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2006年陕西高考文科数学真题及答案

注意事项：
1．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
3．所有答案必须在答题卡指定区域内作答，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 选择题（共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。
1．已知集合等于
（A）{－2，3} （B）{－3，2} （C）{3} （D）{2}
2．函数的值域是
（A）[0，1] （B） （C） （D）（0，1）
3．已知等差数列，则该数列前9项和S9等于
（A）45 （B）36 （C）27 （D）18
4．设函数的图像过点（0，0），其反函数的图像过点（1，2），
则a+b等于
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5．设直线过点（0，a）其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为
（A）±4 （B） （C）±2 （D）
6．“α、β、成等差数列”是“等式sin(α+ )=sin2β成立”的
（A）必要而不充分条件 （B）充分而不必要条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
7．设为正数，则的最小值为
（A）15 （B）12 （C）9 （D）6
8．已知非零向量满足
（）·=0 且 ·=.
则△ABC为
（A）等边三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形
9．已知函数. 若，=0，则
（A） （B）
（C） （D）的大小不能确定
10．已知双曲线的两条渐近线的夹角为则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）2
11．已知平面外不共线的三点A，B，C到的距离都相等，则正确的结论是
（A）平面ABC必不垂直于
（B）平面ABC必平行于
（C）平面ABC必与相交
（D）存在△ABC的一条中位线平行于或在内
12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明
文（解密）. 已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文
1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为
（A）1,6,4,7 （B）4,6,1,7 （C）7,6,1,4 （D）6,4,1,7

第二部分（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.
13．的值为 .
14．（）6展开式中的常数项为 （用数字作答）.
15．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种（用数字作答）.
16．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是现3人各投篮1次，求：
（Ⅰ）3人都投进的概率；
（Ⅱ）3人中恰有2人投进的概率.
18．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求使函数取得最大值的x的集合.

19．（本小题满分12分）
如图，，点A在直线l
上的射影为A1，点B在l上的射影为B1. 已知AB=2，
AA1=1，BB1=，求：
（Ⅰ）直线AB分别与平面所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A1—AB—B1的大小.
20．（本小题满分12分）
已知正项数列，其前n项和Sn满足，且成等比数列，求数列的通项
21．（本小题满分12分）

如图，三定点A（2，1），B（0，－1），C（－2，1）；三动点D，E，M满足，，
（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.
22．（本小题满分14分）
设函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的极小值大于0，求k的取值范围.

2006年陕西高考文科数学真题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.A 10.D 11.D 12.C
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.
13. 14.60 15.1320 16.3R.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）.
17．解：（I）记“甲投进”为事件A1，“乙投进”为事件A2，“丙投进”为事件A3，则

∴P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=
∴3人都投进的概率为.
（II）设“3人中恰有2人投进”为事件B，则

∴3人中恰有2人投进的概率为.
18．解：（I）

（II）

19．解法一：（I）如图，连接A1B，AB1.

∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB2⊥l，∴AA1⊥，BB1⊥a.
则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与和所成的角.
Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，
∴sin∠BAB1= ∴∠BAB1=45°
Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，

∴sin∠ABA1= ∴∠ABA1=30°.
故AB与平面，，所成的角分别是45°，30°.
（II）∵BB1⊥， ∴平面ABB1⊥.在平面内过A1
作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作
EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.
∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴
在Rt△AA1B中，由AA1·A1B=A1F·AB得
A1F= ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=，
∴二面角A—AB—B1的大小为arcsin .

解法二：（I）同解法一.
（II）如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），
A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）.
在AB上取一点F（x , y, z），则存在t∈R，使得，
即(x, y, z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t, 1－t).
要使
即(t, t, 1－t)·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t=,
∴点F的坐标为
设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，），

∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos.
20． ①解之得a1=2或a2=3.
又 ②
由①—②得

21．解：（I）
解法一：如图（1）设D(xD, yD), E(xE , yE), M(x, y).

由

（II）

即所求轨迹方程为
解法二：（I）同上.
（II）如图，

设M点坐标为(x, y)，由得

故轨迹方程是
22．解：（I）当k=0时，f(x)=－3x2+1.
∴f(x)的单调增区间为单调减区间为当k>0时

∴f(x)的单调增区间为单调减区间为.
（II）当k=0时，函数f(x)不存在极小值.
当k>0时，依题意

即k2>4. 由条件k>0，所以k的取值范围为（2，+∞）.