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2005年天津高考文科数学真题及答案

本试卷分第I卷（选择题）和（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷1至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将考试卷和答题卡一并收回．

第I卷（选择题，共50分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目添涂在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）＝P（A）·P（B） 其中R表示球的半径.
如果事件A在一次试验中发生的概率 球的体积公式
是P，那么n次独立重复试验中恰好发生
k次的概率 其中R表示球的半径
Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A＝｛x｜0≤x＜3，且x∈N｜＝的真子集的个数是 （ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
2．已知，则 （ ）
A．2b＞2a＞2c　　　B．2a＞2b＞2c　 C．2c＞2b＞2a　 D．2c＞2a＞2b　
3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为
A． B． C． D．
4．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x－4y=0相切，则实数λ的值为
A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11
5．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是
A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
6．设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
7．给出下列三个命题： （ ）
①若a≥b＞－1，
②若正整数m和n满足m≤n，则≤
③设P（x1，y1）为圆O1：x2＋y2＝9上任一点，圆O2以Q（a，b）为圆心，且半径为1，当（a－x1）2＋（b－y1）2＝1时，圆O1和圆O2相切.
其中假命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．函数y＝Asin（ωx＋）（ω＞0,｜｜＜ ，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为

A．y＝－4sin（
B．y＝4sin（
C．y＝－4sin（
D．y＝4sin（
9．若函数f（x）＝loga（2x2＋x）（a＞0，a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则
f（x）的单调递增区间为 （ ）
A．（－∞，－） B．（－，＋∞）
C．（0，＋∞） D．（－∞，－）
10．设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在（0，3）内单调递减，且y＝f（x）的图象关于直线x＝3对称，则下面正确的结论是 （ ）
A．f(1.5)＜f(3.5)＜f(6.5) B．f(3.5)＜f(1.5)＜f(6.5)
C．f(6.5)＜f(3.5)＜f(1.5) D．f(3.5)＜f(6.5)＜f(1.5)

第II卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11．二项式（－）10的展开式中常数项为_____________（用数字作答）．
12．已知｜｜＝2，｜｜＝4，与的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_______________．

13．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°
且PA＝AC＝BC＝a．则异面直线
PB与AC所成角的正切值等于_________．

14．在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an＋2－an＝1+（－1）n（n∈N*），则S10＝_______．
15．设函数f（x）=，则函数g（x）=f（）+f（）的定义域为________．

16．在三角形的每条边上各取三个分点（如图）．以这
9个分点为顶点可画出若干个三角形．若从中任意
抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形
的三条不同边上的概率为____________（用数字作答）．
 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
  已知sin（α－）＝，cos2α=，求sinα及tan（α＋）．

 18．（本小题满分12分）

若公比为c的等比数列｛an｝的首项a1＝1且满足
an＝
（I）求c的值．
（II）求数列｛nan｝的前n项和Sn．

19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC，AB＝AC，A1A＝A1B＝a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点．
（I）求A1A与底面ABC所成的角；
（II）证明A1E∥平面B1FC；
（III）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．

20．（本小题满分12分）

某人在一山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔．如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线OC，塔高BC＝80（米），山高OB＝220（米），OA＝200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα＝试问，此人距山崖的水平距离多远时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？

21．（本小题满分14分）
  已知m∈R，设
P：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式｜m2－5m－3｜≥｜x1－x2｜的任意实数a∈［－1，1］恒成立；
Q：函数f（x）＝x3＋mx2＋（m＋x＋6在（－∞，＋∞）上有极值．
求使P正确且Q正确的m的取值范围．

 22．（本小题满分14分）
  抛物线C的方程为y＝ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同）且满足k2＋λk1＝0（λ≠0且λ≠－1）．
（I）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（II）设直线AB上一点M，满足＝λ，证明线段PM的中点在y轴上；
（III）当λ＝1时，若点P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．

参考答案

说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.
1．C 2．A 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分24分.
11．210 12． 13． 14．35 15． 16．
三、解答题
17．本小题考查两角和差的三角公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.
解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故 ②
由①式和②式得
因此，由两角和的正切公式

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
解得
在第二象限，于是
以下同解法一.
18．本小题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列以及求数列前n项和的方法等基础知识，考查运算能力，满分12分.
（Ⅰ）解：由题设，当n≥3时,

由题设条件可得
解得
（Ⅱ）解：由（I），需要分两种情况讨论.当
这时，数列{nan}的前n项和
当
这时，数列{nan}的前n项和 ①
①式两边同乘
②
①式减去②式，得

19．本小题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.
连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是
∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角.
∵∠A1AB=∠A1AC， ∴AG为∠BAC的平分线.
又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G为BC的中点
因此，由三垂线定理，A1A⊥BC.
∵A1A//B1B，且EG//B1B， EG⊥BC 于是
∠AGE为二面角A—BC—E的平面角，即
∠AGE=120°
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°，
所以，A1A与底面ABC所成的角为60°，
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP.
而FP平面B1FC，A1E平面B1FC，所以A1E//平面B1FC.
（Ⅲ）解：连结A1C，在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，
A1A=A1A，则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a.
又∵A1H⊥平面ABC， ∴H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A.
在Rt△A1FO中，
故所求球的半径，球的体积 .

20．本小题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力，满分12分.
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
则A（200，0），B（0，220），C（0，300），
直线l的方程为即

设此人距山崖的水平距离为x，
则
由经过两点的直线的斜率公式

由直线PC到直线PB的角的公式得

要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式

当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大.
由此实际问题知，所以tanBPC最大时，∠BPC最大，故当此人距山崖水平距离320米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.
21．本小题主要考查集合的运算、绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力,满分14分.
解：（1）由题设是方程
所以，
当的最大值为9，即.
由题意，不等式恒成立的m的解集等于不等式的解集，由此不等式得①或
②
不等式①的解为
不等式②的解为
因此，当
（2）对函数

x

x0
(x0,+)

+
0
+
因此，不是函数的极值.
有两个不相等的实根的符号如下：
x

x1

x2
(x2,+)

+
0
－
0
+
因此，函数
综上所述，当且仅当
由
因此，当
综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为

22．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线方程、平面向量、直线与曲线相交、两条直线的夹角等解析几何的基础知识、基本思想方法和综合解题能力.满分14分.
（I）解：由抛物线C的方程
（II）证明：设直线PA的方程为

①
②

的解，将②式代入①式得③
又点的坐标是方程组
④
⑤

的解，将⑤式代入④式得
由已知得， ⑥
设点M的坐标为
将③式和⑥式代入上式得

（III）解：因为点P（1，－1）在抛物线上，所以a=－1，抛物线方程为.
由③式知
将代入⑥式得
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有

求得k1的取值范围为

又点A的纵坐标