2009年高考文科数学陕西卷试题与答案.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅰ）(陕西卷)
第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为（）
（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0]
2.若,则的值为 ()
（A）0 (B) (C)1 (D)
3.函数的反函数为 ()
（A） (B)
（C） (D)学科
4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()
（A） （B）2 （C） （D）2

5.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ( )
（A）9 （B）18 （C）27 (D) 36
6.若,则的值为高. (C)
（A）2 （B）0 （C） (D)
7.” ”是”方程表示焦点在y轴上的椭圆”的 （）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
8.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（　　） （）
（A） （B） （C） (D)
9．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 ()
(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108网

10．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ()
(A) (B)
(C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ()
(A) (B) (C) (D)
12．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 ()
(A) (B) (C) (D) 1

2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修选修Ⅰ）(陕西卷)
第Ⅱ卷
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).
13．设等差数列的前n项和为,若,则数列的通项公式 .
A
B
O1
O
14．设x，y满足约束条件，目标函数的最小值是 ，最大值是
15．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为 .
16．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）
已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.

18．（本小题满分12分）
椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1

(Ⅰ) 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

19．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.
C
B
A
C1
B1
A1
(Ⅰ)证明：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）求二面角A——B的大小。

20．（本小题满分12分）
已知函数
求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

21．（本小题满分12分）
已知数列满足， .
令，证明：是等比数列；
(Ⅱ)求的通项公式。

22．（本小题满分12分）
已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。
（I） 求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。

2009年陕西省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2009•陕西）设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（　　）
A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（﹣1，0]
【考点】函数的定义域及其求法；元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先求出不等式的解集和函数的定义域，然后再求两个集合的交集．
【解答】解：不等式x2﹣x≤0转化为x（x﹣1）≤0
解得其解集是{x|0≤x≤1}，
而函数f（x）=ln（1﹣|x|）有意义则需：1﹣|x|＞0
解得：﹣1＜x＜1
所以其定义域为{﹣1＜x＜1}，
所以M∩N=[0，1），
故选A
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法及集合的运算．

2．（5分）（2009•陕西）若tanα=2，则的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
【考点】同角三角函数间的基本关系；弦切互化．菁优网版权所有
【分析】根据齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）直接可得答案．
【解答】解：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）得，

故选B．
【点评】本题主要考查tanα=，这种题型经常在考试中遇到．

3．（5分）（2009•陕西）函数的反函数为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】从条件中函数式数反解出x，再将x，y互换即得对数函数的函数，再依据互为反函数间的定义域与值域的关系求得反函数的定义域即可．
【解答】解：，
逐一验证，知B正确．
故选B．
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．

4．（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（　　）

A． B．2 C． D．2
【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．
【解答】解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：
x2+（y﹣2）2=4，
即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，
∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，
∴ON=，
∴弦长2，
故选D．
【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解．

5．（5分）（2009•陕西）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（　　）
A．9 B．18 C．27 D．36
【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．
【解答】解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，
∵x+2x+160=430，
∴x=90，
即由比例可得该单位老年职工共有90人，
∵在抽取的样本中有青年职工32人，
∴每个个体被抽到的概率是=，
用分层抽样的比例应抽取×90=18人．
故选B．
【点评】本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．

6．（5分）（2009•陕西）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），则的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】通过给x赋值，0得到两等式，两式相减即得．
【解答】解：令x=得0=
令x=0得1=a0
两式相减得=﹣1
故选项为C
【点评】本题考查赋值法是求展开式的系数和问题的重要方法．

7．（5分）（2009•陕西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】椭圆的应用．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断．
【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，
根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0
反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆
综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件
故选C．
【点评】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导．

8．（5分）（2009•陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．
【解答】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，
又由点P在AM上且满足
∴P是三角形ABC的重心
∴
==﹣
又∵AM=1
∴=
∴=﹣
故选A
【点评】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．

9．（5分）（2009•陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（　　）
A．432 B．288 C．216 D．108
【考点】分步乘法计数原理．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32，再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33种，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：∵由题意知本题是一个分步计数原理，
第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32=18种，
第二步再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33=12种，
∴所求奇数的个数共有18×12=216种．
故选C．
【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．

10．（5分）（2009•陕西）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则（　　）
A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项
【解答】解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．
∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，
又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．
且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，
由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大
∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），
故选A．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．

11．（5分）（2009•陕西）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积．
【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，
一个四棱锥体积V1=×1×=，
故八面体体积V=2V1=．
故选B．
【点评】本题是基础题，考查棱锥的体积，正方体的内接多面体，体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力．

12．（5分）（2009•陕西）设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1•x2•…•xn的值为（　　）
A． B． C． D．1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】欲判x1•x2•…•xn的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：对y=xn+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）xn，
令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点
（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），
不妨设y=0，
则x1•x2•x3…•xn=××，
故选B．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2009•陕西）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=s3=12，则an=　2n　．
【考点】等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【分析】由a6=s3=12，利用等差数列的前n项和公式和通项公式得到a1和d的两个方程，从而求出a1和d，得到an．
【解答】解；由a6=s3=12可得
解得{an}的公差d=2，首项a1=2，
故易得an=2+（2﹣1）n=2n．
故答案为：2n
【点评】此题很好的考查了等差数列的基本公式和方程思想．

14．（4分）（2009•陕西）设x，y满足约束条件，则x+2y的最小值是　1　，最大值是　11　．
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【分析】①设目标函数z=x+2y z为纵截距2倍 纵截距取得最值时z也取得最值②画可行域③平移目标函数线 寻找最值
【解答】解：设z=x+2y，z为该直线纵截距2倍，
可行域如图三角形ABC，
令Z=0得直线l：x+2y=0，
平移l过点C（1，0）时z有最小值1，
过点A（3，4）点时有最大值11，
故答案为最小值1，最大值11．

【点评】本题考查线性规划问题：1行域画法2标函数几何意义3最优解

15．（4分）（2009•陕西）已知球O的半径为2，圆O1是一小圆，，A、B是圆O1上两点，若∠AO1B=，则A，B两点间的球面距离为
　　．
【考点】弧长公式．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题；数形结合；综合法．
【分析】由题意知应先求出AB的长度，在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=2由此知三角形AOB是等边三角形，由此可以求出∠AOB的值，进而利用弧长公式求A，B两点间的球面距离．
【解答】解：由题设知，OA=OB=2
在圆O1中有，又∠AO1B=
在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=2
所以在△AOB中，OA=OB=AB=2，
则△AOB为等边三角形，可得∠AOB=60°
由弧长公式l=rθ（r为半径）得A，B两点间的球面距离lAB=rθ=2×
故答案为
【点评】本题的考点是弧长公式，其考查背景是球内一小圆上两点的球面距，对空间想象能力要求较高，此类题是一个基本题型，求解方法固定先求两点间的弦长，再求球心角角，再由弧长公式求弧长．

16．（4分）（2009•陕西）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有　8　人．
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可．
【解答】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，
故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，
设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，
则card（A∩B∩C）=0，card（A∩B）=6，card（B∩C）=4，
由公式card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）
知36=26+15+13﹣6﹣4﹣card（A∩C）
故card（A∩C）=8即同时参加数学和化学小组的有8人．
故答案为：8．

【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

三、解答题（共6小题，满分76分）
17．（12分）（2009•陕西）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上一个最低点为．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当，求f（x）的最值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）由最低点求出A，利用周期求出ω，图象上一个最低点为．代入函数解析式求出φ，然后求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当，，然后求出求f（x）的最值．
【解答】解：（Ⅰ）由最低点为由
由点在图象上得即
所以故
又，所以所以
（Ⅱ）因为，可得
所以当时，即x=0时，f（x）取得最小值1；
当，即时，f（x）取得最大值；
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力，是基础题．

18．（12分）（2009•陕西）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1
（Ⅰ）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式．
（1）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，由一个月内被消费者投诉的次数为0，1的概率分别为0.4，0.5，则该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率P=P（A+B）=P（A）+P（B），代入即可求出答案．
（2）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内被投诉2次”，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2），代入数据运算后，易得最终答案．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，
事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”
所以P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4+0.5=0.9
（Ⅱ）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，
事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，
事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，
事件D表示“两个月内被投诉2次”
所以P（Ai）=0.4，P（Bi）=0.5，P（Ci）=0.1（i=1，2）
所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P（A1C2+A2C1）
一、二月份均被投诉1次的概率为P（B1B2）
所以P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2）
由事件的独立性的p（D）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33．
【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．

19．（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）欲证AB⊥A1C，而A1C⊂平面ACC1A1，可先证AB⊥平面ACC1A1，根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，则∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．
【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC1A1，
又A1C⊂平面ACC1A1，
∴AB⊥A1C．
（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．
在Rt△AA1C中，AD===，
在Rt△BAD中，tan∠ADB==，
∴cos∠ADB=，
即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．

【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．

20．（12分）（2009•陕西）已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【分析】（1）先确求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．
（2）先根据极值点求出a，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知m的范围．
【解答】解析：（1）f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），
当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）
当a＞0时，由f′（x）＞0解得或；
由f′（x）＜0解得，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为；
f（x）的单调减区间为．
（2）因为f（x）在x=﹣1处取得极大值，
所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3x2﹣3，
由f′（x）=0解得x1=﹣1，x2=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=﹣3．
因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（﹣3，1）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题．

21．（12分）（2009•陕西）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=，n∈N*．
（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式．
【考点】等比关系的确定；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，为公比的等比数列得证；
（2）由（1）找出bn的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．
【解答】解：（1）证b1=a2﹣a1=1，
当n≥2时，
所以{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．
（2）解由（1）知，
当n≥2时，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+
==1+[1﹣（﹣）n﹣1]=，
当n=1时，．
所以．
【点评】考查学生会确定一个数列为等比数列，会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式．以及会利用等比数列的前n项和的公式化简求值．

22．（14分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为=1（a＞0，b＞0），离心率，顶点到渐近线的距离为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求△AOB面积的取值范围．

【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c=综合得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（﹣n，2n），根据得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（O，a）到渐近线ax﹣by=0的距离为，
∴，
由，得
∴双曲线C的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．
设A（m，2m），B（﹣n，2n），m＞0，n＞0．
由得P点的坐标为，
将P点坐标代入，化简得．
设∠AOB=2θ，∵，∴．
又
∴．
记，
由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，，
当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当时，
△AOB的面积取得最大值
∴△AOB面积的取值范围是．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力．