BC相切的扇形AEF，切点为D，点E、F分别在AB、AC上，做成圆锥形圣诞帽，（重叠部分忽略不计），则圆锥形圣诞帽的底面圆形半径是（　　）2-1-c-n-j-y

A．cm B．cm C．cm D．cm

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•辽阳）五湖四海，大中小学，每个学子心中都有一座逸夫楼．自1985年以来，著名“慈善家”邵逸夫连年向内地教育捐赠巨款建设教育教学设施，迄今赠款金额近4750000000元港币，用科学记数法表示为　　　　　　元港币．
12．（3分）（2014•辽阳）2700″=　　　　　　°．
13．（3分）（2014•辽阳）5﹣的小数部分是　　　　　　．
14．（3分）（2014•辽阳）如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC=　　　　　　°．www.21-cn-

15．（3分）（2014•辽阳）甲、乙丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为9.3环，方差分别为=0.55，=0.47，=0.62，则三人射击成绩最稳定的是　　　　　　．
16．（3分）（2014•辽阳）已知点A（3，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　　　　　　（用“＜”连接）
17．（3分）（2014•辽阳）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为　　　　　　．

18．（3分）（2014•辽阳）如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y=x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆Cn的半径分别为r1、r2、r3…、rn，当r1=1时，rn=　　　　　　（n＞1的自然数）

三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）（2014•辽阳）先化简，再求值．，÷其中x=4sin60°+2﹣1﹣20140﹣．

20．（12分）（2014•辽阳）某市教育系统在开展党的群众路线教育实践活动中，号召党员教师于贫困学生“手拉手”结成帮扶对子，市教育局从全市300所学校中随机抽取A、B、C、D、E、F六所学校，对活动中各校的先进党员教师人数进行了分析统计，制订了如下两幅不完整的统计图．
（1）市教育局采取的调查方式是　　　　　　（填“普查”或“抽样普查”），市教育局所调查的六所学校先进党员教师共有　　　　　　人．请把图2补充完整，请估计全市360所学校此次活动中共 先进党员教师的额　　　　　　人．
（2）市教育局决定从A、B两所学校先进党员教师中任意抽两人参加总结座谈会，用树状图或列表法求抽出两名先进党员教师恰好来自同一所学校的概率．

四、解答题（本大共2小题，每小题12分，共24分）
21．（12分）（2014•辽阳）某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，若单独完成此项工程，甲工程对所用天数是乙工程队的2倍．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作　　　　　　（用含a的代数式表示）可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队每天施工费2.5万元，求甲工程队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64万元．

22．（12分）（2014•辽阳）数学活动课上老师让学生以小组为单位测量学校旗杆AB的高度，如图所示，“希望小组”在教学楼一楼地面D处测得旗杆顶部仰角为60°，在教学楼三楼地面C处测得旗杆顶部仰角为30°，已知旗杆底部于教学楼一楼地面在同一水平线上，每层楼高为3米，求旗杆AB高度．

五、解答题（本题12分）
23．（12分）（2014•辽阳）巴西世界杯足球赛期间，某商店购进一批单价为30元的纪念品，如果按每件40元出售，那么每天可销售100件．经市场调研发现，纪念品的销售单价每上涨1元，其销售量每天相应减少5件，如果每件纪念品的利润不超过40%，设纪念品的销售单价上涨x元，每天销售量为y件．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）将纪念品销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

六、解答题（本题12分）
24．（12分）（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

七、解答题（本题12分）
25．（12分）（2014•辽阳）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．
（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．
②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．

八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2014•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），点B在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线上的一点，当S△PAB=S△ABC时，求点P的坐标；
（3）若点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．

2014年辽宁省辽阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题所列出的四个选项中只有一个是正确的）
1．（3分）（2015•北海）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【考点】绝对值．21世纪教育网
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．
【解答】解：因为|﹣2|=2，
故选C．

2．（3分）（2014•辽阳）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体．21世纪教育网
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，即可得出答案．
【解答】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱；
故选C．

3．（3分）（2014•辽阳）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a5
C．2a2+3a2=5a6 D．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2
【考点】平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．21世纪教育网
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据合并同类项，可判断C，根据平方差公式，可判断D．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：A、底数不变指数相加，故A错误；
B、底数不变指数相乘，故B错误；
C、系数相加字母部分不变，故C错误；
D、两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D正确；
故选：D．

4．（3分）（2014•辽阳）某校九年级三班的团员在爱心助残捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10、8、12、15、10、11、12、9、13、10，关于这组数据表述错误的是（　　）
A．众数是10元 B．中位数是10元 C．平均数是11元 D．极差是7元
【考点】中位数；算术平均数；众数；极差．21世纪教育网
【分析】根据中位数、众数、极差的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：8、9、10、10、10、11、12、12、13、15，21*cnjy*com
则众数为10，
中位数为：=10.5，
极差为：15﹣8=7，
平均数为：=11．
故选B．

5．（3分）（2014•辽阳）如图，将三角板的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=55°，∠2=60°，则∠3的大小是（　　）21教育名师原创作品

A．55° B．60° C．65° D．75°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】根据三角形内角和定理求出∠4，得出∠5，根据平行线的性质得出∠3=∠5，即可得出答案．
【解答】解：
∵∠1=55°，∠2=60°，
∴∠5=∠4=180°﹣∠1﹣∠2=65°，
∵a∥b，
∴∠3=∠5=65°，
故选C．

6．（3分）（2014•辽阳）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集是（　　）

A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式．21世纪教育网
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图得到当x＜时，y=ax+5的图象都在直线y=2x的上方，由此得到不等式2x＜ax+5的解集．
【解答】解：把A（m，3）代入y=2x得2m=3，解得m=，
所以A点坐标为（，3），
当x＜时，2x＜ax+5．
故选A．

7．（3分）（2014•辽阳）某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难学生400元，今年上半年发给了500元．设每半年发给的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．500（1+x）2=400 B．400（1+x）2=500 C．400（1+2x）=500 D．500（1+2x）=400
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．21世纪教育网
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于500即可列出方程．
【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生400（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生400（1+x）2元，
由题意，得：400（1+x）2=500．
故选B．

8．（3分）（2014•辽阳）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，他们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．21世纪教育网
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．2·1·c·n·j·y
【解答】解：根据题意可得：大于3的有4，5三个球，共5个球，
任意摸出1个，摸到大于3的概率是．
故选B．

9．（3分）（2014•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），线段OA向右平移得到线段O′A′，点A的对应点A′在函数y=（x＞0的图象上），则点O与其对应点O′之间的距离是（　　）

A． B． C． D．3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平移的性质．21世纪教育网
【分析】直接把y=2代入函数y=，求出x的值即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），
∴A′的纵坐标为2，
∴2=，解得x=3，
∴O与其对应点O′之间的距离是3．
故选D．

10．（3分）（2014•辽阳）如图，边长为40cm的等边三角形硬纸片，小明剪下与边BC相切的扇形AEF，切点为D，点E、F分别在AB、AC上，做成圆锥形圣诞帽，（重叠部分忽略不计），则圆锥形圣诞帽的底面圆形半径是（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm
【考点】圆锥的计算．21世纪教育网
【分析】连结AD，如图，根据切线的性质得AD⊥BC，再根据等边三角形的性质得∠BAC=∠B=60°，BD=BC=20，所以AD=BD=20，设圆锥形圣诞帽的底面圆形半径为rcm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=，再解方程即可．
【解答】解：连结AD，如图，
∵边BC相切于扇形AEF，切点为D，
∴AD⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，BD=BC=×40=20，
∴AD=BD=20，
设圆锥形圣诞帽的底面圆形半径为rcm，
∴2πr=，解得r=（cm），
即圆锥形圣诞帽的底面圆形半径为cm．
故选A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•辽阳）五湖四海，大中小学，每个学子心中都有一座逸夫楼．自1985年以来，著名“慈善家”邵逸夫连年向内地教育捐赠巨款建设教育教学设施，迄今赠款金额近4750000000元港币，用科学记数法表示为　4.75×109　元港币．21世纪教育网版权所有
【考点】科学记数法—表示较大的数．21世纪教育网
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．21·世纪*教育网
【解答】解：将4750000000用科学记数法表示为：4.75×109．
故答案为：4.75×109．

12．（3分）（2014•辽阳）2700″=　0.75　°．
【考点】度分秒的换算．21世纪教育网
【分析】根据小的单位化大的单位除以进率，可得答案．
【解答】解：2700″=2700÷60=45′÷60=0.75°，
故答案为：0.75．

13．（3分）（2014•辽阳）5﹣的小数部分是　2﹣　．
【考点】估算无理数的大小．21世纪教育网
【分析】根据1＜＜2，不等式的性质3，可得﹣的取值范围，再根据不等式的性质1，可得答案．
【解答】解：由1＜＜2，得
﹣2＜﹣＜﹣1．
不等式的两边都加5，得
5﹣2＜5﹣＜5﹣1，
即3＜5﹣＜4，
5﹣的小数部分是（5﹣）﹣3=2﹣，
故答案为：2﹣．

14．（3分）（2014•辽阳）如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC=　100　°．

【考点】圆周角定理．21世纪教育网
【分析】首先在优弧上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：在优弧上取点E，连接BE，CE，
∵∠BDC=130°，
∴∠E=180°﹣∠BDC=50°，
∴∠BAC=2∠E=100°．
故答案为：100°．

15．（3分）（2014•辽阳）甲、乙丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为9.3环，方差分别为=0.55，=0.47，=0.62，则三人射击成绩最稳定的是　乙　．
【考点】方差．21世纪教育网
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵=0.55，=0.47，=0.62，
∴＜＜，
∴三人射击成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙．

16．（3分）（2014•辽阳）已知点A（3，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y3＜y1＜y2　（用“＜”连接）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．21世纪教育网
【分析】分别把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点A（3，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，
∴y1==1，y2=，y3=﹣=﹣1，
∵﹣1＜1＜，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．

17．（3分）（2014•辽阳）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为　1　．21教育网

【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】延长CF交AB于G，由对称性判断出△AGC是等腰三角形，求出AG=AC，CF=GF，再求出BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=BG．
【解答】解：如图，延长CF交AB于G，
∵AE是角平分线，CF⊥AE，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，CF=GF，
∴BG=AB﹣AG=5﹣3=2，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF=BG=×2=1．
故答案为：1．

18．（3分）（2014•辽阳）如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y=x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆Cn的半径分别为r1、r2、r3…、rn，当r1=1时，rn=　3n﹣1　（n＞1的自然数）www-2-1-cnjy-com

【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．21世纪教育网
【分析】过C1、C2、C3、…、Cn作直线y=x的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An，如图，根据切线的性质得C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，再确定直线y=x与x轴的正半轴的夹角为30°，接着利用两圆相切的性质得到C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，然后根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OC1A1中得到OC1=2C1A1=2，在Rt△OC2A2中得到2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，在Rt△OC3A3中得到6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，再观察计算出来的半径得到半径都是3的正整数指数幂，且指数比序号数小1，于是得rn=3n﹣1．【版权所有：21教育】
【解答】解：过C1、C2、C3、…、Cn作直线y=x的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An，如图，
∵a个半圆弧都与直线y=x相切，
∴C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，
∵x=1时，y=x=，
∴直线y=x与x轴的正半轴的夹角为30°，
∵a个半圆弧依次相外切，
∴C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，
在Rt△OC1A1中，OC1=2C1A1=2，
在Rt△OC2A2中，OC2=2C2A2，则2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，
在Rt△OC3A3中，OC3=2C3A3，则6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，
在Rt△OC4A4中，OC4=2C4A4，则18+9+r4=2r4，解得r4=27=33，
由此可得rn=3n﹣1．
故答案为rn=3n﹣1．

三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）（2014•辽阳）先化简，再求值．，÷其中x=4sin60°+2﹣1﹣20140﹣．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．21世纪教育网
【分析】先把分子分母因式分解，约分后得到原式=x+，然后根据零指数幂、负整数指数幂与特殊角的三角函数值计算出x的值为﹣，再把x=﹣代入计算即可．
【解答】解：原式=•+x+2
=x+
∵x=4sin60°+2﹣1﹣20140﹣
=4•+﹣1﹣2
=﹣，
∴原式=2．

20．（12分）（2014•辽阳）某市教育系统在开展党的群众路线教育实践活动中，号召党员教师于贫困学生“手拉手”结成帮扶对子，市教育局从全市300所学校中随机抽取A、B、C、D、E、F六所学校，对活动中各校的先进党员教师人数进行了分析统计，制订了如下两幅不完整的统计图．
（1）市教育局采取的调查方式是　抽样普查　（填“普查”或“抽样普查”），市教育局所调查的六所学校先进党员教师共有　20　人．请把图2补充完整，请估计全市360所学校此次活动中共 先进党员教师的额　1200　人．
（2）市教育局决定从A、B两所学校先进党员教师中任意抽两人参加总结座谈会，用树状图或列表法求抽出两名先进党员教师恰好来自同一所学校的概率．

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．21世纪教育网
【分析】（1）根据题意得到此次调查为抽样调查，用F学校的人数除以其所占的百分比即可求出总人数，由此估计全市360所学校此次活动中共 先进党员教师的总人数，进而可补全频率分布直方图；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两名先进党员教师恰好来自同一所学校数目，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）由题意可知市教育局采取的调查方式是“抽样普查”，
因为F学校的人数是4人，其百分比为20%，所以六个学校的总人数为4÷20%=20（人），
所以D校的人数为20﹣2﹣2﹣3﹣5﹣4=4（人），
所以估计全市360所学校此次活动中共先进党员教师的额为20÷=1200（人），
如图所示：

故答案为：抽样普查，20，1200；
（2）设从A、B两所学校先进党员教师分别为红1，红2，黄，蓝，
画树状图如下：

由树形图可知：抽出两名先进党员教师恰好来自同一所学校的概率是．

四、解答题（本大共2小题，每小题12分，共24分）
21．（12分）（2014•辽阳）某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，若单独完成此项工程，甲工程对所用天数是乙工程队的2倍．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作　天　（用含a的代数式表示）可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队每天施工费2.5万元，求甲工程队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64万元．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．21世纪教育网
【分析】（1）根据题意结合总工作量为1，进而表示出两队每天完成的工作情况，进而得出答案；
（2）首先表示出甲、乙两工程队合作的天数，进而利用两队施工费用得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需要x天，
由题意得：+=，
解得：x=30，
经检验：x=30是原分式方程的解，
2x=60．
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；

（2）甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作：（1﹣a×）÷（+）=（天），
由题意可得：1•a+（1+2.5）•≤64，
解得：a≥36，
答：甲工程队要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64万元．
故答案为：天．

22．（12分）（2014•辽阳）数学活动课上老师让学生以小组为单位测量学校旗杆AB的高度，如图所示，“希望小组”在教学楼一楼地面D处测得旗杆顶部仰角为60°，在教学楼三楼地面C处测得旗杆顶部仰角为30°，已知旗杆底部于教学楼一楼地面在同一水平线上，每层楼高为3米，求旗杆AB高度．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．21世纪教育网
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，则四边形ADCE为矩形，AE=CD=6米，AD=CE．设BE=x米，先解Rt△BCE，得出CE=x米，AD=x米，再解Rt△ABC，得出AB=3x米，然后根据AB﹣BE=AE，列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD=6米，AD=CE．
设BE=x米．
在Rt△BCE中，∵∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∴CE=BE=x（米），
∴AD=CE=x（米）．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴AB=AD=×x=3x（米），
∵AB﹣BE=AE，
∴3x﹣x=6，
∴x=3，
AB=3×3=9（米）．
答：旗杆AB的高度为9米．

五、解答题（本题12分）
23．（12分）（2014•辽阳）巴西世界杯足球赛期间，某商店购进一批单价为30元的纪念品，如果按每件40元出售，那么每天可销售100件．经市场调研发现，纪念品的销售单价每上涨1元，其销售量每天相应减少5件，如果每件纪念品的利润不超过40%，设纪念品的销售单价上涨x元，每天销售量为y件．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）将纪念品销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．21世纪教育网
【分析】（1）根据“销售量=原来销售量+减少销售量”列出二次函数即可；
（2）根据“总利润=单件利润×销量”列出函数关系式求最值即可．
【解答】解：（1）由题意得：y=100﹣5x；

（2）设销售单价定位z元，由题意得：总利润=（z﹣30）[100﹣5（z﹣40）]=﹣5（z﹣45）2+1125，
∵每件纪念品的利润不超过40%，
∴定价的最大值为30（1+40%）=42元，
∴当z=42时，总利润=﹣5（42﹣45）2+1125=1080元，
∴当销售单价定为42元时有最大利润是1080元．

六、解答题（本题12分）
24．（12分）（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．21世纪教育网
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB．
∵∠CBF=∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，
∴sin∠2===，cos∠2===，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
∴BF==

七、解答题（本题12分）
25．（12分）（2014•辽阳）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．
（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．
②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．

【考点】几何变换综合题．21世纪教育网
【分析】（1）连接AF、CE，根据三角形全等证明出OE=OF，结合AC⊥EF即可证明四边形AECF是菱形；
（2）①过D′作D′H⊥CF于H，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，根据折叠的性质得到D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，由勾股定理求出x的值，根据等面积知识求出D′H的长，进而求出△DFD′的面积；
②分类讨论E点的位置，画出图形后，利用勾股定理和折叠的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）猜想：当l⊥AC时，四边形AECF是菱形，
如图1，连接AF、CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠FCO=∠EAO，
又∵∠FOC=∠EOA，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，
设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，
由折叠性质可知：
D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，
由勾股定理得（4﹣x）2=32+x2，
解得x=，
∴D′F=DF=，
∴CF=4﹣=，
如图2，过D′作D′H⊥CF于H，由面积相等可得，CF•D′H=D′F•CD′，
∴D′H=，
∴S△DFD′=××=（cm2）

②如图①，设BE=xcm，CE=（3﹣x）cm，AC=5cm，B′C=5﹣4=1cm，
根据勾股定理可得B′C2+B′E2=CE2，
解得x=cm，
如图②，设BE=xcm，则CE=（3﹣x）cm，AB′=4cm，B′E=xcm，
在Rt△ADB′中，
由勾股定理可得BD′=cm，
B′C=（4﹣）cm，
在Rt△CB′E中，B′C2+B′E2=CE2，
即16﹣8+7+x2=9﹣6x+x2，
解得x=cm，
如图③，
当四边形ABEB′是正方形时，点B和点B′关于直线AE对称，△B′EC是直角三角形，
此时CE=1cm，BE=4cm；
如图④
BE=xcm，AB′=4cm，AD=3cm，CE=（x﹣3）cm，
在Rt△ADB′中，B′D=cm，
B′C=+4，
在Rt△B′CE中，7+8+16+x2﹣6x+9=x2，
解得x=cm，
综上，BE的长为cm或cm或4cm或cm．

八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2014•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），点B在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．21·cn·jy·com
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线上的一点，当S△PAB=S△ABC时，求点P的坐标；
（3）若点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．【来源：21·世纪·教育·网】

【考点】二次函数综合题．21世纪教育网
【分析】（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，把（﹣1，2），（3，2）代入y=﹣x2+bx+c计算即可；【出处：21教育名师】
（2）先求出 yAB=﹣x+，再求出S△ABC=5，分两种情况讨论：
当P在AB上方时，根据S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=2PQ得出2[（﹣x2+2x+5）﹣（﹣x+）]=5；
当P在AB下方时，根据S△PAB=S△PQB﹣S△PQA=2PQ得出2[（﹣x+）﹣（﹣x2+2x+5）]=5，再分别求解即可；
（3）当点N在BC上时，设MN与AB交于点D，若MN⊥AB，根据△BMN∽△CBA，得出=，再根据BN=5t，BM=t﹣，得出=，当点N在CA上时，设MN与AB交于点D，过点N作NE⊥x轴于点E，则CN=EB，根据△ACB∽△NEM，得出=，求出EM=1，再求出EB=t﹣，再根据CN=t﹣2，得出t﹣2=t﹣，再分别求出t即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴把（﹣1，2），（3，2）代入得：
，
解得：，
∴该抛物线所对应的函数关系式为：y=﹣x2+2x+5；
（2）由A（﹣1，2）B（3，0）可得：yAB=﹣x+，
∵S△ABC=AC•BC=×4×2=4，
∴S△ABC=×4=5，
如图1，当P在AB上方时，
S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=PQ•AE+PQ•CE=PQ•AC=•PQ