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2006年山东高考文科数学真题及答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）定义集合运算：，，，设集合，，，，则集合的所有元素之和为　　
A．0 B．6 C．12 D．18
2．（5分）设，则（2）的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（5分）函数的反函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
4．（5分）设向量，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知定义在上的奇函数满足，则（6）的值为　　
A． B．0 C．1 D．2
6．（5分）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则　　
A．1 B．2 C． D．
7．（5分）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
8．（5分）正方体的内切球与其外接球的体积之比为　　
A． B． C． D．
9．（5分）设，，则是的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（5分）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是　　
A． B．1 C． D．45
11．（5分）已知集合，，，，3，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为　　
A．33 B．34 C．35 D．36
12．（5分）已知和是正整数，且满足约束条件则的最小值是　　
A．24 B．14 C．13 D．11.5
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　 　．
14．（4分）设为等差数列的前项和，若，，则公差为　 　（用数字作答）．
15．（4分）已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，，，两点，则的最小值是　 　．
16．（4分）如图，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为　 　．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）设函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）讨论的极值．
18．（12分）已知函数，，，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）计算（1）（2）．
19．（12分）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
（Ⅱ）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
（Ⅲ）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．
20．（12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又，，．
（1）求异面直接与所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小；
（3）设点在棱上，且，问为何值时，平面．

21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线过点且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线的方程．
22．（14分）已知数列中，，点在直线上，其中，2，．
（Ⅰ）令，求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项；
（Ⅲ）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出．若不存在，则说明理由．

2006年山东高考文科数学真题参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）定义集合运算：，，，设集合，，，，则集合的所有元素之和为　　
A．0 B．6 C．12 D．18
【解答】解：当时，，
当，时，，
当，时，，
故所有元素之和为18，
故选：．
2．（5分）设，则（2）的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：（2）（1），故选．
3．（5分）函数的反函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的反函数为，
它的图象是函数向右移动1个单位得到，
故选：．
4．（5分）设向量，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
设向量，
依题意，得，
所以，，
解得，，
故选：．
5．（5分）已知定义在上的奇函数满足，则（6）的值为　　
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：因为，
所以（6）（4）（2），
又是定义在上的奇函数，
所以，
所以（6），
故选：．
6．（5分）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：解法一：（余弦定理）由得：
，，或（舍．
解法二：（正弦定理）由，得：，
，
，，从而，
，．
7．（5分）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设椭圆方程为，
则有，
据此求出，
故选：．
8．（5分）正方体的内切球与其外接球的体积之比为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设正方体的棱长为，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，
故所求的比为，
选
9．（5分）设，，则是的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，解得或，
，当时可化为得或
故的解为：或或，
故选：．
10．（5分）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是　　
A． B．1 C． D．45
【解答】解：第三项的系数为，第五项的系数为，
由第三项与第五项的系数之比为可得
展开式的通项为为，
令，
解得，
故所求的常数项为，
故选：．
11．（5分）已知集合，，，，3，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为　　
A．33 B．34 C．35 D．36
【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为，
但集合、中有相同元素1，
由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，
故所求的个数为个，
故选：．
12．（5分）已知和是正整数，且满足约束条件则的最小值是　　
A．24 B．14 C．13 D．11.5
【解答】解：画出满足约束条件对应的可行域：如图所示
易得点坐标为且当直线
过点时取最大值，此时，点
的坐标为，过点时取得最小值，
但，都是整数，最接近的整数解为，
故所求的最小值为14，
故选：．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　200　．
【解答】解：学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，
每个个体被抽到的概率是，
，
学校的教师人数为．
故答案是：200．
14．（4分）设为等差数列的前项和，若，，则公差为　　（用数字作答）．
【解答】解：设首项为，公差为，由题得

故答案为
15．（4分）已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，，，两点，则的最小值是　32　．
【解答】解：设直线方程为，与抛物线方程联立消去得

显然，，又，
当且仅当时取等号，此时不存在．
故答案为32
16．（4分）如图，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为　　．
【解答】解：如图所示，取得中点，连接，，过点作，垂足为
，为中点，

，为中点，

又，
平面
又平面，
平面平面，平面平面，，
平面，
的长度即为点到平面的距离，即点到平面的距离
在△中，，，
，即点到平面的距离为
故答案为：

三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）设函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）讨论的极值．
【解答】解：由已知得，
令，解得，．
（Ⅰ）当时，，在上单调递增
当时，，，随的变化情况如下表：

0

0

0

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当时，函数没有极值．
当时，函数在处取得极大值1，在处取得极小值．
18．（12分）已知函数，，，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）计算（1）（2）．
【解答】解：（Ⅰ）．
的最大值为2，．
．
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
．
．
过点，．
，，
，
又，
．

（Ⅱ）解法一：，
（1）（2）（3）（4）．
又的周期为4，，
（1）（2）．
解法二：
，，
（1）（2）（3）（4）．
又的周期为4，，
（1）（2）．
19．（12分）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
（Ⅱ）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
（Ⅲ）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
设“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为，
试验发生包含的所有事件数，
满足条件的事件是抽出的3张卡片上最大的数字是4，包括有一个4或有2个4，
事件数是
由古典概型公式．
由题意知本题是一个古典概型，
设“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为，
试验发生包含的所有事件数，
满足条件的事件是抽出的3张卡片上有2张卡片上的数字是3，共有种结果
由古典概型公式得到
“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为，
“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为，
由题意，与是对立事件，是选一卡片，取2张，另选取一张

（C）．
20．（12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又，，．
（1）求异面直接与所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小；
（3）设点在棱上，且，问为何值时，平面．

【解答】解：（1）平面，
又，
由平面几何知识得：
过做交于于，连接，则或其补角为异面直线与所成的角，
四边形是等腰梯形，
，，

又
四边形是平行四边形．

是的中点，且
又，
为直角三角形，

在中，由余弦定理得
故异面直线与所成的角的余弦值为；
（2）连接，由（1）以及三垂线定理可知，为二面角的平面角，
，，二面角的平面角的大小为；
（3）连接，，，
平面，平面，
，
在中，，，，
，，
，
故时，平面．

21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线过点且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线的方程．
【解答】解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得，
所求椭圆方程为．
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，，
由，消去得关于的方程：，
由直线与椭圆相交于、两点，
△
解得
又由韦达定理得

原点到直线的距离
．
对两边平方整理得：
，
整理得：
又，
从而的最大值为，
此时代入方程得
所以，所求直线方程为：．
22．（14分）已知数列中，，点在直线上，其中，2，．
（Ⅰ）令，求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项；
（Ⅲ）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出．若不存在，则说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，
，
又，，
，
是以为首项，以为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，
，，

，
将以上各式相加得：
，
．
．
（Ⅲ）存在，使数列是等差数列．
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，

又
当且仅当时，数列是等差数列．