江西省2014年中考数学试卷（含解析版）.doc

2014年江西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣ B．0 C．﹣2 D．2
2．（3分）某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．25、25 B．28、28 C．25、28 D．28、31
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3=a5 B．（﹣2a2）3=﹣6a6
C．（2a+1）（2a﹣1）=2a2﹣1 D．（2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1
4．（3分）直线y=x+1与y=﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（3分）如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）计算：=　 　．
8．（3分）据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务．5.78万可用科学记数法为　 　．
9．（3分）不等式组的解集是　 　．
10．（3分）若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2=　 　．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为　 　．

12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AO=2，BC=2，则∠BAC的度数为　 　．

13．（3分）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．（3分）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为　 　．

三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．（6分）计算：（﹣）÷．

16．（6分）小锦和小丽购买了价格不相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．

17．（6分）已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．

（1）在图1中画出一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；
（2）图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．

18．（6分）有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，√”，在B组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示．
（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率．（请用“树形图法”或“列表法“求解）
（2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7．
（1）求点B的坐标和线段PB的长；
（2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．

20．（8分）某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：
某校初中生阅读数学教科书情况统计图表
类别
人数
占总人数比例
重视
a
0.3
一般
57
0.38
不重视
b
c
说不清楚
9
0.06
（1）求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；
（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数；
（3）①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？

21．（8分）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．
（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；
（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
（1）求△OPC的最大面积；
（2）求∠OCP的最大度数；
（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

23．（9分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为　 　，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为　 　，此时AE与BF的数量关系是　 　；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．

六（本大题共12分）
24．（12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
（1）抛物线y=x2对应的碟宽为　 　；抛物线y=4x2对应的碟宽为　 　；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为　 　；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为　 　；
（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．
①求抛物线y2的表达式；
②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn=　 　，Fn的碟宽右端点横坐标为　 　；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．

2014年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣ B．0 C．﹣2 D．2
【考点】18：有理数大小比较．菁优网版权所有
【分析】有正数，0，负数，较小的数应为负数；在2个负数里，较小的数为绝对值较大的那个数．
【解答】解：∵在﹣，0，﹣2，2这4个数中，﹣，﹣2为负数，
∴﹣，﹣2比较即可，
∵|﹣|=，|﹣2|=2，＜2，
∴﹣＞﹣2，
∴最小的数为﹣2．
故选：C．
【点评】考查有理数的比较；用到的知识点为：负数小于0，负数小于一切正数；两个负数，绝对值大的反而小．
2．（3分）某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．25、25 B．28、28 C．25、28 D．28、31
【考点】W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列23，25，25，28，28，28，31，
在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28℃．
处于中间位置的那个数是28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28℃；
故选：B．
【点评】本题为统计题，考查中位数与众数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3=a5 B．（﹣2a2）3=﹣6a6
C．（2a+1）（2a﹣1）=2a2﹣1 D．（2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4F：平方差公式；4H：整式的除法．菁优网版权所有
【分析】A．根据合并同类项法则判断；
B．根据积的乘方法则判断即可；
C．根据平方差公式计算并判断；
D．根据多项式除以单项式判断．
【解答】解：A．a2与a3不能合并，故本项错误；
B．（﹣2a2）3=﹣8a6，故本项错误；
C．（2a+1）（2a﹣1）=4a2﹣1，故本项错误；
D．（2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1，本项正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了积的乘方运算、平方差公式以及多项式除以单项式和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（3分）直线y=x+1与y=﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．
【解答】解：联立，
解得：，
∵交点在第一象限，
∴，
解得：a＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了两直线相交的问题，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键．
5．（3分）如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】I6：几何体的展开图．菁优网版权所有
【分析】根据圆台压扁后的图形形状，可得答案．
【解答】解：圆锥压扁后为扇形，圆台压扁后为扇形的一部分．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的展开图，理解压扁是解题关键．
6．（3分）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；H2：二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
【解答】解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，
由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，
∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x=﹣=，﹣1＜＜0，
∴对称轴在﹣1与0之间，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）计算：=　3　．
【考点】22：算术平方根．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵32=9，
∴=3．
故答案为：3．
【点评】本题较简单，主要考查了学生开平方的运算能力．
8．（3分）据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务．5.78万可用科学记数法为　5.78×104　．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将5.78万用科学记数法表示为：5.78×104．
故答案为：5.78×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（3分）不等式组的解集是　x＞　．
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得，x＞，
由②得，x＞﹣2，
故此不等式组的解集为：x＞．
故答案为：x＞．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（3分）若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2=　10　．
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，
∴α+β=2，αβ=﹣3，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．
故答案是：10．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为　12　．

【考点】Q2：平移的性质．菁优网版权所有
【分析】根据平移性质，判定△A′B′C为等边三角形，然后求解．
【解答】解：由题意，得BB′=2，
∴B′C=BC﹣BB′=4．
由平移性质，可知A′B′=AB=4，∠A′B′C=∠ABC=60°，
∴A′B′=B′C，且∠A′B′C=60°，
∴△A′B′C为等边三角形，
∴△A′B′C的周长=3A′B′=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AO=2，BC=2，则∠BAC的度数为　60°　．

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】连结OB、OC，作OD⊥BC于D，根据垂径定理得BD=BC=，在Rt△OBD中，根据余弦的定义得cos∠OBD==，则∠OBD=30°，由于OB=OC，则∠OCB=30°，所以∠BOC=120°，然后根据圆周角定理即可得到∠BAC=∠BOC=60°．
【解答】解：连结OB、OC，作OD⊥BC于D，如图，
∵OD⊥BC，
∴BD=BC=×2=，
在Rt△OBD中，OB=OA=2，BD=，
∴cos∠OBD==，
∴∠OBD=30°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BAC=∠BOC=60°．
故答案为60°．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
13．（3分）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为　12﹣4　．

【考点】L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质得出DO的长，进而求出S正方形DNMF，进而得出S△ADF即可得出答案．
【解答】解：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，
∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，
∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=，
∴∠AOE=45°，ED=1，
∴AE=EO=，DO=﹣1，
∴S正方形DNMF=2（﹣1）×2（﹣1）×=8﹣4，
S△ADF=×AD×AFsin30°=1，
∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣4=12﹣4．
故答案为：12﹣4．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及旋转的性质，得出正确分割图形得出DO的长是解题关键．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为　6或2或4　．
【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
【解答】解：如图1：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP=BC=6；
如图3：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°﹣30°=30°，
∴PC=PB，
∵BC=6，
∴AB=3，
∴PC=PB===2；
如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴PC=BC÷cos30°=4．
故答案为：6或2或4．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．

三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．（6分）计算：（﹣）÷．
【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=•=x﹣1．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）小锦和小丽购买了价格不相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，根据单价×数量=总价建立方程组，求出其解即可．
【解答】解：设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，由题意，得
，
解得：．
答：每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元．
【点评】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，总价=单价×数量的运用，解答时根据题意的等量关系建立方程组是关键．
17．（6分）已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．

（1）在图1中画出一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；
（2）图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．
【考点】N4：作图—应用与设计作图．菁优网版权所有
【专题】13：作图题．
【分析】（1）求出三角形CD边上的高作图，
（2）找出BE及它的高相乘得20，以AB为一边作平行四边形..
【解答】解：设小正方形的边长为1，则S梯形ABCD=（AD+BC）×4=×10×4=20，
（1）∵CD=4，
∴三角形的高=20×2÷4=5，如图1，△CDE就是所作的三角形，

（2）如图2，BE=5，BE边上的高为4，
∴平行四边形ABEF的面积是5×4=20，
∴平行四边形ABEF就是所作的平行四边形．

【点评】本题主要考查了作图的设计和应用，解决问题的关键是根据面积相等求出高画图．
18．（6分）有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，√”，在B组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示．
（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率．（请用“树形图法”或“列表法“求解）
（2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出两种卡片上标记都是“√”的情况数，即可求出所求的概率；
（2）①根据题意得到所有等可能情况有3种，其中看到的标记是“√”的情况有2种，即可求出所求概率；
②所有等可能的情况有2种，其中揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，它的反面也是“√”的情况有1种，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）列表如下：

√
×
√
√

（√，√）
（×，√）
（√，√）
×
（√，×）
（×，×）
（√，×）
×
（√，×）
（×，×）
（√，×）
所有等可能的情况有9种，两种卡片上标记都是“√”的情况有2种，
则P=；

（2）①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，
∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为．
则P=；
②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，
∴猜对反面也是“√”的概率为．
则P=．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7．
（1）求点B的坐标和线段PB的长；
（2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据勾股定理求出OB，即可得出答案；
（2）设D的坐标是（4，y），证△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐标代入求出即可．﹣
【解答】解：（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，
∴由勾股定理得：OB=3，
即点B的坐标是（0，3），
∵OP=7，
∴线段PB的长是7+3=10；

（2）过D作DM⊥y轴于M，
∵PD⊥BD，
∴∠BDP=∠DMB=∠DMP=90°，
∴∠DBM+∠BDM=90°，∠BDM+∠MDP=90°，
∴∠DBM=∠PDM，
∴△DBM∽△PDM，
∴=，
∵OA=4，AD⊥x轴，
∴设D的坐标是（4，y）（y＞0），
∴=，
解得：y=1，（y=﹣5舍去），
即D点的坐标是（4，1），
把D的坐标代入y=得：k=4，
即反比例函数的解析式是y=．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
20．（8分）某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：
某校初中生阅读数学教科书情况统计图表
类别
人数
占总人数比例
重视
a
0.3
一般
57
0.38
不重视
b
c
说不清楚
9
0.06
（1）求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；
（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数；
（3）①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？

【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图．菁优网版权所有
【分析】（1）利用类别为“一般”人数与所占百分比，进而得出样本容量，进而得出a，b，c的值；
（2）利用“不重视阅读数学教科书”在样本中所占比例，进而估计全校在这一类别的人数；
（3）根据（1）中所求数据进而分析得出答案，再从样本抽出的随机性进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得出：样本容量为：57÷0.38=150（人），
∴a=150×0.3=45，
b=150﹣57﹣45﹣9=39，
c=39÷150=0.26，
如图所示：

（2）若该校共有初中生2300名，
该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数约为：2300×0.26=598（人）；

（3）①根据以上所求可得出：只有30%的学生重视阅读数学教科书，有32%的学生不重视阅读数学教科书或说不清楚，可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书，同学们应重视阅读数学教科书，从而获取更多的数学课外知识和对相关习题、定理的深层次理解与认识．
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，应随机抽取不同的学校以及不同的年级进行抽样，进而分析．

【点评】此题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图和利用样本估计总体等知识，理论联系实际进而结合抽样调查的随机性进而得出是解题关键．
21．（8分）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．
（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；
（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

【考点】T8：解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；
（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解．
【解答】解：（1）猜想CD∥EB．
证明：连接DE．
∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°
∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠CDE=∠BED，
∴CD∥EB．

（2）如图2，连接AD、BD．
由（1）知，∠BED=90°，
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD=45°，
同理，∠ADC=45°
又由（1）知，∠CDE=90°，
∴∠ADC+∠CDE+∠EDB=180°，
∴点A、D、B三点共线．
BE=2OE=2×10×cos30°=10cm，
同理可得，DE=10cm，
则BD=10cm，
同理可得，AD=10cm，
AB=BD+AD=20≈49cm．
答：A，B两点之间的距离大约为49cm．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
（1）求△OPC的最大面积；
（2）求∠OCP的最大度数；
（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

【考点】ME：切线的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最大；观察图形，当OP⊥OC时满足要求；
（2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；
（3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线．
【解答】（1）解：∵AB=4，
∴OB=2，OC=OB+BC=4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S△OPC=OC•h=2h，
∴当h最大时，S△OPC取得最大值．
观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示：

此时h=半径=2，S△OPC=2×2=4．
∴△OPC的最大面积为4．

（2）解：当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示：

∵sin∠OCP===，
∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度数为30°．

（3）证明：如答图3，连接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，
∵=，
∴=，
∴AP=BD，
∵CP=DB，
∴AP=CP，
∴∠A=∠C
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，
在△ODB与△BPC中
，
∴△ODB≌△BPC（SAS），
∴∠D=∠BPC，
∵PD是直径，
∴∠DBP=90°，
∴∠D+∠BPD=90°，
∴∠BPC+∠BPD=90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
23．（9分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为　等边三角形　，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为　正方形　，此时AE与BF的数量关系是　AE=BF　；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．

【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由旋转性质，易得△EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长；
（2）①四边形EFGH是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；
②求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围．
【解答】解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴EF=BF=（4﹣x）．
∴DE=DF=EF=（4﹣x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x2+42=[（4﹣x）]2，
解得：x1=8﹣4，x2=8+4（舍去）
∴EF=（4﹣x）=4﹣4．
DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4．

（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．

由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
由△EGM≌△FHN，可知EG=FH，
∴四边形EFGH的形状为正方形．
∴∠HEF=90°
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4．
在△AEH与△BFE中，

∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE=BF．
②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，
∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x．
∴y=S正方形ABCD﹣4S△AEH=4×4﹣4×x（4﹣x）=2x2﹣8x+16．
∴y=2x2﹣8x+16（0＜x＜4）
∵y=2x2﹣8x+16=2（x﹣2）2+8，
∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．
【点评】本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理、二次函数等知识点．本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题．

六（本大题共12分）
24．（12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
（1）抛物线y=x2对应的碟宽为　4　；抛物线y=4x2对应的碟宽为　　；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为　　；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为　　；
（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．
①求抛物线y2的表达式；
②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn=　　，Fn的碟宽右端点横坐标为　2+　；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=x2