2015年甘肃省兰州市中考数学试题(含答案).doc
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2015年兰州市初中毕业生学业考试 数 学(A) 注意事项: 1.全卷共150分,考试时间120分钟. 2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填(涂)写在答题卡上. 3.考生务必将答案直接填(涂)写在答题卡的相应位置上. 一、选择题:本大题共15小题,每小题4分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是 A. B. C. D. 2.由五个同样大小的立方体组成如图的几何体,则关于此几何体三种视图叙述正确的是 A.左视图与俯视图相同 B.左视图与主视图相同 C.主视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 3.在下列二次函数中,其图象的对称轴为的是 正面 第2题图 B A C 第4题图 第5题图 B x y O A C D A. B. C. D. 4.如图,△ABC中,∠B = 90º,BC = 2AB,则cosA = A. B. C. D. 5.如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将 线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为 A.(2,5) B.(2.5,5) C.(3,5) D.(3,6) 6.一元二次方程配方后可变形为 A. B. C. D. 7.下列命题错误的是 A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B.平行四边形的对角线互相平分 C.矩形的对角线相等 D.对角线相等的四边形是矩形 O x y O x y O x y y O x A B C D 8.在同一直角坐标系中,一次函数与反比例函数的图象大致是 9.如图,经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB = A.80° B.90° C.100° D.无法确定 10.如图,菱形ABCD中,AB = 4,∠B = 60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是 A. B. C. D. 11.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是 A. B. C. D. 12.若点,在反比例函数的图象上,且,则 A. B. C. D. B x y O A P C 第9题图 O x y A C 第13题图 A B D E F C 第10题图 13.二次函数的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且OA = OC,则 A.ac + 1= b B.ab + 1= c C. bc + 1= a D.以上都不是 14. 二次函数的图象与x轴有两个交点A,B,且,点P 是图象上一点,那么下列判断正确的是 A.当时, B.当时, C.当时, D.当时, B O A P C D M N Q 第15题图 15.如图,⊙O的半径为2,AB、CD是互相垂直的两条直径,点P是⊙O上任意一点(P与A、B、C、D不重合),过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45°时,点Q走过的路径长为 A. B. C. D. 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分. 16.若一元二次方程有一根为,则 . 17.如果 ,且,那么k = . 18.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球,其中有5个黑球,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,之后把它放回袋中,搅匀后,再继续摸出一球.以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表: 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 y x O A B P Q M N 第19题图 根据列表,可以估计出n的值是 . 19.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,PA⊥y轴于点A,QN⊥x轴于点N,作PM⊥x轴于点M,QB⊥y轴于点B,连接PB、QM,△ABP的面积记为S1,△QMN的面积记为S2,则S1 S2.(填“>”或“<”或“=”) 20.已知△ABC的边BC = 4cm,⊙O是其外接圆,且半径也为4cm,则∠A的度数是 . 三、解答题:本大题共8小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 21.(本小题满分10分,每题5分) (1)计算:tan; (2)解方程:. 第22题图 A B N M O 22.(本小题满分5分)如图,在图中求作⊙P,使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑) 23.(本小题满分6分)为了参加中考体育测试,甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练.球从一个人脚下随机传到另一个人脚下,且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的,由甲开始传球,共传球三次. (1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况; (2)求三次传球后,球回到甲脚下的概率; (3)三次传球后,球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大? 24.(本小题满分8分)如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米,落在地面上的影子BF的长为10米,而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米,落在地面上的影子DH的长为5米.依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度. (1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的. (2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程. 墙面 G H F E D C 地面 A B 旗杆 电线杆 第24题图 25.(本小题满分9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB ≠ CD,BD = AC. (1)求证:AD = BC; (2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,求证:线段EF与线段GH互相垂直平分. A E F C H G B D 第25题图 26.(本小题满分10分)如图,A,,B,是一次函数与反比例函数图象的两个交点,AC⊥ x轴于点C,BD⊥ y轴于点D. (1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,? (2)求一次函数解析式及m的值; (3)P是线段AB上一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P的坐标. P y A B x C D O 第26题图 27.(本小题满分10分)如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D. (1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若AC = 3,∠B = 30°. ①求⊙O的半径; D C B A E O 第27题图 ②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积.(结果保留根号和) 28.(本小题满分12分)已知二次函数y = ax2的图象经过点(2,1). (1)求二次函数y = ax2的解析式; (2)一次函数y = mx+4的图象与二次函数y = ax2的图象交于A(x1、y1)、B(x2、y2)两点. ①当时(图①),求证:△AOB为直角三角形; ②试判断当时(图②),△AOB的形状,并证明; (3)根据第(2)问,说出一条你能得到的结论.(不要求证明) A x y B O 第28题图 x y O A B 图① 图② 2015年兰州市初中毕业生学业考试 数学(A)参考答案及评分参考 本答案仅供参考,阅卷时会制定具体的评分细则和评分标准. 一、选择题:本题15小题,每小题4分,共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C B A D B C D A B B B D A C A 二、填空题:本题5小题,每小题4分,共20分. 16.2015 17.3 18.10 19.= 20.30°或150° 三、解答题:本题8小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 21.(本小题满分10分,每题5分) 解:(1)原式= ……………………………………………………… 4分 =-1. ……………………………………………………………………… 5分 (2)∵, ∴, ……………………………………………………… 6分 ∴, ………………………………………………………8分 ∴.…………………………………………………………………10分 A B N M O P 22.(本小题满分5分) 解:作出角平分线; ………………… 1分 作出垂直平分线; ………………… 2分 作出⊙P; ……………… 4分 ∴⊙P就是所求作的圆.…………… 5分 23.(本小题满分6分) 解:(1)根据题意画出树状图如下: 甲 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丙 丙 第一次 第二次 第三次 ……………………… 4分 (2)由(l)可知:三次传球有8种等可能结果,其中传回甲脚下的有2种.所以 P(传球三次回到甲脚下)=. …………………………………………… 5分 (3)由(l)可知:甲传球三次后球传回自己脚下的概率为,传到乙脚下的概率为,所以球传到乙脚下的概率大. ………………………………………………… 6分 24.(本小题满分8分) 解:(l)平行 ………………………………………………………………………2分 (2)连接AE,延长AE交BF的延长线于点M,连结CG,延长CG交DH的延长线于 点N ∵AB∥EF ∴,即 ………………………3分 ∴ ……………………………………………………………4分 墙面 G H F E D C 地面 A B M N 旗杆 电线杆 ∴ …………………………………………………5分 由平行投影的知识可以知道∠AMB=∠CND ∴在Rt△NHG中, ∴ ………6分 ∵在Rt△CDN中, ∴(米)………………8分 所以,电线杆长为7米 25.(本小题满分9分) 证明:(1)做BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD =∠BMD …………1分 ∵AB∥CD BM∥AC ∴四边形ABMC为平行四边形 …………………………………………………2分 ∴AC = BM ∵BD = AC M A E F C H G B D ∴BM = BD ∴∠BDM = ∠BMD ∴∠BDC = ∠ACD 在△BDC和△ACD中 ∴△BDC ≌ △ACD ………………………………………………………4分 ∴BC = AD ……………………………………………………………………………5分 (2)连接EG、GF、FH、HE …………………………………………………6分 ∵E、H为AB、BD的中点 ∴ 同理,, ∵BC = AD ∴EG = FG = FH = EH …………………………………………………8分 ∴四边形EGFH为菱形 ∴EF与GH互相垂直平分 ………………………………………………………………9分 26.(本小题满分10分) P y A B x C D O 解:(1)当时,; ………………………………2分 (2)把A(-4,),B(-1,2)代入y=kx+b得, ,解得, 所以一次函数解析式为; ………………………………5分 把B(-1,2)代入,得m=-1×2=-2; …………………………………6分 (3)如图,设P点坐标为. …………………………………………………7分∵△PCA和△PDB面积相等, ∴, 解得, ………………………………………………………………………………9分∴P点坐标为. …………………………………………………………………10分 27.(本小题满分10分) D C B A E O 解:(1)直线BC与⊙O相切;……………………1分 连结OD,………………………………………2分 ∵OA = OD ∴∠OAD = ∠ODA ∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D ∴∠CAD = ∠OAD ∴∠CAD = ∠ODA ∴OD∥AC ……………………………………3分 ∴∠ODB = ∠C = 90° 即OD⊥BC. ………………………………………………………………………………4分 ∴直线BC与⊙O相切. (2)①设OA = OD = r,在Rt△BDO中,∠B = 30°, ∴OB = 2r ………………………………………………………………………………5分 在Rt△ACB中,∠B = 30° ∴AB = 2AC = 6 ∴3r = 6 …………………………………………………………………………………6分 解得r = 2. ……………………………………………………………………7分 ②在Rt△ACB中,∠B = 30°, ∴∠BOD = 60°. …………………………………………………………………………8分∴S扇形ODE=. ……………………………………………………………9分 ∴所求图形面积为:S△BOD- S扇形ODE .……………………………………10分 28.(本小题满分12分) 解:(1)由条件得1 = 4a,,所以二次函数的解析式是…………………1分 A x y B O C D 图① (2)①由得,, 即A(-2,1),B(8,16)…………………………3分 过A作AC⊥x轴于C,过B作BD⊥x轴于D, 则AC = 1,OC = 2,OD = 8,BD = 16, ∴ 又∵∠ACO =∠ODB = 90º ∴△ACO ∽ △ODB ………………………………4分 ∴∠AOC = ∠OBD ∴∠AOC +∠BOD = 90º ∴∠AOB = 90º ∴△AOB为直角三角形 …………………………………………………………分 ②△AOB为直角三角形, ………………………………………………………………分 x y O A B C D 图② 证明如下: 过A作AC⊥x轴于C,过B作BD⊥x轴于D 由得x2-4mx-16 = 0 解得,…………分 ∴ ∴……………………………分 ∴OC•OD = AC•BD = 16 ∴ ………………………………………………………………………分 又∵∠ACO =∠ODB = 90º,∴△ACO ∽△ODB ………………………………分 ∴∠AOC =∠OBD ∴∠AOC +∠BOD =90º ∴∠AOB =90º ∴△AOB为直角三角形. (3)可能的结论为 …………………………………………………………………分 如果过定点(0,4)的直线与抛物线交于A、B两点,O为抛物线的顶点,那么△AOB必为直角三角形. 如果过定点(0,)的直线与抛物线交于A、B两点,O为抛物线的顶点,那么△AOB必为直角三角形.- 配套讲稿:
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