2017年北京高考理科数学试题及答案.doc

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2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|－2<x<1}，B={x|x<－1或x>3}，则AᴨB=
（A）{x|－2<x<－1} （B）{x|－2<x<3}
（C）{x|－1<x<1} （D）{x|1<x<3}
（2）若复数（1－i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
（A）(–∞，1) （B）(–∞，－1)
（C）(1，+∞) （D）(–1，+∞)
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）2 （B） （C） （D）
（4）若x，y满足 x≤3，
x + y ≥2，则x + 2y的最大值为
y≤x，
（A）1 （B）3 （C）5 （D）9
（5）已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数
（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3
（B）2
（C）2
（D）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_______________.
（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=__________.
（11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .
（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若，则= .
（13）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________.
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________。

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中， =60°，c= a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积.

（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.

(I)求证：M为PB的中点；
(II)求二面角B-PD-A的大小；
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。

（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“* ”表示服药者，“+”表示为服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

（18）（本小题14分）
已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
（19）（本小题13分）
已知函数f(x)=excosx−x.
（Ⅰ）求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.

（20）（本小题13分）
设{an}和{bn}是两个等差数列，记
cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，
其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数．
（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．

2017年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）答案
一、
（1）A （2）B （3）C （4）D
（5）A （6）A （7）B （8）D
二、
（9）2 （10）1
（11）1 （12）
（13）（答案不唯一） （14）Q1 p2
三、
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，
所以由正弦定理得.
（Ⅱ）因为，所以.
由余弦定理得，
解得或（舍）.
所以△ABC的面积.
（16）（共14分）
解：（I）设交点为，连接.
因为平面，平面平面，所以.
因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.

（II）取的中点，连接，.
因为，所以.
又因为平面平面，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为是正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系，则，，，
，.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，.于是.
平面的法向量为，所以.
由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

（III）由题意知，，.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为

0
1
2

故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

（18）（共14分）
解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为

，
所以.
故A为线段BM的中点.

（19）（共13分）
解：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.

（20）（共13分）
解：（Ⅰ）
，
.
当时，，
所以关于单调递减.
所以.
所以对任意，于是，
所以是等差数列.
（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则
.
所以
①当时，取正整数，则当时，，因此.
此时，是等差数列.
②当时，对任意，

此时，是等差数列.
③当时，
当时，有.
所以

对任意正数，取正整数，
故当时，.

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