2007年河南高考文科数学真题及答案.doc

2007年河南高考文科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题
（1）设，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（2）是第四象限角，，（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（3）已知向量，，则与（　　）
Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（5）甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有（　　）
Ａ．种 Ｂ．种 Ｃ．种 Ｄ．种
（6）下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

（7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　）
Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件
Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件
（10）函数的一个单调增区间是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（12）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．
（14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则____________．
（15）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
（16）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求b．
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
（19）（本小题满分12分）
S
C
D
A
B
四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
（22）（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

参考答案
一、选择题
1．Ｄ　　2．Ｂ　　3．Ａ　　4．Ａ　　5．Ｃ　　6．Ｃ　　7．Ｄ　　8．Ｄ　　9．Ｂ
10．Ｄ　　11．Ａ　　12．Ｃ
二、填空题
13．　　14．　　15．　　16．
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．
18．解：
（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．
，．

．
19．解法一：
（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
D
B
C
A
S

E
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设，
故，由，
，
．
又，作，垂足为，
则平面，连结．为直线与平面所成的角．

所以，直线与平面所成的角为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
D
B
C
A
S

因为，
，
又，所以，
，．
，，
，，所以．
（Ⅱ），.
与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
20．解：
（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范围为．
21．解：
（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．
所以，
．
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，

．
22．证明
（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，
故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，，
；
因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．