四川省自贡市2019年中考数学真题试题.docx

四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共6页，满分150分.
答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，答卷时必须将答案答在答题卡上，在本试卷，草稿纸上，答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第I卷选择题 （共48分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
一.选择题（每小题4分，共48分）
1.-2019的倒数是（ B ）
A.-2019 B. C. D.2019
2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门成为展示强国实力的新名片，现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为（ A ）
A. B. C. D.
3.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）

4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均数都是90分，甲的方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ B ）
A.甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人成绩一样稳定 D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
5.下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ C ）

6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边为整数，则该三角形周长为（ C ）
A.7 B.8 C.9 D.10
7.实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ B ）
A.|m|＜1 B.1-m＞1 C.mn＞0 D.m+1＞0

8.关于的一元二次方程，无实数根，则实数的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
9.一次函数y=ax+b与反比例函数的图象如图所示，则二次函数y=ax²+bx+c的大致图象是（ A ）

10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ D ）

11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ C ）
A. B. C. D.

12.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）点C、F分别是直线和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD的值是（ B ）
A. B. C. D.

第II卷非选择题 （共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚.答在试题卷上无效.

二.填空题（每小题4分，共24分）
13.如图直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=120°，则∠2= 60°.

14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分，95分，90分，85分，75分的人数分别是1,3,4,2,2，那么这组数据的众数是 90 分
15.分解因式.
16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE=.

18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos（α+β）=

三.解答题（共8个小题，共78分）
19.（本题满分8分）计算：
解：原式=

20.（本题满分8分）解方程：
解：，经检验是原方程的解.
21.（本题满分8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC.求证：（1）；（2）AE=CE；

证明：（1）如图，连接AC.∵AB=CD，∴，∴，即
（2）∵，∴∠ACD=∠BAC，∴AE=CE

22.（本题满分8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛.
收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩分数如下（单位：分）：
90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97
88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82
整理分析数据：
成绩x（单位：分）
频数（人数）
60≤x＜70
1
70≤x＜80

80≤x＜90
17
90≤x＜100

（1） 将图中空缺的部分补充完整；
成绩x（单位：分）
频数（人数）
60≤x＜70
1
70≤x＜80
2
80≤x＜90
17
90≤x＜100
10

（2） 学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中有多少人将获得表彰；
答案：（人），答：约有120人受到表彰
（3）“创文知识竞赛”中收到表彰的小红同学得到印有龚扇，剪纸，彩灯，恐龙图案的四枚纪念奖章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念奖章中，恰好有恐龙图案的概率是
.
答案：
23. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3,5），B（a，-3）两点，与轴交于点C.
（1） 求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2） 在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出当时，的取值范围

答案：
（1）把A（3,5）代入得，∴反比例函数的解析式为
把B（a，-3）代入得；∴B（-5，-3）
把A（3,5），B（-5，-3）代入得，解之得
∴一次函数的解析式为
（2）依题意得，直线AB与y轴交点即为P点，在y=x+2中，令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，∴点P的坐标为（0,2），点C的坐标为（-2,0），此时PB=5，PC=2，∴PB-PC的最大值为3
（3）当时，的取值范围是-5＜x＜0或x＞3

24.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②-①得
∴
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1） ；
（2） ；
（3） 求的和（，是正整数，请写出计算过程）.
解：设①
则②
②-①得
∴

25.（本题满分12分）
（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①线段DB和DG之间的数量关系是DB=DG；
②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.

（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度.

图1 图2 图3
（2）①
理由如下：在菱形ABCD中，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF-∠BDF=∠BDG-∠BDF，即∠FDG=∠BDE.
在△DBG中，∠G=180°-∠BDG-∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.
在△BDE和△GDF中∴△BDE≌△△GDF（ASA），∴BE=GF
∴BE+BF=BF+GF=BG.

过点D作DM⊥BG于点M如图所示：∵BD=DG，∴BG=2BM.在Rt△BMD中，∠DBM=30°，∴BD=2DM，设DM=a，则BD=2a，BM=.∴BG=，∴
∴BF+BE=BD.
②GM的长度为.理由：∵，FC=2DC=4，CM=BC=，∴GM=

26.（本题满分14分）
如图，已知直线AB与抛物线相交于点A（-1,0）和点B（2,3）两点.
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）把A（-1,0），B（2,3）代入抛物线得解之得
∴抛物线C的函数表达式为：

（2）∵A（-1,0），B（2,3），∴直线AB的解析式为：，如图所示，过M作MN∥y轴交AB于N，设，则，（-1＜m＜2）
∴，∴S△ABM=S△AMN+S△BMN=
∴S△ABM=，∴当时，△ABM的面积有最大值，而S□MANB=2S△ABM=，此时
（3）存在，点
理由如下：令抛物线顶点为D，则D（1,4），则顶点D到直线的距离为，设设，设P到直线的距离为PG.则
PG=，∵P为抛物线上任意一点都有PG=PF，∴当P与顶点D重合时，也有PG=PF.此时PG=，即顶点D到直线的距离为
∴PF=DF=，∴，∵PG=PF，∴，
∵

∴
整理化简可得，∴当时，无论取任何实数，均有PG=PF

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