2010年宁夏中考数学试题及答案.doc

2010年宁夏中考数学试卷（教师版）

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．a5÷a3＝a2 C．a2+a3＝a5 D．（a2）3＝a5
【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【思路】根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方的运算法则计算即可．
【解析】解：A、根据同底数幂的乘法，a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、根据同底数幂的除法，a5÷a3＝a2，故本选项正确；
C、不是同底数幂相乘，不能指数相加，故本选项错误；
D、根据幂的乘方，（a2）3＝a6，故本选项错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查幂的运算性质，需要熟练掌握．
2．（3分）把多项式x3﹣2x2+x分解因式结果正确的是（　　）
A．x（x2﹣2x） B．x2（x﹣2）
C．x（x+1）（x﹣1） D．x（x﹣1）2
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】这个多项式含有公因式x，应先提取公因式，然后再按完全平分公式进行二次分解．
【解析】解：原式＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故选：D．
【点拨】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
3．（3分）把61万用科学记数法可表示为（　　）
A．6.1×104 B．6.1×105 C．6.0×105 D．61×104
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解析】解：61万＝610 000＝6.1×105．
故选：B．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体
【微点】截一个几何体．
【思路】看所给选项的截面能否得到三角形即可．
【解析】解：A、圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；
B、圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；
C、三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；
D、正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查常见几何体的截面的形状，注意正方体的截面经过几个面就可得到几边形．
5．（3分）为了解居民节约用水的情况，增强居民的节水意识，下表是某个单元的住户当月用水量的调查结果
住户（户）
2
4
5
1
月用水量（方/户）
2
4
6
10
则关于这12户居民月用水量，下列说法错误的是（　　）
A．中位数6方 B．众数6方 C．极差8方 D．平均数5方
【微点】算术平均数；中位数；众数；极差．
【思路】根据表中数据，分别利用中位数、众数、极差、平均数的定义即可求出它们，然后就可以作出判断．
【解析】解：依题意得众数为6；
中位数为（4+6）＝5；
极差为10﹣2＝8；
平均数为（2×2+4×4+5×6+10）＝5．故A错．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了众数、中位数、平均数、极差等定义，要求学生对于这些定义比较熟练．
6．（3分）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【微点】平行四边形的判定．
【思路】根据平面的性质和平行四边形的判定求解．
【解析】解：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．

故选：C．
【点拨】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系．注意图形结合的解题思想．
7．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3
【微点】二次函数图象与几何变换．
【思路】利用二次函数平移的性质．
【解析】解：当y＝﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数y＝ax2、y＝a（x﹣h）2、y＝a（x﹣h）2+k的关系问题．
8．（3分）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%、若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【微点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【思路】如果设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”可得出方程为x+y＝100；根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%”，可得出方程为x（1﹣10%）+y（1+40%）＝100（1+20%）．
【解析】解：设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元．
根据题意列方程组：
．
故选：C．
【点拨】找到两个等量关系是解决本题的关键，还需注意相对应的原价及相应的百分比得到的新价格．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若分式与1互为相反数，则x的值是　﹣1　．
【微点】解分式方程．
【思路】首先根据题意列出方程，然后解方程即可．
【解析】解：依题意，有1，
方程两边同乘x﹣1，
得：2＝﹣x+1，
整理解得x＝﹣1．
经检验x＝﹣1是原方程的解．
故答案为：﹣1．
【点拨】本题主要考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．（3分）如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝48°．则∠B＝　42　度．

【微点】平行线的性质；直角三角形的性质．
【思路】先根据两直线平行，同位角相等求出∠A，再根据直角三角形两锐角互余即可求出．
【解析】解：∵CD∥AB，∠ECD＝48°，
∴∠A＝∠ECD＝48°，
∵BC⊥AE，
∴∠B＝90°﹣∠A＝42°．
【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质．
11．（3分）矩形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是　　．

【微点】列代数式．
【思路】能射进阳光部分的面积＝长方形的面积﹣直径为2b的半圆的面积．
【解析】解：能射进阳光部分的面积＝2abπb2．
【点拨】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．阴影部分的面积一般应整理为一个规则图形的面积．
12．（3分）商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．如果用27元钱，最多可以购买该商品的件数是　10　．
【微点】一元一次不等式的应用．
【思路】关系式为：5件按原价付款数+超过5件的总钱数≤27．
【解析】解：设可以购买x件这样的商品．
3×5+（x﹣5）×3×0.8≤27
解得x≤10，
∴最多可以购买该商品的件数是10．
【点拨】找到相应的关系式是解决问题的关键．注意能花的钱数应不大于有的钱数．
13．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　m≤2　．
【微点】不等式的解集．
【思路】根据不等式组的解集，可判断m与2的大小．
【解析】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，
当m＝2时，不等式组的解集也是x＞2，
所以m≤2．
故答案为：m≤2．
【点拨】主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．
14．（3分）将半径为10cm，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是　　．
【微点】圆锥的计算．
【思路】弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高，圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦．
【解析】解：圆锥的底面半径为：12π÷2π＝6，
∵圆锥的母线长为扇形的半径，
∴圆锥的高为：8，
∴圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦．
【点拨】用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形；一个角的余弦值等于这个角邻边与斜边之比．
15．（3分）如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是　　米．

【微点】相切两圆的性质．
【思路】连接三个圆的圆心，构造等边三角形．根据等边三角形的性质进行求解．
【解析】解：连接三个圆的圆心，构造等边三角形，则等边三角形的边长是1．
根据等边三角形的三线合一和勾股定理，得等边三角形的高是．
则其最高点与地面的距离是（1）米．

【点拨】此题主要是构造等边三角形，根据等边三角形的性质进行计算．
16．（3分）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是　②③　．（只填序号）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
【微点】相似多边形的性质；位似变换．
【思路】如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．
【解析】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；
②位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形是，故正确；
④位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，错误；
故答案为：②③．
【点拨】此题主要考查了位似图形的性质，相似图形不一定是位似图形；位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．
三、解答题（共10小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
【微点】实数的运算．
【思路】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解析】解：原式

＝2．
【点拨】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6分）解不等式组．
【微点】解一元一次不等式组．
【思路】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．
【解析】解：由①得：去括号得，x﹣3x+6≤4，
移项、合并同类项得，﹣2x≤﹣2，
化系数为1得，x≥1．（12分）
由②得：去分母得，1+2x＞3x﹣3，
移项、合并同类项得，﹣x＞﹣4，
化系数为1得，x＜4（4分）

∴原不等式组的解集为：1≤x＜4．
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x同时＜某一个数，那么解集为x＜较小的那个数．
19．（6分）先化简，再求代数式的值：，其中．
【微点】分式的化简求值．
【思路】先将1﹣a2因式分解，再通分进行化简，代值求结果．
【解析】解：原式

，
当时，
原式．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简然后解题比较简单．
20．（6分）在一个不透明的盒子里，装有3个写有字母A、2个写有字母B和1个写有字母C的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下字母后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下字母．请你用画树状图或列表的方法，求摸出的两个小球上分别写有字母B、C的概率．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】列举出所有情况，看摸出的两个小球上分别写有字母B、C的情况占总情况的多少即可．
【解析】解：

A
A
A
B
B
C
A
（A，A）
（A，A）
（A，A）
（A，B）
（A，B）
（A，C）
A
（A，A）
（A，A）
（A，A）
（A，B）
（A，B）
（A，C）
A
（A，A）
（A，A）
（A，A）
（A，B）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，A）
（B，A）
（B，B）
（B，B）
（B，C）
B
（B，A）
（B，A）
（B，A）
（B，B）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，A）
（C，A）
（C，B）
（C，B）
（C，C）

所有可能的结果：
（A，A）（A，A）（A，A）（A，A）（A，A）（A，A）（B，A）（B，A）（B，A）（B，A）（C，A）（C，A）
（A，A）（A，B）（A，A）（A，B）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）（B，A）（B，B）（C，A）（C，B）
（A，B）（A，C）（A，B）（A，C）（A，B）（A，C）（B，B）（B，C）（B，B）（B，C）（C，B）（C，C）
列出表格或画出树状图得共有36种情况，摸出的两个小球上分别写有字母B、C的情况有4种，
∴P（两个小球上分别写有字母B、C）．
【点拨】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．注意本题是放回实验．
21．（6分）某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从全市24000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表：
分数段
频数
频率
x＜60
20
0.10
60≤x＜70
28
0.14
70≤x＜80
54
0.27
80≤x＜90
a
0.20
90≤x＜100
24
0.12
100≤x＜110
18
b
110≤x＜120
16
0.08
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a和b所表示的数分别为：a＝　40　，b＝　0.09　；
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为优秀，那么该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生约有多少名？

【微点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
【思路】（1）先求出总人数，再求a、b；
（2）根据计算的数据补全频率分布直方图；
（3）先计算出样本中的优秀率再乘以24000，即可估计出该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生人数．
【解析】解：（1）样本容量为：20÷0.1＝200，a＝200×0.20＝40，b＝18÷200＝0.09；

（2）如图（3分）

（3）（0.12+0.09+0.08）×24000＝0.29×24000＝6960（人），
答：该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生约有6960名．
【点拨】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．以及用样本估计整体，让体×样本的百分比即可．
22．（6分）已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE＝DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．

【微点】全等三角形的判定；正方形的性质；相似三角形的判定．
【思路】（1）由已知及正方形的性质可得到AF＝DE，AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，从而可利用SAS判定△ABF≌△DAE．
（2）根据正方形的性质及相似的三角形的判定方法即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE．
∴AF＝DE．
在△ABF与△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）．（3分）

（2）解：与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，
∵△ABF≌△DAE，
∴∠FBA＝∠EAD．
∵∠FBA+∠AFM＝90°，∠EAF+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠AFM．
∴△ABM∽△FAM．
同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．（6分）
【点拨】此题主要考查学生对正方形的性质，全等三角形的判定及相似的三角形的判定方法的综合运用．
23．（8分）如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：AC＝CP；
（2）若PC＝6，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）．
（参考数据：，π＝3.14）

【微点】切线的性质；扇形面积的计算．
【思路】（1）连接OC．根据圆周角定理即可求得∠COP＝2∠ACO＝60°，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得∠P＝30°，即可证明；
（2）阴影部分的面积即为Rt△OCP的面积减去扇形OCB的面积．
【解析】（1）证明：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴AO＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°．
∴∠COP＝2∠ACO＝60°．
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC．
∴∠P＝30°．
∴∠A＝∠P．
∴AC＝PC．

（2）解：在Rt△OCP中，tan∠P，∴OC＝2
∵S△OCPCP•OC6×2且S扇形COB＝2π，
∴S阴影＝S△OCP﹣S扇形COB．

【点拨】综合运用了切线的性质定理、圆周角定理以及扇形的面积公式．
24．（8分）如图，已知：一次函数：y＝﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；
（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；
（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．

【微点】一次函数的图象；反比例函数综合题．
【思路】（1）已知M点坐标，根据M点在一次函数：y＝﹣x+4的图象上，代入把M点纵坐标用x表示出来，从而表示出矩形MM1OM2的面积为S1；（2）观察图形S1、S2，观察反比例函数在一次函数上方还是下方，从而比较其大小．
【解析】解：（1）∵M的坐标为（x，y），M点在函数y＝﹣x+4的图象上，
∴y＝﹣x+4，
∴S1＝xy＝x（﹣x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
当x＝2时，S1最大值＝4；

（2）设N（x1，y1），点N在反比例函数图象上，
∴S2＝x1×y1＝2，
由S1＝S2可得：﹣x2+4x＝2，即x2﹣4x+2＝0，
∴，
通过观察图象可得：
当时，S1＝S2，
当或2x＜4时，S1＜S2，
当时，S1＞S2．

【点拨】此题考查一次函数和反比例函数的性质及应用，学会通过图象比较面积的大小，比较简单．
25．（10分）小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道l向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离．

【微点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【思路】连接AN、BQ，过B作BE⊥AN于点E．在Rt△AMN和在Rt△BMQ中，根据三角函数就可以求得AN，BQ，求得NQ，AE的长，在直角△ABE中，依据勾股定理即可求得AB的长．
【解析】解：连接AN、BQ．
∵点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向，
∴AN⊥l，BQ⊥l． （1分）
在Rt△AMN中：tan∠AMN，
∴AN米． （3分）
在Rt△BMQ中：tan∠BMQ，
∴BQ米． （5分）
过B作BE⊥AN于点E．
则：BE＝NQ＝30米，
∴AE＝AN﹣BQ＝30． （8分）
在Rt△ABE中，
AB2＝AE2+BE2，
，
∴AB＝60米．
答：湖中两个小亭A、B之间的距离为60米． （10分）

【点拨】把图形转化为直角三角形问题，正确作出辅助线是解决本题的关键．
26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；
（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．

【微点】勾股定理；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）．
【思路】（1）根据折叠的性质知∠BAD＝∠EAB，∠DAC＝∠CAF，即∠EAF＝2∠BAC＝90°；而∠E＝∠ADB＝∠F＝∠ADC＝90°，由此可证得四边形AEMF是矩形；而AE＝AF＝AD，所以四边形AEMF是正方形；
（2）欲求正方形的面积，需求出正方形的边长，可设正方形的边长为x；由折叠的性质知BE＝BD，CD＝CF，即可用x表示出BM、MC的长，进而可在Rt△BMC中，由勾股定理求得正方形的边长，即可得到正方形的面积．
【解析】解：（1）∵AD⊥BC，
△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1＝∠3，∠E＝∠ADB＝90°，BE＝BD，AE＝AD．
又∵△AFC是由△ADC折叠所得，
∴∠2＝∠4，∠F＝∠ADC＝90°，FC＝CD，AF＝AD．
∴AE＝AF．（2分）
又∵∠1+∠2＝45°，
∴∠3+∠4＝45°．
∴∠EAF＝90°．（3分）
∴四边形AEMF是正方形．（5分）

（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x；
根据题意知：BE＝BD，CF＝CD，
∴BM＝x﹣1；CM＝x﹣2．（7分）
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC2＝CM2+BM2
∴（x﹣1）2+（x﹣2）2＝9，
x2﹣3x﹣2＝0，
解之得：（舍去）．
∴．（10分）
方法二：设：AD＝x
∴
∴S五边形AEBCF＝2S△ABC＝3x（7分）
∵
且S正方形AEMF＝S五边形AEBCF+S△BMC，
∴即x2﹣3x﹣2＝0，
解之得：，（舍去），
∴．（10分）

【点拨】此题考查了图形的折叠变换、正方形的判定、勾股定理以及图形面积的求法，能够根据折叠的性质正确地得到与已知和所求相关的相等角和相等边，是解答此题的关键．

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