2021年湖北省宜昌市中考数学真题试卷++解析版.doc

2021年湖北省宜昌市中考数学试卷
一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号，每小题3分，计33分）
1．﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（　　）

A．5.46×102 B．5.46×103 C．5.46×106 D．5.46×107
4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
5．下列运算正确的是（　　）
A．x3+x3＝x6 B．2x3﹣x3＝x3 C．（x3）2＝x5 D．x3•x3＝x9
6．在六张卡片上分别写有6，﹣，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（　　）

A．85° B．75° C．70° D．65°
11．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置.每小题3分，计12分.）
12．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为﹣6℃，攀登2km后，气温下降 　 　℃．
13．如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　 　．

14．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 　 　．（填“黑球”或“白球”）

15．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 　 　平方厘米．（圆周率用π表示）

三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分.）
16．（6分）先化简，再求值：÷﹣，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x代入求值．
17．（6分）解不等式组．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 　 　，射线AE是∠DAC的 　 　；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

19．（7分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h
B组：0.5h≤t＜1h
C组：1h≤t＜1.5h
D组：t≥1.5h

请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是 　 　人；
（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；
（3）D组对应扇形的圆心角为 　 　°；
（4）本次调查数据的中位数落在 　 　组内；
（5）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少．
20．（8分）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．
x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款 　 　元；购买5kg苹果需付款 　 　元；
（2）求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式；
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．

22．（10分）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少m%，求m的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
23．（11分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．
（1）写出A点坐标；
（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．

2021年湖北省宜昌市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号，每小题3分，计33分）
1．﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．
【解答】解：﹣2021的倒数是．
故选：D．
2．下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（　　）

A．5.46×102 B．5.46×103 C．5.46×106 D．5.46×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5460万＝54600000＝5.46×107，
故选：D．
4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】利用三角形的内角和定理可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行线的性质定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：如图，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠D＝45°，
∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
5．下列运算正确的是（　　）
A．x3+x3＝x6 B．2x3﹣x3＝x3 C．（x3）2＝x5 D．x3•x3＝x9
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：A．x3+x3＝2x3，故本选项不合题意；
B.2x3﹣x3＝x3，故本选项符合题意；
C．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
D．x3•x3＝x6，故本选项不合题意；
故选：B．
6．在六张卡片上分别写有6，﹣，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵六张卡片上分别写有6，﹣，3.1415，π，0，六个数，无理数的是π，，
∴从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：＝．
故选：C．
7．某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案．
【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝（V，p都大于零），
∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．
故选：B．
8．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设有x人，买此物的钱数为y，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．
【解答】解：设有x人，买此物的钱数为y，
由题意得：，
故选：A．
9．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由图可知，可把∠ABC放在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出斜边AB的长，再利用余弦的定义可得cos∠ABC＝＝＝．
【解答】解：法一、如图，

在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
故选：B．
10．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（　　）

A．85° B．75° C．70° D．65°
【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝30°，
∴．
故选：D．

11．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【分析】矩形的长为（a+6）米，矩形的宽为（a﹣6）米，矩形的面积为（a+6）（a﹣6），根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，
故选：C．
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置.每小题3分，计12分.）
12．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为﹣6℃，攀登2km后，气温下降 　12　℃．
【分析】根据每登高1km气温的变化量为﹣6℃，可以得到登2km后，气温下降的度数．
【解答】解：由题意可得，
2÷1×（﹣6）
＝2×（﹣6）
＝﹣12（℃），
即气温下降12℃，
故答案为：12．
13．如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　（1，﹣2）　．

【分析】直接利用平移的性质得出B点坐标，再利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：∵将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，
∴B（1，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
14．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 　白球　．（填“黑球”或“白球”）

【分析】根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再得出摸到白球的概率，即可推断出是白球多还是黑球多．
【解答】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，
∴摸出白球的概率约为0.8，
∴白球的个数比较多，
故答案为白球．
15．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 　（2π﹣2）　平方厘米．（圆周率用π表示）

【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，
∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），
S扇形BAC＝＝π（厘米2），
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，
故答案为：（2π﹣2）．

三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分.）
16．（6分）先化简，再求值：÷﹣，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x代入求值．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从1，2，3这三个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷﹣
＝•（x+1）﹣
＝
＝，
∵（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠1，﹣1，
∴x＝2或3，
当x＝2时，原式＝＝1．
17．（6分）解不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组解集为x≤1．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 　垂直平分线　，射线AE是∠DAC的 　角平分线　；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

【分析】（1）根据作图痕迹判断即可．
（2）想办法求出∠CAD，可得结论．
【解答】解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的 角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线．

（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝B＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAD＝25°．
19．（7分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h
B组：0.5h≤t＜1h
C组：1h≤t＜1.5h
D组：t≥1.5h

请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是 　400　人；
（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；
（3）D组对应扇形的圆心角为 　36　°；
（4）本次调查数据的中位数落在 　C　组内；
（5）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少．
【分析】（1）根据A组的人数和百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数和条形统计图即可求出C组人数；
（3）先算出D组所占的百分比，再求出对应的圆心角；
（4）根据第200个和第201个数据所在的组即可求出中位数所在的组；
（5）根据优秀人数的百分比即可估算出全市优秀的人数．
【解答】解：（1）∵A组有40人，占10%，
∴总人数为（人），
故答案为400；
（2）C组的人数为400﹣40﹣80﹣40＝240（人），
统计图如下：

（3）D组所占的百分比为，
∴D组所对的圆心角为360°×10%＝36°，
故答案为36；
（4）中位数为第200个数据和第201个数据的平均数，都在C组，
∴中位数在C组，
故答案为C；
（5）优秀人数所占的百分比为，
∴全市优秀人数大约为80000×70%＝56000（人）．
20．（8分）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．
x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款 　30　元；购买5kg苹果需付款 　46　元；
（2）求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式；
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
【分析】（1）根据题意直接写出购买3kg和5kg苹果所需付款；
（2）分0＜x≤4和x＞4两种情况写出函数解析式即可；
（3）通过两种付款比较那个超市便宜即可．
【解答】解：（1）由题意可知：文文购买3kg苹果，不优惠，
∴文文购买3kg苹果需付款：3×10＝30（元），
购买5kg苹果，4kg不优惠，1kg优惠，
∴购买5kg苹果需付款：4×10+1×10×0.6＝46（元），
故答案为：30，46；
（2）由题意得：
当0＜x≤4时，y＝4x，
当x＞4时，y＝4×10+（x﹣4）×10×0.6＝6x+16，
∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y＝；
（3）文文在甲超市购买10kg苹果需付费：6×10+16＝76（元），
文文在乙超市购买10kg苹果需付费：10×10×0.8＝80（元），
∴文文应该在甲超市购买更划算．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．

【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，证明OM＝OE即可；
（2）①先求出∠HOE＝120°，再求出OH＝4，代入弧长公式即可；
②过A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，对应边成比例求出AD的长．
【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是⊙O的切线．

（2）①如图2，

∵G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴∠HOE＝120°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴由弧长公式得到的长：＝．
②如图3，过A作AN⊥BD于点N，
∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，
∴OD＝，OB＝2，DN＝，
∴△DOG∽△DAN，
∴，
∴，
∴AD＝．

22．（10分）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少m%，求m的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【分析】（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则100x+100×30%x+100×20%x＝15000，解得x＝100，可得结论；
（2）由“今年的灌溉用水量比去年减少m%”可列出等式，进而求出m的值；
（3）分别计算去年因用水量减少所节省的水费和今天的两项投入之和，再进行比较即可．
【解答】解：（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则
100x+100×30%x+100×20%x＝15000，
解得x＝100，
∴漫灌用水：100×100＝10000吨，
喷灌用水：30%×10000＝3000吨，
滴灌用水：20%×10000＝2000吨，
∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌试验田用水2000吨．
（2）由题意可得，100×（1﹣2m%）×100×（1﹣m%）+100×（1+m%）×30×（1﹣m%）+100×（1+m%）×20×（1﹣m%）＝15000×（1﹣m%），
解得m＝0（舍），或m＝20，
∴m＝20．
（3）节省水费：15000×m%×2.5＝13500元，
维修投入：300×30＝9000元，
新增设备：100×2m%×100＝4000元，
13500＞9000+4000，
∴节省水费大于两项投入之和．
23．（11分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值．

【分析】（1）根据邻边相等的矩形的正方形证明即可．
（2）①证明△CGB′≌△CDF′（ASA），可得结论．
②设正方形的边长为a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明GK＝PK，求出PG＝2PK，求出PK可得结论．
（3）如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．由tan∠G＝tan∠F′CH＝＝，设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝x，由△RB′C∽△RF′H，推出＝＝＝，推出CH＝RH，B′F′＝RF′，可得CR＝2CH＝2x，S△CF′R＝2S△CF′H，再由△GB′C∽△GE′H，推出＝＝＝，可得＝＝推出GB＝2（﹣1）x，由△GBM∽△CRF′，可得＝（）2＝[]2＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

在矩形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴BE＝BC，
∴四边形BEFC是正方形．

（2）①证明：如图2中，

∵∠GCK＝∠DCH＝90°，
∴∠CDF′+∠H＝90°，∠KGC+∠H＝90°，
∴∠KGC＝∠CDF′，
∵B′C＝CF′，∠GB′C＝∠CF′D，
∴△CGB′≌△CDF′（ASA），
∴CG＝CD．

②解：设正方形的边长为a，
∵KB′∥CF′，
∴△B′KO∽△F′CO，
∴＝＝，
∴B′K＝B′C＝a，
在Rt△B′KC中，B′K2+B′C2＝CK2，
∴a2+（a）2＝32，
∴a＝，
由＝，可得B′K＝KE′＝a，
∵KE′∥CF′
∴△DKE′∽△DCF′，
∴＝＝＝，
∴DE′＝E′F′＝a，
∴PE′＝2a，
∴PK＝a，
∵DK＝KC，∠P＝∠G，∠DKP＝∠GKC，
∴△PKD≌△GKC（AAS），
∴GK＝PK，
∴PG＝2PK＝5a，
∴PG＝5a＝6．

（3）解：如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．

∵CF′∥GP，RB∥BM，
∴△GB∽△GRB′，∠G＝∠F′CR，
∴tan∠G＝tan∠F′CH＝＝，
设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝x，
∴CB′＝CF′＝E′F′＝BC＝2x，
∵CB′∥HE′，
∴△RB′C∽△RF′H，
∴＝＝＝，
∴CH＝RH，B′F′＝RF′，
∴CR＝2CH＝2x，
∴S△CF′R＝2S△CF′H，
∵CB′∥HE′，
∴△GB′C∽△GE′H，
∴＝＝＝，
∴＝＝
∴GB＝2（﹣1）x，
∵△GBM∽△CRF′，
∴＝（）2＝[]2＝，
∵S△CRF′＝2S△CHF′，
∴＝．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．
（1）写出A点坐标；
（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．

【分析】（1）令y1＝0，得到x值即为A、B的横坐标，
（2）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标．
（3）讨论k1﹣k2＝n2﹣5与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得k1、k2大小．
（4）两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1与y2得解析式（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2得解析式x2+（4n﹣1）x＝0，解得n＝，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，即（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，该方程判别式△＜0，②当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，解得∴n＝，由①而知直线MN与抛物线y2公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，x1≠x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1得：﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，△＝21n2+2n﹣27，当n＝时，△＜0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，n≠．
【解答】解：（1）∵y1＝﹣（x﹣4）（x﹣n），
令y1＝0，﹣（x﹣4）（x﹣n）＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝n，
∴A（﹣4，0）；
（2）y1＝﹣（x﹣4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
∴k1＝n2+2n+4，
∵y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9，
∴k2＝﹣n2+2n+9，
（3）k1﹣k2＝n2﹣5，
①当n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2，
即当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k1＞k2；
②当n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2，
即当﹣2＜n＜2时，k1＜k2；
③当n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2，
即当n＝2或n＝﹣2时，k1＝k2；
（4）设直线MN的解析式为：y＝kx+b，
则，
由①﹣②得，k＝﹣1，
∴b＝﹣5n2+2n+9，
直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．
①如图：

当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，
联立抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n与y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
x2+（4n﹣1）x＝0，
则x1＝0，x2＝1﹣4n②，
当x1＝0时，把x1＝0代入y1得：y＝4n，
把x1＝0，y＝4n代入直线的解析式得：
4n＝﹣5n2+2n+9，
∴5n2+2n﹣9＝0，
∴n＝，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
当x2＝1﹣4n时，把x2＝1﹣4n代入①得：
（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，
该方程判别式△＜0，
所以该方程没有实数根；
②如图：

当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，
当直线MN与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
此时△＝0，即（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝0，
∴21n2+2n﹣27＝0，
∴n＝，
由①而知直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，
当n＝时，1﹣4n≠0，
∴x1≠x2，
所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
③如图：

当直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点，
∵x1＝0，x2＝1﹣4n，
∴n＝，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
△＝（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝21n2+2n﹣27，
当n＝时，△＜0，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，
∴n≠，
综上所述：n1＝，n2＝，n3＝，n4＝﹣2﹣．