2006年北京高考文科数学真题及答案.doc

2006年北京高考文科数学真题及答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）设集合，，则等于　　
A． B． C． D．
2．（5分）函数的图象　　
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
3．（5分）若与都是非零向量，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有　　
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
5．（5分）已知是上的减函数，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．（5分）如果，，，，成等比数列，那么　　
A．， B．， C．， D．，
7．（5分）设、、、是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是　　
A．若与共面，则与共面
B．若与是异面直线，则与是异面直线
C．若，，则
D．若，，则
8．（5分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口，，的机动车辆数如图所示，图中，，分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则　　

A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）若三点，，共线，则的值等于　 　．
10．（5分）在的展开式中，的系数是　 　．（用数字作答）
11．（5分）已知函数的反函数的图象经过点，那么的值等于　 　．
12．（5分）已知向量，，且，那么与的夹角的大小是　 　．
13．（5分）在中，，，所对的边长分别为，，．若，则　 　，的大小是　 　．
14．（5分）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于　 　，最大值
等于　 　．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）已知函数
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值．
16．（13分）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ），，的值．

17．（14分）如图，是正四棱柱．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求异面直线与所成角的大小．

18．（13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）
19．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在此椭圆上，且，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过圆的圆心且交椭圆于，两点，且，关于点对称，求直线的方程．
20．（14分）设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为．
（Ⅰ）若，，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，，求所有可能的数列的通项公式．

2006年北京高考文科数学真题参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）设集合，，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，

故选：．
2．（5分）函数的图象　　
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【解答】解：余弦函数是偶函数
函数是偶函数，故关于轴对称，
故选：．
3．（5分）若与都是非零向量，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：

，
由于本过程可逆，
故选：．
4．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有　　
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
各位数字之和为奇数的有两类：
①两个偶数一个奇数：有个；
②三个都是奇数：有个．
根据分类计数原理知共有个．
故选：．
5．（5分）已知是上的减函数，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，有且，
解得，
又当时，，
当时，，
因为在上单调递减，所以解得
综上：
故选：．
6．（5分）如果，，，，成等比数列，那么　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由等比数列的性质可得，
且与奇数项的符号相同，
，
故选：．
7．（5分）设、、、是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是　　
A．若与共面，则与共面
B．若与是异面直线，则与是异面直线
C．若，，则
D．若，，则
【解答】解：显然正确；也正确，因为若与共面，则必有与共面与条件矛盾
不正确，如图所示：
正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明．
故选：．

8．（5分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口，，的机动车辆数如图所示，图中，，分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则　　

A． B． C． D．
【解答】解：依题意，有，
，
同理，
，
同理，

故选：．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）若三点，，共线，则的值等于　4　．
【解答】解：，，
依题意，向量与共线，
故有，
得
故答案为4
10．（5分）在的展开式中，的系数是　84　．（用数字作答）
【解答】解：，
令，
解得，
故所求的系数为
故答案为84
11．（5分）已知函数的反函数的图象经过点，那么的值等于　2　．
【解答】解：依题意，点在函数的反函数的图象上，
则点在函数的图象上
将，，代入中，解得
故答案为：2
12．（5分）已知向量，，且，那么与的夹角的大小是　　．
【解答】解：，，

设与的夹角为，
则，
故，
故答案为：．
13．（5分）在中，，，所对的边长分别为，，．若，则　　，的大小是　 　．
【解答】解：由正弦定理得

设，，，
由余弦定理
．
故答案为：，
14．（5分）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于　　，最大值
等于　 　．
【解答】解：画出可行域，如图所示：易得，，
；，
故的最大值为，
最小值为．
故填：．

三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）已知函数
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）由得，
故的定义域为，．
（Ⅱ）因为，且是第四象限的角，
所以，，
故．
16．（13分）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ），，的值．

【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，在上，在上．
在上．
故在，上递增，在上递减．
因此在处取得极大值，所以．
（Ⅱ），
由（1），（2），（1），
得
解得，，．
17．（14分）如图，是正四棱柱．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求异面直线与所成角的大小．

【解答】解：法一：
（Ⅰ）是正四棱柱，
平面，

是正方形
又，平面，且，
平面．
（Ⅱ）设与相交于，连接．
平面
，
，
是二面角的平面角，
．连接．
，
是与所成的角．
设，则
．
在△中，由余弦定理得，

异面直线与所成角的大小为．

法二：
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，如图．
设，，则有，0，，，0，，，，，，，，，，，
，0，，，
，，
又，平面，且，
平面．

（Ⅱ）设与相交于，连接，
则点坐标为，
，，又，
是二面角的平面角，，
，．
，0，，
，
异面直线与所成角的大小为．

18．（13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）
【解答】解：设三门考试课程考试通过的事件分别为，，，相应的概率为，，
（1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为，设其概率为
，则
设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为，
则
（2）

即用方案一的概率大于用方案二的概率．
19．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在此椭圆上，且，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过圆的圆心且交椭圆于，两点，且，关于点对称，求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，．
在△中，，
故椭圆的半焦距，
从而，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）解法一：
设，的坐标分别为，、，．
已知圆的方程为，
所以圆心的坐标为．
从而可设直线的方程为
，
代入椭圆的方程得
．
因为，关于点对称．
所以．
解得，
所以直线的方程为，
即．
（经检验，所求直线方程符合题意）
（Ⅱ）解法二：
已知圆的方程为，
所以圆心的坐标为．
设，的坐标分别为，，，．
由题意且，①，②
由①②得．③
因为、关于点对称，
所以，，
代入③得，
即直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即．
（经检验，所求直线方程符合题意．
20．（14分）设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为．
（Ⅰ）若，，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，，求所有可能的数列的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）由得，
又，
解得，．
的通项公式是，
（Ⅱ）由
得
即
由①②得．
即．
由①③得
即
于是
又，故
④
将④代入①②得．
又，故或．
所有可能的数列的通项公式是
和，