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2007年吉林高考理科数学真题及答案

注意事项：
1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）
A． B． C． D．
10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 ．
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．
16．已知数列的通项，其前项和为，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
18．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
A
E
B
C
F
S
D
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，
侧棱底面分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设数列的首项．
（1）求的通项公式；
（2）设，证明，其中为正整数．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

参考答案
评分说明：
1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C
7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥，且，故

于是．
解得（舍去）．
（2）的可能取值为．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故
．
．
．
所以的分布列为

0
1
2

A
E
B
C
F
S
D
H
G
M
19．解法一：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
A
A
E
B
C
F
S
D
G
M
y
z
x
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为．
20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，
即 ．

由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．
21．解：（1）由
整理得 ．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

（2）方法一：
由（1）可知，故．
那么，

又由（1）知且，故，
因此 为正整数．
方法二：
由（1）可知，
因为，
所以 ．
由可得，
即
两边开平方得 ．
即 为正整数．
22．解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程

有三个相异的实数根．
记 ，
则
．
当变化时，变化情况如下表：

0

0

0

极大值

极小值

由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．