2020年湖南省郴州市中考数学试卷（含解析版）.doc

2020年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（　　）

A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（　　）
A．1×10﹣8秒 B．1×10﹣9秒 C．10×10﹣9秒 D．0.1×10﹣9秒
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）4＝a4 B．a2•a3＝a6
C．﹣＝ D．2a3+3a2＝5a5
5．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）

A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（　　）

A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式的值不存在，则x＝　 　．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　 　．
11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有　 　件次品．
12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝　 　．
13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
日期x（日）
1
2
3
4
成绩y（个）
40
43
46
49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为　 　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　 　．

15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝　 　．

三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．

18．（6分）解方程：＝+1．

19．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．

20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般； D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

（1）此次调查中，共抽查了　 　名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；
（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）

21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．

22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？

23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

24．（10分）为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
x
…

1
2
3
4
5
…
y
…

2

…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0＜x1＜x2≤1，则y1　 　y2；若1＜x1＜x2，则y1　 　y2；
若x1•x2＝1，则y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？

25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（　　）

A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（　　）
A．1×10﹣8秒 B．1×10﹣9秒 C．10×10﹣9秒 D．0.1×10﹣9秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1秒＝1000000000纳秒，
∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）4＝a4 B．a2•a3＝a6
C．﹣＝ D．2a3+3a2＝5a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算分别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣a）4＝a4，正确；
B、a2•a3＝a5，故此选项错误；
C、﹣＝2﹣＝，故此选项错误；
D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【解答】解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；
C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；
D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
6．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．
【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：C．
【点评】此题考查了众数、平均数、中位数和方差意义，属于基础题，难度不大，只要了解各个统计量的意义就可以轻松确定本题的正确答案．
7．（3分）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）

A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（　　）

A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD＝k1，S△BOE＝﹣k2，然后通过证得△BOE∽△OAD，即可证得结论．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A是双曲线y1＝（x＞0）上的点，点B是双曲线y2＝（x＜0）上的点，
∴S△AOD＝|k1|＝k1，S△BOE＝|k2|＝﹣k2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOE＝∠OAD，
∠BEO＝∠OAD＝90°，
∴△BOE∽△OAD，
∴＝（）2，
∴＝22，
∴＝﹣4，
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式的值不存在，则x＝　﹣1　．
【分析】直接利用分式不存在的条件得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：若分式的值不存在，
则x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式不存在的条件，正确把握分式有意义的条件：分式存在的条件是分母不等于零是解题关键．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　　．
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，然后解关于c的方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，
解得c＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11．（3分）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有　20　件次品．
【分析】根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品．
【解答】解：1000×＝20（件），
即这批电子元件中大约有20件次品，
故答案为：20．
【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用样本中的数据，可以计算出总体中次品数．
12．（3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝　8.0　．
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，
∴所得到的一组新数据的方差为S新2＝8.0；
故答案为：8.0．
【点评】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
13．（3分）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
日期x（日）
1
2
3
4
成绩y（个）
40
43
46
49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为　y＝3x+37　．
【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．
【解答】解：设该函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴该函数表达式为y＝3x+37．
故答案为：y＝3x+37．
【点评】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是　（，2）　．

【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是：（×2，×3），
即A1（，2）．
故答案为：（，2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
15．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为　48　．

【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，
圆锥的母线长为10，
侧面展开图的面积为60π，
故60π＝π×10×r，
解得：r＝6．
由勾股定理可得圆锥的高＝＝8，
∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，
∴它的面积＝＝48，
故答案为：48．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝　2　．

【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN＝BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
【解答】解：如图，连接DN，

在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，
∴BD＝＝4，
根据作图过程可知：
MN是BD的垂直平分线，
∴DN＝BN，OB＝OD＝2，
∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝8﹣DN，
在Rt△ADN中，根据勾股定理，得
DN2＝AN2+AD2，
∴DN2＝（8﹣DN）2+42，
解得DN＝5，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得
ON＝＝，
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO，
∠DMO＝∠BNO，
∵OD＝OB，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON＝，
∴MN＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×+﹣1﹣1
＝3﹣+﹣2
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）解方程：＝+1．
【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：＝+1，
方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得
x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），
解得x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．
故x＝3是原方程的解．
【点评】考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．

【分析】可以用两种方法证明：根据四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形；或者通过证明四条边相等可得四边形BEDF是菱形．
【解答】证明：方法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝AB，
∴△DAE≌△BFC（SAS），
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
方法二：∵ABCD为菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形BEDF为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
20．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般； D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

（1）此次调查中，共抽查了　200　名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；
（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）
【分析】（1）从统计图可知，“A效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人数；
（2）求出“C效果一般”的人数即所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：（1）80÷40%＝200（名），
故答案为：200；
（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×＝72°，补全条形统计图如图所示：

（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种，
∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）＝＝．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法或树状图求随机事件的概率，理解统计图中的数量关系，列出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
21．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．

【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝2000，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝2000﹣460，进而解得x的值．
【解答】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB＝3x，
在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，
∴AO＝2000，
∴DO＝2000，
∵CD＝460，
∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴BO＝OC，
∵OB＝OA+AB＝2000+3x，
∴2000+3x＝2000﹣460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．
【解答】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：25≤m≤27．
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCO＝∠DAO＝90°，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠CAB＝60°，根据等边三角形的性质得到OC＝OB＝BC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，
∴∠DAB＝90°，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，
即∠DCO＝∠DAO＝90°，
∴OC⊥BD，
∴直线DC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝2，
∴CE＝OC＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（10分）为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
x
…

1
2
3
4
5
…
y
…

2

…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0＜x1＜x2≤1，则y1　＞　y2；若1＜x1＜x2，则y1　＜　y2；
若x1•x2＝1，则y1　＝　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？
【分析】（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．
（2）利用图象法解决问题即可．
（3）①总造价＝对面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可．
②转化为一元二次不等式解决问题即可．
【解答】解：（1）函数图象如图所示：

（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，
若x1•x2＝1，则y1＝y2．
故答案为＞，＜，＝．
（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．
②由题意1+x+≤3.5，
∵x＞0，
可得2x2﹣5x+2≤0，
解得：≤x≤2，
∴长x应控制在≤x≤2的范围内．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．（10分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）①结论：△AGD≌△CED．根据SAS证明即可．
②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可．
（2）①如图3中，设AD交PC于O．利用全等三角形的性质，解决问题即可．
②因为∠CPA＝90°，AC是定值，推出当∠ACP最小时，PC的值最大，推出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）．
【解答】解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．

理由：∵四边形EFGD是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠GDE＝∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△AGD≌△CED（SAS）．

②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．

∵△AGD≌△CED，CD＝CE，
∴AD＝AG＝4，
∵AT⊥GD，
∴TG＝TD＝1，
∴AT＝＝，
∵EF∥DG，
∴∠GHF＝∠AGT，
∵∠F＝∠ATG＝90°，
∴△GFH∽△ATG，
∴＝，
∴＝，
∴GH＝．

（2）①如图3中，设AD交PC于O．

∵△AGD≌△CED，
∴∠DAG＝∠DCE，
∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，
∴∠AOP+∠DAG＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴CP⊥AG．

②∵∠CPA＝90°，AC是定值，
∴当∠ACP最小时，PC的值最大，
∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），

∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，
∴EC＝＝＝2，
∵EF＝DE＝2，
∴CP＝CE+EF＝2+2，
∴PC的最大值为2+2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B（3，0），C的坐标代即可求解；
（2）①设点D的坐标为（m，﹣m+3），利用待定系数法求得直线PA的表达式y＝x+，解方程x+＝﹣x2+2x+3，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得＝＝＝＝＝，
设＝t，则t＝，整理得（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，根据△≥0，即可解决问题．
②根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为（2，1），分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，
解得，
∴抛物线的表达式，y＝﹣x2+2x+3，
∴点C坐标为（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，
解得，
∴直线BC的表达式：y＝﹣x+3．

（2）①∵PA交直线BC于点，
∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），
设直线PA的表达式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线PA的表达式，y＝x+，
∴x+＝﹣x2+2x+3，
整理得，（x﹣）（x+1）＝0
解得x＝或﹣1（不合题意，舍去），
∴点D的横坐标为m，点P的横坐标，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：

∴DM∥PN，OM＝m，ON＝，OA＝1，
∴＝＝＝＝＝，
设＝t，则t＝
整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，
∵△≥0，
∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，
解得t≤
∴有最大值，最大值为．

②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图