2017年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷（含解析版）.doc

2017年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣7的倒数是（　　）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
2．下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3=a2 B．2a3+3a3=5a6 C．（﹣a3）2=a6 D．（a+b）2=a2+b2
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（，﹣3） B．（﹣，﹣3） C．（，3） D．（﹣，3）
5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
6．方程=的解为（　　）
A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5
7．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（　　）

A．43° B．35° C．34° D．44°
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）

A． = B． = C． = D． =
10．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（　　）

A．小涛家离报亭的距离是900m
B．小涛从家去报亭的平均速度是60m/min
C．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min
D．小涛在报亭看报用了15min

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．将57600000用科学记数法表示为　 　．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．
13．把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是　 　．
14．计算﹣6的结果是　 　．
15．已知反比例函数y=的图象经过点（1，2），则k的值为　 　．
16．不等式组的解集是　 　．
17．一个不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为　 　．【来源：21cnj*y.co*m】
18．已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为　 　．
19．四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE=，则CE的长为　 　．【出处：21教育名师】
20．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为　 　．

三、解答题（本大题共60分）
21．先化简，再求代数式÷﹣的值，其中x=4sin60°﹣2．

22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出平行四边形ABDE，且点D和点E均在小正方形的顶点上，tan∠EAB=，连接CD，请直接写出线段CD的长．

23．随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？（必选且只选一个）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若洪祥中学共有1350名学生，请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名．

24．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1，求证：AE=BD；
（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．

25．威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？

26．已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．
（1）如图1，求证：AD=BD；
（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值．

27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．

2017年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣7的倒数是（　　）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
【考点】17：倒数．
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．

2．下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3=a2 B．2a3+3a3=5a6 C．（﹣a3）2=a6 D．（a+b）2=a2+b2
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a3，不符合题意；
B、原式=5a3，不符合题意；
C、原式=a6，符合题意；
D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意，
故选C

3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．

4．抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（，﹣3） B．（﹣，﹣3） C．（，3） D．（﹣，3）
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：y=﹣（x+）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）．
故选B．

5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，
故选：C．

6．方程=的解为（　　）
A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5
【考点】B3：解分式方程．
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：2（x﹣1）=x+3，
2x﹣2=x+3，
x=5，
令x=5代入（x+3）（x﹣1）≠0，
故选（C）

7．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（　　）

A．43° B．35° C．34° D．44°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠D=∠A=42°，
∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，
故选B．

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【分析】利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，
∴BC==，
则cosB==，
故选A

9．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）

A． = B． = C． = D． =
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：（A）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
（B）∵DE∥BC，
∴，故B错误；
（C）∵DE∥BC，
，故C正确；
（D））∵DE∥BC，
∴△AGE∽△AFC，
∴=，故D错误；
故选（C）

10．周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（　　）

A．小涛家离报亭的距离是900m
B．小涛从家去报亭的平均速度是60m/min
C．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min
D．小涛在报亭看报用了15min
【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【解答】解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意；
B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意；
C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意；21教育网
D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意；
故选：D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．将57600000用科学记数法表示为　5.67×107　．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．2·1·c·n·j·y
【解答】解：57600000用科学记数法表示为5.67×107，
故答案为：5.67×107．

12．函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．
【解答】解：由x﹣2≠0得，x≠2，
故答案为x≠2．

13．把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是　a（2x+3y）（2x﹣3y）　．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（4x2﹣9y2）=a（2x+3y）（2x﹣3y），
故答案为：a（2x+3y）（2x﹣3y）

14．计算﹣6的结果是　　．
【考点】78：二次根式的加减法．
【分析】先将二次根式化简即可求出答案．
【解答】解：原式=3﹣6×=3﹣2=
故答案为：

15．已知反比例函数y=的图象经过点（1，2），则k的值为　1　．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（1，2）代入反比例函数y=，求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，2），
∴2=3k﹣1，解得k=1．
故答案为：1．

16．不等式组的解集是　2≤x＜3　．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x≥2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为2≤x＜3．
故答案为2≤x＜3．

17．一个不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为　　．21·世纪*教育网
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵不透明的袋子中装有17个小球，其中6个红球、11个绿球，
∴摸出的小球是红球的概率为；
故答案为：．

18．已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为　90°　．
【考点】MN：弧长的计算．
【分析】利用扇形的弧长公式计算即可．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
则=4π，
解得，n=90，
故答案为：90°．

19．四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE=，则CE的长为　4或2　．21*cnjy*com
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，OB=BD=3，由勾股定理得出OC=OA==3，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴OB=BD=3，
∴OC=OA==3，
∴AC=2OA=6，
∵点E在AC上，OE=，
∴CE=OC+或CE=OC﹣，
∴CE=4或CE=2；
故答案为：4或2．

20．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为　　．

【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠DEM=90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，
解得：x=，
∴BM=；
故答案为：．

三、解答题（本大题共60分）
21．先化简，再求代数式÷﹣的值，其中x=4sin60°﹣2．
【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷﹣
=
=
=，
当x=4sin60°﹣2=4×=﹣2时，原式=．

22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出平行四边形ABDE，且点D和点E均在小正方形的顶点上，tan∠EAB=，连接CD，请直接写出线段CD的长．

【考点】N4：作图—应用与设计作图；KQ：勾股定理；L6：平行四边形的判定；T7：解直角三角形．
【分析】（1）因为AB为底、面积为12的等腰△ABC，所以高为4，点C在线段AB的垂直平分线上，由此即可画出图形；
（2）扇形根据tan∠EAB=的值确定点E的位置，由此即可解决问题，利用勾股定理计算CD的长；
【解答】解：（1）△ABC如图所示；
（2）平行四边形ABDE如图所示，CD==．

23．随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？（必选且只选一个）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：www.21-cn-
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若洪祥中学共有1350名学生，请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图求出总人数即可；
（2）根据题意作出图形即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）10÷20%=50（名），
答：本次调查共抽取了50名学生；
（2）50﹣10﹣20﹣12=8（名），
补全条形统计图如图所示，
（3）1350×=540（名），
答：估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名．

24．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1，求证：AE=BD；
（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；
（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；
【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE与△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
（2）∵AC=DC，
∴AC=CD=EC=CB，
△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC
∴∠DOM=90°，
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，
∴△EMC≌△BCN（ASA），
∴CM=CN，
∴DM=AN，
△AON≌△DOM（AAS），
∵DE=AB，AO=DO，
∴△AOB≌△DOE（HL）

25．威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？21·cn·jy·com
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解就可以了．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得
，
解得：
答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得
200a+100（34﹣a）≥4000，
解得：a≥6
答：威丽商场至少需购进6件A种商品．

26．已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．
（1）如图1，求证：AD=BD；
（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；2-1-c-n-j-y
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值．

【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）如图1，连接OA，利用垂径定理和圆周角定理可得结论；
（2）如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT，由圆周角定理可得∠BPT=90°，易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，利用切线的性质定理和垂径定理可得∠ABO=∠OMB，等量代换可得∠ABO=∠APT，易得结论；
（3）如图3，连接MA，利用垂直平分线的性质可得MA=MB，易得∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，易得△APM≌△BNM，由全等三角形的性质可得AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，易得四边形APBK是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，易得∠NBP=∠KBP，可得△PBN≌△PBK，PN=2PH，利用三角函数的定义可得sin∠PMH=，sin∠ABO=，设DP=3a，则PM=5a，可得结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接OA，
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，
∴OD⊥AB，AD=BD；

（2）证明：如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT
∵BT是⊙O的直径
∴∠BPT=90°，
∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，
∵BM是⊙O的切线，
∴OB⊥BM，
又∠OBA+∠MBA=90°，
∴∠ABO=∠OMB
又∠ABO=∠APT
∴∠APB﹣90°=∠OMB，
∴∠APB﹣∠OMB=90°；

（3）解：如图3，连接MA，
∵MO垂直平分AB，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA，
作∠PMG=∠AMB，
在射线MG上截取MN=MP，
连接PN，BN，
则∠AMP=∠BMN，
∴△APM≌△BNM，
∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，
延长PD至点K，
使DK=DP，
连接AK、BK，
∴四边形APBK是平行四边形；
AP∥BK，
∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，
由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）
=90°，
∴∠APB+∠MBA=180°
∴∠PBK=∠MBA，
∴∠MBP=∠ABK=∠PAB，
∴∠MAP=∠PBA=∠MBN，
∴∠NBP=∠KBP，
∵PB=PB，
∴△PBN≌△PBK，
∴PN=PK=2PD，
过点M作MH⊥PN于点H，
∴PN=2PH，
∴PH=DP，∠PMH=∠ABO，
∵sin∠PMH=，sin∠ABO=，
∴，
∴，设DP=3a，则PM=5a，
∴MQ=6DP=18a，
∴．

27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；21世纪教育网版权所有
（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．21*cnjy*com

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据S△ABC=S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式；
（3）如图2，由抛物线对称性可得D（2，﹣3），过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，可得四边形OCKB为正方形，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，可得四边形OHQI为矩形，可证△OBQ≌△OCH，△OSR≌△OGR，得到tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，可得SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，根据勾股定理求得m，可得tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，得到P（t，﹣ t﹣3），可得﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，求得t，再根据MN=d求解即可．21教育名师原创作品
【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3经过B、C两点，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
∵y=x2+bx+c经过B、C两点，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，y=x2﹣2x﹣3，
y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），
∴OA=1，OB=OC=3，
∴∠ABC=45°，AC=，AB=4，
∵PE⊥x轴，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∵点P的横坐标为1，
∴EM=EB=3﹣t，
连结AM，
∵S△ABC=S△AMC+S△AMB，
∴AB•OC=AC•MN+AB•EM，
∴×4×3=×d+×4（3﹣t），
∴d=t；
（3）如图2，
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为x=1，
∴由抛物线对称性可得D（2，﹣3），
∴CD=2，
过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，
∴四边形OCKB为正方形，
∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3，
∴DK=1，
∵BQ⊥CP，
∴∠CQB=90°，
过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，
∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，
∴四边形OHQI为矩形，
∵∠OCQ+∠OBQ=180°，
∴∠OBQ=∠OCH，
∴△OBQ≌△OCH，
∴QG=OS，∠GOB=∠SOC，
∴∠SOG=90°，
∴∠ROG=45°，
∵OR=OR，
∴△OSR≌△OGR，
∴SR=GR，
∴SR=CS+BR，
∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°，
∴∠BOR=∠TBK，
∴tan∠BOR=tan∠TBK，
∴=，
∴BR=TK，
∵∠CTQ=∠BTK，
∴∠QCT=∠TBK，
∴tan∠QCT=tan∠TBK，
设ST=TD=m，
∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，
在Rt△SKR中，
∵SK2+RK2=SR2，
∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2，
解得m1=﹣2（舍去），m2=；
∴ST=TD=，TK=，
∴tan∠TBK==÷3=，
∴tan∠PCD=，
过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，
∵CF′=OE′=t，
∴PF′=t，
∴PE′=t+3，
∴P（t，﹣ t﹣3），
∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，
解得t1=0（舍去），t2=．
∴MN=d=t=×=．

2017年7月5日