线积分及格林公式市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

曲线、曲面积分曲线、曲面积分.二重积分与曲线积分联系二重积分与曲线积分联系格林公式格林公式下一页上一页第1页第1页.三重积分与曲面积分联系三重积分与曲面积分联系高斯公式高斯公式.曲面积分与曲线积分联系曲面积分与曲线积分联系斯托克斯公式斯托克斯公式下一页上一页第2页第2页曲线积分与路径无关四个等价条件，曲线积分与路径无关四个等价条件，主要等价条件主要等价条件是：是：场论初步场论初步下一页上一页第3页第3页梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度下一页上一页第4页第4页曲线积分计算及证实曲线积分计算及证实.对弧长曲线积分计算对弧长曲线积分计算（）用公式直接计算（）用公式直接计算例例计算计算下一页上一页答案答案 第5页第5页 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)是是L上上关于关于x 奇函数奇函数 是是L上关于上关于x 偶函数偶函数 L1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧部分轴一侧部分.在分析问题和算题时惯用在分析问题和算题时惯用L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续,则则当当(或或y)(或或y)当当(或或x轴轴)(或或x)利用对称性简化对弧长曲线积分计利用对称性简化对弧长曲线积分计算时算时,应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 与积与积分曲线分曲线L对称性对称性.下一页上一页（）用对称性及曲线方程法（）用对称性及曲线方程法补充补充第6页第6页例例2其中其中L是圆周是圆周解解因积分曲线因积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因积分曲线因积分曲线L关于关于对称性对称性,计算计算得得是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x奇函数奇函数x轴轴对称对称,关于关于y奇函数奇函数下一页上一页对称性对称性第7页第7页例例3解解 由于由于 有有方程中方程中x,y,z地位完全地位完全对称对称,下一页上一页对称性对称性第8页第8页1988年硕士考题年硕士考题,填空填空(3分分)解解 对称性对称性下一页上一页例例4第9页第9页例例5计算下一页上一页曲线方程法曲线方程法答案答案 第10页第10页例例6设设 ，证实：，证实：下一页上一页第11页第11页.对坐标曲线积分计算对坐标曲线积分计算（）用公式直接计算（）用公式直接计算（2）用对称性性质）用对称性性质下一页上一页第12页第12页L在上半平面部分与在上半平面部分与P(x,y)为为P(x,y)为为其中其中L1是曲线是曲线L上半平面部分上半平面部分.类似地类似地,对称性质对称性质对对坐标坐标曲线积分曲线积分,当平面曲线当平面曲线L是分段是分段光滑光滑,关于关于下半平面部分走向相反时下半平面部分走向相反时,x 轴对称轴对称,则则y偶函数偶函数y奇函数奇函数讨论也有相应结论讨论也有相应结论.对对下一页上一页第13页第13页例例7直接化为定积分计算直接化为定积分计算,取逆时针方向取逆时针方向.解解 法一法一由曲线积分性质由曲线积分性质.则则其中其中ABCDA为为下一页上一页 AB第14页第14页将原式分成两部分将原式分成两部分,即即曲线关于曲线关于走向与走向与L在下半部分走向相反在下半部分走向相反,法二法二被积函数为被积函数为利用利用对称性质对称性质,L在上半部分在上半部分x轴对称轴对称,y偶函数偶函数.原式原式下一页上一页第15页第15页曲线关于曲线关于L在右半部分走向与在右半部分走向与L在左半部分走向相反在左半部分走向相反,被积函数为被积函数为因此因此,y轴对称轴对称,x偶函数偶函数.下一页上一页第16页第16页（3）用格林公式（包括补线法），路）用格林公式（包括补线法），路径无关、全微分条件等径无关、全微分条件等.平面闭曲线平面闭曲线上对坐标曲线积分上对坐标曲线积分,比较简朴时比较简朴时,经常考虑通过经常考虑通过格林格林公式公式化为化为二重积分二重积分来计算来计算.下一页上一页第17页第17页思绪思绪:闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式下一页上一页第18页第18页解解下一页上一页第19页第19页解解(以下图)下一页上一页非常简朴非常简朴.此积分路径此积分路径不是闭曲线不是闭曲线!分析分析第20页第20页下一页上一页第21页第21页 利用格林公式能够简化二重积分利用格林公式能够简化二重积分则则解解 令令例例10为顶点三角形闭区域为顶点三角形闭区域.格林公式格林公式下一页上一页第22页第22页解解积分与路径无关积分与路径无关 1989年硕士考题年硕士考题,计算计算,5分分设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,含有连续导数含有连续导数,例例11即即下一页上一页第23页第23页(1,0)法一法一设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,含有连续导数含有连续导数,下一页上一页第24页第24页法二法二设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,含有连续导数含有连续导数,下一页上一页第25页第25页 硕士考题硕士考题(数学一数学一)8分分内含有一阶连续导数内含有一阶连续导数,L是上半平面是上半平面(y 0)内有向分段光滑曲线内有向分段光滑曲线,其起点为其起点为(a,b),终点为终点为(c,d).记记(1)证实证实曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关;(2)当当ab=cd 时时,求求I 值值.证证由于由于因此在上半平面内曲线积分因此在上半平面内曲线积分I 与路径与路径L无关无关.(1)例例12下一页上一页第26页第26页解解(2)由于由于曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关,因此因此法一法一下一页上一页第27页第27页解解(2)L是上半平面是上半平面(y 0)内有向分段光滑曲线内有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).(2)当当ab=cd 时时,求求I 值值.法二法二设设F(x)为为f(x)一个原函数一个原函数,则则由此得由此得下一页上一页第28页第28页例例13 1.计算曲线积分计算曲线积分 练习练习下一页上一页答案答案 硕士考题硕士考题求求答案答案 取逆时针方向取逆时针方向.2.第29页第29页例例14设设 方向为逆时方向为逆时针方向，证实：针方向，证实：下一页上一页第30页第30页例例15证实：证实：下一页上一页第31页第31页研考题(数学一)(10分)已知平面区域已知平面区域L为为D正向边界正向边界.试证试证:证证左边左边 =右边右边 =法一法一(1)例例16下一页上一页第32页第32页证证(2)由于由于故由故由(1)得得下一页上一页第33页第33页证证法二法二(1)依据依据格林公式格林公式,得得左边左边 =右边右边 =由于由于D关于关于对称对称,因此因此下一页上一页第34页第34页证证法二法二由由(1)(1)知知 +下一页上一页第35页第35页已知平面区域已知平面区域L为为D正向边界正向边界.试证试证:例例17下一页上一页为连续函数，为连续函数，第36页第36页下一页上一页练习练习答案答案 第37页第37页下一页上一页练习练习答案答案 第38页第38页下一页上一页练习练习答案答案 第39页第39页精品课件资料分享 SL出品第40页第40页