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2006年辽宁高考理科数学真题及答案

第I卷（选择题 共60分）

参考公式：
球的表面积公式

球的体积公式

其中R表示球的半径
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率P，那
么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.
（1）设集合A={1,2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）8
（2）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是
（A）是奇函数 （B）|| 是奇函数
（C）－是偶函数 （D）+是偶函数
（3）给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行.
④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是
（A） （B） （C） （D）
（5）设是R上的一个运算，A是R的非空子集. 若对任意，则称A对运算封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和法（除数不等于零）四则运算都封闭的是
（A）自然数集 （B）整数集 （C）有理数集 （D）无理数集
（6）△ABC的三内角A，B，C，所对边的长分别为，设向量p、q=
若p∥q，，则角C的大小为
（A） （B） （C） （D）
（7）与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（8）曲线与曲线的
（A）焦距相等 （B）离心率相等 （C）焦点相同 （D）准线相同
（9）在等比数列中，前n项和为，若数列也是等比数列，则等于
（A） （B）3n （C）2n （D）
（10）直线与曲线的公共点的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（11）已知函数则的值域是
（A）[－1，1] （B）[] （C）] （D）
（12）设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，.
若，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）

第II卷（非选择题 共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
（13）设则 .
（14）= .
（15）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种.（以数作答）
（16）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则cos= .
三．解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知函数求：
（Ⅰ）求函数的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（Ⅱ）函数的单调增区间.

（18）（本小题满分12分）
已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A—DE—C的大小为
（Ⅰ）证明BF∥平面ADE；

（Ⅱ）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值.

（19）（本小题满分12分）
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后剩是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ对乙项目每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元. 随机变量ξ1，ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
（Ⅰ）求ξ1，ξ2的概率分布和数学期望Eξ1，Eξ2；
（Ⅱ）当Eξ1<Eξ2时，求p的取值范围.

（20）（本小题满分14分）
已知点是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量 设圆C的方程为
（Ⅰ）证明线段AB是圆C的直径；
（Ⅱ）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.

（21）（本小题满分12分）
已知函数
设的极小值点. 在[]上，处取得最大值，在取得最小值. 将
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若△ABC有一条边平行于x轴，且面积为2+，求的值.

（22）（本小题满分2分）
已知 设

（Ⅰ）写出；
（Ⅱ）证明：对任意的，情有|

2006年辽宁高考理科数学真题参考答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
（1）C （2）D （3）D （4）A （5）C （6）B
（7）A （8）A （9）C （10）D （11）C （12）B
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
（13） （14）－1 （15）48 （16）
三、解答题
（17）本小题考查三角公式、三角函数的性制裁及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力. 满分12分
（I）解法一：

……4分

因此，取得最大值的自变量x的集合是 ……8分
解法二：

= ……4分

因此，取得最大值的自变量x的集合是 ……8分
（II）解：
由题意得

因此，的单调增区间是[]. …………12分
（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.
满分12分.
（I）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点.

∴ED∥FD，且EB=FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴EF∥ED.
∵BD平面AED，而BF平面AED.
∴BF∥平面AED. …………4分
（II）解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A用AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD.
∵△ACD为正三角形.
∴AC=AD，
∴GC=GD，
∴G在CD的垂直平分线上，
又∵EF是CD的垂直平分线，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上. …………4分
过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE.
∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.

设除正方形ABCD的边长为2a，连结AF.
在折后图的△AEF中，AF= a，EF=2AE=2 a，
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF，
∴AC=.
在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
∴AH=，∴ ∴ ………12分
解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
连结AF，在平面AEF内过点A作AG⊥EF，垂足为G′
∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，
∴AD⊥CD.
又∵EF⊥CD，
∴CD⊥平面AEF，
∵A G′平面AEF，
∴CD⊥A G′，
又∵A G′⊥EF，且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE，
∴AC⊥平面BCDE，
∴G为A在平面BCDE内的射影G，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过G作CH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE …………8分
∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD的边长为2a.
在折后图的△AEF中，AF=，EF=2AE=2a，
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF
∴AC=.
在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
∴AH=，∴ ∴ ………12分
解法三：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
连结AF，在平面AEF内过点A作AG⊥EF，垂足为G′
∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
又∵EF⊥CD，
∴CD⊥平面AEF，
∵CD平面BCDE，
∴平面AEF⊥平面BCDE.
又∵平面AEF∩平面BCDE=DEF，A G′⊥EF.
∴A G′⊥平面BCDE，即G′为A在平面BCDE内的射影G，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.……………………8分
过G作GH⊥DE，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE，
∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF
∴AC=.
在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
∴AH=，∴ ∴ ………12分
（19）本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
（I）解法一：ξ1的概率分布为
ξ1
1.2
1.18
1.17
P

Eξ1=1.2×+1.18×+1.17×
=1.18. …………3分
由题设得，即ξ的概率分布为
ξ2
1.3
1.25
0.2
P

…………6分

所以ξ2的数学
Eξ2=1.3×+1.25×+0.2×
=1.3－+2.5×+0.2×
=－－0.1p+1.3. …………9分
解法二：ξ1的概率分布为
ξ1
1.2
1.18
1.17
P

Eξ1=1.2×+1.18×+1.17×
=1.18. …………3分
设Ai表示事件“第i次调整，价格下降”（i=1,2），则

故ξ2的概率分布为
ξ2
1.3
1.25
0.2
P

…………6分

所以ξ2的数学
Eξ2=1.3×+1.25×+0.2×
=1.3－+2.5×+0.2×
=－－0.1p+1.3. …………9分
（II）解：由，得，
整理得，
解得
因为所以，当时，p的取值范围是…………12分
（20）本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力，满分14分.
（I）证法一：

① ……3分
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则

即
展开上式并将①代入得
故线段AB是圆C的直径.
证法二：

① ……3分
若直线（x，y）在以线AB为直径的圆上，则

去分母得
点满足上方程，展开并将①代入得
，
所以线AB是圆C的直径.……6分
证法三：

① ……3分
以AB为直径的圆的方程是
，
展开，并将①代入得.
所以线段AB是圆C的直径………………6分
（II）解法一：设圆C的圆心为C（x，y），则

所以圆心的轨迹方程为： ………………11分
设圆心C到直线的距离为d，则

当，由题设得，……14分
解法二：设圆C的圆心为C（x，y），则

………………9分

所以圆心的轨迹方程为： ………………11分
设直线的距离为，则

因为的公共点.
所以当仅有一个公共点时，
该点到的距离最小，最小值为，
②
③

将②代入③得

………………14分
解法三：设圆C的圆心为C（x，y），则

若圆心C到直线的距离为d，那

……………………9分

当，由题设得，……14分
（21）本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数列等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力. 满分12分.
（I）解：

令 …………2分

所以在x=－1处取极小值，即 ………………6分
（II）解法一：
的图象开口向上，对称轴方程是，
，知，
在[1－，0]上的最大值为，即，
又由，知，
，即
， ，
……………………9分
由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以
，即 ①
又由△ABC的面积为，得
，
利用，得. ②
联立①，②可得 ……………………12分
解法二：

由上的最大值为 即
由，知，
，即
， ，
……………………9分
由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以
，即 ①
又由△ABC的面积为，得
，
利用，得. ②
联立①，②可得 ……………………12分
（22）本小题主要考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.
（I）解：由已知推得，从而有
…………3分
（II）证法一：当时，

当恒有
………………………………7分

=
=
………………10分

…………………………12分
因此结论成立.
证明法二：当时，

当是增函数.
又是偶函数，所以在[－1，0]上是减函数
所以对于任意的在[－1,1]，恒有
………………………………7分

又
………………10分

…………………………12分
因此结论成立.
证法三：当时，

当上是增函数.
又是偶函数，所以在[－1，0]上是减函数
所以对于任意的在[－1,1]，恒有
………………………………7分

由 ，得

. ………………10分
…………………12分
因此结论成立.
证法四：当时，

当上是增函数.
又是偶函数，所以在[－1，0]上是减函数
所以对于任意的在[－1,1]，恒有
………………………………7分
.
=
对上式两边求导，得

………………………10分
…………………12分
因此结论成立.