2019年中考数学真题分类训练——专题十一：四边形.doc

2019年中考数学真题分类训练——专题十一：四边形
一、选择题
1．（2019盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC=3，则DE的长为

A．2 B． C．3 D．
【答案】D
2．（2019孝感）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为

A． B． C． D．
【答案】A
3．（2019台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为

A．：1 B．3：2 C．：1 D．：2
【答案】A
4．（2019安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是

A．0 B．4 C．6 D．8
【答案】D
5．（2019株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
【答案】C
6．（2019威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是

A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF C．∠AEB=∠BCD D．∠AEC=∠CBD
【答案】C
7．（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是

A．2 B． C． D．
【答案】D
8．（2019天津）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于

A． B． C． D．20
【答案】C
9．（2019池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是

A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF
【答案】B
10．（2019绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为

A． B． C． D．
【答案】A
11．（2019重庆）下列命题正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
12．（2019铜仁）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为

A．12 B．14 C．24 D．21
【答案】A
13．（2019海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为

A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
14．（2019广州）如图，ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是

A．EH=HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【答案】B
15．（2019铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是

A．360° B．540° C．630° D．720°
【答案】C
16．（2019庆阳）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是

A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
17．（2019绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积

A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【答案】D
18．（2019云南）一个十二边形的内角和等于
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【答案】D
19．（2019福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
20．（2019咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为
A．45° B．60° C．72° D．90°
【答案】C
21．（2019湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是

A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】B
22．（2019湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
二、填空题
23．（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50m，则AB的长是__________m．

【答案】100
24．（2019十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．

【答案】24
25．（2019温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB=∠AOE=90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为__________cm．

【答案】12+8
26．（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.

【答案】
27．（2019达州）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为__________．

【答案】16
28．（2019湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是__________．

【答案】4
29．（2019天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．

【答案】
30．（2019武汉）如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．

【答案】21°
31．（2019益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是__________．
【答案】5
32．（2019绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是__________．

【答案】6+2或10或8+2
33．（2019新疆）五边形的内角和为__________度．
【答案】540
34．（2019广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是__________．
【答案】8
三、证明题
35．（2019江西）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．

证明：∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2OD，
∵OA=OD，∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
36．（2019嘉兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

证明：添加的条件是BE=DF（答案不唯一）．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠BDC，
又∵BE=DF（添加），
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
37．（2019衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.

证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=CF．
38．（2019福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．

【答案】见解析．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AD=BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE．
39．（2019云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC=4：3，求∠ADO的度数．

证明：（1）∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，
∴∠DAO=∠ADO，∴AO=DO，∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC=4：3，
∴∠AOB：∠ABO=4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO=3：4：3，
∴∠ABO=54°，
∵∠BAD=90°，∴∠ADO=90°–54°=36°．
40．（2019岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．

证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2．
41．（2019湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．

证明：（1）∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴DF∥BE，EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，
∴DF=DB=DAAB=3，
∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∵DB=3，
∴四边形BEFD的周长为12．
42．（2019甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，证明：AB=FB．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，
∴∠DAG=∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图，延长DE交AB的延长线于H，

∵E是BC的中点，∴BE=CE，
又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH=DC=AB，即B是AH的中点，
又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH中，BF=AH=AB．
43．（2019怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
44．（2019杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2．
（1）求线段CE的长；
（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG．

解：（1）设正方形CEFG的边长为a，
∵正方形ABCD的边长为1，∴DE=1﹣a，
∵S1=S2，∴a2=1×（1﹣a），
解得（舍去），，
即线段CE的长是；
（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC=1，
∴CH=0.5，
∴DH，
∵CH=0.5，CG，
∴HG，
∴HD=HG．
45．（2019安徽）如图，点E在ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.

（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴，
，
又，
，
，
，
同理可得：，
在和中，，
∴△BCE≌△ADF；
（2）连接EF，
∵△BCE≌△ADF，，
又，
∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，
∴，
∴，
设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，
则h=h1+h2，
∴，即=2.

46．（2019长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE=AF；
（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
∴BE===5，
在Rt△ABE中，AB×AE=BE×AG，
∴AG==．
47．（2019宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG=DE；
（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．

证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长为8．

48．（2019滨州）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．

证明：（1）由题意可得，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵∴四边形是菱形；
（2）∵矩形中， ，
∴，
∴，∴，
设，则，
∵，∴，解得，
∴，∴四边形的面积是：．
49．（2019杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
（1）求线段CE的长；
（2）若点H为BC边的中点，连结HD，求证：.

解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
（1）设CE=x（0<x<1），则DE=1－x，
因为S1=S2，所以x2=1－x，
解得x=（负根已舍去），即CE=.
（2）证明：因为点H为BC边的中点，
所以CH=，所以HD=，
因为CG=CE=，点H，C，G在同一直线上，
所以HG=HC+CG=＋=，所以HD=HG.
50．（2019舟山）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

【答案】添加的条件是BE=DF（答案不唯一）．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠BDC，
又∵BE=DF（添加），
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
51．（2019台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．
①如图1，若AC=AD=BE=BD=CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；
②如图2，若AC=BE=CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．
①若AC=CE=EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（__________）
②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（__________）

证明：（1）①∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，
∴AB=BC=CD=DE=EA，
在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，，
∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），
∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，
∴五边形ABCDE是正五边形；
②若AC=BE=CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：
在△ABE、△BCA和△DEC中，，
∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），
∴∠BAE=∠CBA=∠EDC，∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC，
在△ACE和△BEC中，，
∴△ACE≌△BEC（SSS），
∴∠ACE=∠CEB，∠CEA=∠CAE=∠EBC=∠ECB，
∵四边形ABCE内角和为360°，
∴∠ABC+∠ECB=180°，
∴AB∥CE，
∴∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，
∴∠CAE=∠CEA=2∠ABE，
∴∠BAE=3∠ABE，
同理：∠CBA=∠D=∠AED=∠BCD=3∠ABE=∠BAE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（2）①若AC=CE=EA，如图3所示：

则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
在△AEF、△CAB和△ECD中，，
∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），
如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F=∠D=∠B=90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假；
②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，
在△BFE和△FBC中，，
∴△BFE≌△FBC（SSS），
∴∠BFE=∠FBC，
∵AB=AF，∴∠AFB=∠ABF，
∴∠AFE=∠ABC，
在△FAE和△BCA中，，
∴△FAE≌△BCA（SAS），
∴AE=CA，
同理：AE=CE，
∴AE=CA=CE，
由①得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F=∠D=∠B=90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假．

52．（2019绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：

过点C作CF⊥AE于F，S1=AB•BC=6×5=30；
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于F，过点F作FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCH=45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，
∴BG=CH=FH=FG﹣HG=6﹣5=1，
∴AG=AB﹣BG=6﹣1=5，
∴S2=AE•AG=6×5=30；
（2）能；理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，

则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCG=45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，
设AM=x，则BM=6﹣x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11﹣x，
∴S=AM×FM=x（11﹣x）=﹣x2+11x=﹣（x﹣5.5）2+30.25，
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．