2015年辽宁省锦州市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•锦州）2015的相反数是（　　）[来源:学科网]
　 A． 2015 B． ﹣2015 C． D． ﹣[来源:学科网]
2．（3分）（2015•锦州）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
　 A． 明天我市下雨
　 B． 抛一枚硬币，正面朝下
　 C． 购买一张福利彩票中奖了
　 D． 掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零
3．（3分）（2015•锦州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（　　）

　 A． B． C． D．
4．（3分）（2015•锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
　 A． B． C． D．
5．（3分）（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
　 A． B． C． D．
6．（3分）（2015•锦州）如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
　 C． D．
7．（3分）（2015•锦州）一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（　　）
　 A． 有两个相等的实数根　 　 B． 有两个不相等的实数根
　 C． 只有一个实数根　 　 　 D． 没有实数根
8．（3分）（2015•锦州）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　）

　 A． （2，2），（3，2） 　 B． （2，4），（3，1）
　 C． （2，2），（3，1） 　 D． （3，1），（2，2）

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•锦州）已知地球上海洋面积约为316000000km2，316000000这个数用科学记数法可表示为　　　　　　．
10．（3分）（2015•锦州）数据4，7，7，8，9的众数是　　　　　　．
11．（3分）（2015•锦州）如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，∠2=　　　　　　．

12．（3分）（2015•锦州）分解因式：m2n﹣2mn+n=　　　　　　．
13．（3分）（2015•锦州）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为　　　　　　（精确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
14．（3分）（2015•锦州）如图，点A在双曲线y=上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是　　　　　　．

15．（3分）（2015•锦州）制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x个零件，则可列方程为　　　　　　．
16．（3分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则第4个正方形的边长是　　　　　　，S3的值为　　　　　　．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）（2015•锦州）先化简，再求值：（1+）÷，其中：x=3﹣3．

18．（8分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（﹣5，1），B（﹣2，3），线段CD的两个端点是C（﹣5，﹣1），D（﹣2，﹣3）．
（1）线段AB与线段CD关于直线对称，则对称轴是　　　　　　；
（2）平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（1，2），画出平移后的线段A1B1，并写出点B1的坐标为　　　　　　．

四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（2015•锦州）2015年5月，某校组织了以“德润书香”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种，现从中随机抽取部分作品，对其份数和成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；
（2）已知该校收到参赛作品共900份，比赛成绩达到90分以上（含90分）的为优秀作品，据此估计该校参赛作品中，优秀作品有多少份？

20．（10分）（2015•锦州）育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人．
（1）小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？
（2）如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
21．（10分）（2015•锦州）如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．

22．（10分）（2015•锦州）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）

六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）（2015•锦州）如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．

24．（10分）（2015•锦州）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示．
（1）图中线段AB所表示的实际意义是　　　　　　；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W（元）最大？最大利润是多少？

七、解答题（本题12分）
25．（12分）（2015•锦州）如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是　　　　　　；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；
（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．

2015年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•锦州）2015的相反数是（　　）
　 A． 2015 B． ﹣2015 C． D． ﹣

考点： 相反数．版权所有
分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解答： 解：2015的相反数是﹣2015．
故选：B．
点评： 本题考查了相反数，熟记一个数的前面加上负号就是这个数的相反数是解题的关键．

2．（3分）（2015•锦州）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
　 A． 明天我市下雨
　 B． 抛一枚硬币，正面朝下
　 C． 购买一张福利彩票中奖了
　 D． 掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零

考点： 随机事件．版权所有
分析： 必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
解答： 解：∵A，B，C选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有D，掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零，是必然事件，符合题意．
故选D．
点评： 本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3．（3分）（2015•锦州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．版权所有
分析： 找到从左侧面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解答： 解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．
故选A．
点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左侧面看得到的视图．

4．（3分）（2015•锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 最简二次根式．版权所有
分析： A、B选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
解答： 解：A、不是最简二次根式，故本选项错误；
B、不是最简二次根式，故本选项错误；
C、不是最简二次根式，故本选项错误；
D、是最简二次根式，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了对最简二次根式定义的应用，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．

5．（3分）（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．版权所有
分析： 根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
解答： 解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选C．
点评： 此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．

6．（3分）（2015•锦州）如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
　 C． D．

考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．版权所有
分析： 数轴的某一段上面表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．
解答： 解：由①得，x＞﹣2，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤2．
故选：B．
点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．[来源:学,科,网]

7．（3分）（2015•锦州）一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（　　）
　 A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
　 C． 只有一个实数根 　 　 D． 没有实数根

考点： 根的判别式．版权所有
分析： 把a=1，b=﹣2，c=1代入△=b2﹣4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．
解答： 解：∵a=1，b=﹣2，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根

8．（3分）（2015•锦州）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　）

　 A． （2，2），（3，2） B． （2，4），（3，1）
　 C． （2，2），（3，1） D． （3，1），（2，2）

考点： 位似变换；坐标与图形性质．版权所有
分析： 直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
解答： 解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选：C．
点评： 此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•锦州）已知地球上海洋面积约为316000000km2，316000000这个数用科学记数法可表示为　3.16×108　．

考点： 科学记数法—表示较大的数．版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据科学记数法定义得到316000000这个数用科学记数法可表示3.16×108．
解答： 解：316000000=3.16×108．
故答案为3.16×108．
点评： 本题考查了科学记数法﹣表示较大的数：用a×10n（1≤a＜10，n为整数）表示较大数的方法叫科学记数法．

10．（3分）（2015•锦州）数据4，7，7，8，9的众数是　7　．

考点： 众数．版权所有
分析： 根据众数的定义即可得出结论．
解答： 解：∵数据4，7，7，8，9中7出现的次数较多，
∴这一组数据的众数是7．
故答案为：7．
点评： 本题考查的是众数，熟知一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解答此题的关键．

11．（3分）（2015•锦州）如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，∠2=　100°　．

考点： 平行线的性质．版权所有
分析： 由平行线的性质可求得∠B，在△ABC中利用三角形外角的性质可求得∠2．
解答： 解：∵l1∥l2，
∴∠B=∠1=60°，
∵∠2为△ABC的一个外角，
∴∠2=∠B+∠A=60°+40°=100°，
故答案为：100°．
点评： 本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补

12．（3分）（2015•锦州）分解因式：m2n﹣2mn+n=　n（m﹣1）2　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：原式=n（m2﹣2m+1）=n（m﹣1）2．
故答案为：n（m﹣1）2
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．（3分）（2015•锦州）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为　0.5　（精确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50

考点： 利用频率估计概率．版权所有
专题： 图表型．
分析： 计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
解答： 解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
点评： 此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．

14．（3分）（2015•锦州）如图，点A在双曲线y=上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是　﹣4　．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．版权所有
分析： 根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可得|k|=S△AOB=2，据此求出k的值是多少即可．
解答： 解：∵△AOB的面积是2，
∴|k|=2，
∴|k|=4，
解得k=±4，
又∵双曲线y=的图象经过第二、四象限，
∴k=﹣4，
即k的值是﹣4．
故答案为：﹣4．
点评： 此题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．

15．（3分）（2015•锦州）制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x个零件，则可列方程为　=　．

考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设小芳每小时做x个零件，则小明每小时做（x+20）个零件，根据小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，列方程即可．
解答： 解：设小芳每小时做x个零件，则小明每小时做（x+20）个零件，
由题意得，=．
故答案为：=．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

16．（3分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则第4个正方形的边长是　　，S3的值为　　．

考点： 一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．版权所有
专题： 规律型．
分析： 根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角30°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是底是高的2倍，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第4个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
解答： 解：易知：直线y=x与正方形的边围成的三角形直角边底是高的2倍，
∵A（27，9），
∴第四个正方形的边长为，
第三个正方形的边长为9，
第二个正方形的边长为6，
第一个正方形的边长为4，
第五个正方形的边长为，
…，
由图可知，S1=×4×4+×（4+6）×6﹣×（4+6）×6=8，
S2=×9×9+（9+）×﹣（9+）×=，
…，
∴S3=××=．
故答案为：、．
点评： 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）（2015•锦州）先化简，再求值：（1+）÷，其中：x=3﹣3．

考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=•
=•
=x+1，
当x=3﹣3时，原式=3﹣3+1=3﹣2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（8分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（﹣5，1），B（﹣2，3），线段CD的两个端点是C（﹣5，﹣1），D（﹣2，﹣3）．
（1）线段AB与线段CD关于直线对称，则对称轴是　x轴　；
（2）平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（1，2），画出平移后的线段A1B1，并写出点B1的坐标为　（4，4）　．

考点： 作图-平移变换；作图-轴对称变换．版权所有
分析： （1）由A、C和B、D到x轴的距离相等，可判定x轴为其对称轴；
（2）由A和A1的坐标变化可得出平移的规律，可得出B1的坐标，容易画出平移后的线段．
解答： 解：
（1）∵A（﹣5，1），C（﹣5，﹣1），
∴AC⊥x轴，且到x轴的距离相等，
同理BD⊥x轴，且到x轴的距离相等，
∴线段AB和线段CD关于x轴对称，
故答案为：x轴；
（2）∵A（﹣5，1），A1（1，2），
∴相当于把A点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位，
∵B（﹣2，3），
∴平移后得到B1的坐标为（4，4），
线段A1B1如图所示，

故答案为：（4，4）．
点评： 本题主要考查轴对称的定义和平移的性质，掌握对称轴是对应点连线的垂直平分线和平移规律（右加左减，上加下减）是解题的关键．

四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（2015•锦州）2015年5月，某校组织了以“德润书香”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种，现从中随机抽取部分作品，对其份数和成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；
（2）已知该校收到参赛作品共900份，比赛成绩达到90分以上（含90分）的为优秀作品，据此估计该校参赛作品中，优秀作品有多少份？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）根据70分的人数除以占的百分比，得出抽取的总份数，补全统计图即可；
（2）根据游戏份数占的百分比，乘以900即可得到结果．
解答： 解：（1）根据题意得：24÷20%=120（份），
得80分的作品数为120﹣（6+24+36+12）=42（份），
补全统计图，如图所示；
（2）根据题意得：900×=360（份），
则据此估计该校参赛作品中，优秀作品有360份．

点评： 此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．

20．（10分）（2015•锦州）育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人．
（1）小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？
（2）如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率．

考点： 列表法与树状图法；可能性的大小．版权所有
分析： （1）根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率的意义列式计算即可得解．
解答： 解：（1）∵有2名男生和1名女生，
∴主持人是男生的概率=，
主持人是女生的概率=；

（2）画出树状图如下：

一共有6种情况，恰好是1名男生和1名女生的有4种情况，
所以，P（恰好是1名男生和1名女生）==．
点评： 本题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
21．（10分）（2015•锦州）如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．

考点： 平行四边形的判定；三角形中位线定理．版权所有
分析： 根据三角形中位线的性质可得DE∥BF，DE=AB，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ADEF的形状．
解答： 解：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE=AB，
∵AF=AB，
∴DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．

22．（10分）（2015•锦州）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．版权所有
分析： 过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在Rt△BDP中求出PB即可．
解答： 解：过B作BD⊥AP于D，
由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，
在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，
∴BD=AB=20，
在Rt△BDP中，∵∠P=45°，
∴PB=BD=20．

点评： 此题主要考查了方向角问题的应用，根据已知得出△PDB为等腰直角三角形是解题关键．

六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）（2015•锦州）如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．

考点： 切线的判定．版权所有
分析： （1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED∽△FAC，进而求出即可．
解答： （1）证明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，
∴∠FED=∠A，
∵∠B+∠FED=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠BCA=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，
∴△FED∽△FAC，
∴=，
∴=，
解得：AC=9，即⊙O的直径为9．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△FED∽△FAC是解题关键．

24．（10分）（2015•锦州）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示．
（1）图中线段AB所表示的实际意义是　购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本　；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W（元）最大？最大利润是多少？

考点： 一次函数的应用．版权所有
分析： （1）由所给的一次函数图象观察线段AB即可得出线段AB所表示的实际意义是：购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本，
（2）分三种情况①当0＜x≤10时，②当10＜x≤20时，③当20＜x时分别求解即可，
（3）先列出W的关系式，再利用二次函数的最值求解即可．
解答： 解：（1）图中线段AB所表示的实际意义是：购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本．
故答案为：购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本．
（2）①当0＜x≤10时，
y与x之间的函数关系式y=5，
②当10＜x≤20时，
设=kx+b把B（10，5），C（20，4）代入得，[来源:Zxxk.Com]
解得．
所以y与x之间的函数关系式y=﹣0.1x+6．
③当20＜x时，y与x之间的函数关系式为：y=4．
（3）W=（﹣0.1x+6﹣3）x=﹣0.1×（x﹣15）2+22.5．
答：当小明购买15本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润最大，最大利润是22.5元．
点评： 本题主要考查了一次函数分段图象及二次函数最值问题，解题的关键是正确的认识一次函数分段图象及正确的列出二次函数关系式．

七、解答题（本题12分）
25．（12分）（2015•锦州）如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是　DE+DF=AD　；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

考点： 四边形综合题．版权所有
分析： （1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，
（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，
（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．
解答： 解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD，
（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，
∵∠PAM=30°，
∴∠MPD=60°，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△FPD中，

∴△MPE≌△FPD（ASA）
∴ME=DF，[来源:学科网ZXXK]
∴DE+DF=AD，
（3）如图，

在整个运动变化过程中，
①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，
②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，
即AD＜DE+DF≤AD．
点评： 本题主要考查了四边形的综合题，涉及全等三角形，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．

八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；
（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．

考点： 二次函数综合题．版权所有
分析： （1）根据抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可．
（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△CAD的面积，即可求出△PDB的面积，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，据此判断出n=3或﹣3，再把它代入抛物线的解析式，求出x的值是多少，即可判断出点P的坐标．
（3）首先应用待定系数法，求出BC所在的直线的解析式是多少；然后根据点P的坐标是（m，n），求出点F的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG2的最小值是多少，即可求出线段EG的最小值．
解答： 解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx+2中，可得

解得
∴抛物线的解析式为：y=﹣0.5x2+1.5x+2．

（2）∵抛物线的解析式为y=﹣0.5x2+1.5x+2，
∴点C的坐标是（0.2），
∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），
∴AD=2﹣（﹣1）=3，
∴△CAD的面积=，
∴△PDB的面积=3，
∵点B（4，0）、点D（2，0），
∴BD=2，
∴|n|=3×2÷2=3，
∴n=3或﹣3，
①当n=3时，
0.5m2+1.5m+2=3，
解得m=或m=﹣，
∴点P的坐标是（，3）或（﹣，3）．
②当n=﹣3时，
0.5m2+1.5m+2=﹣3，
整理，可得
m2+3m+10=0，
∵△=32﹣4×1×10=﹣31＜0，
∴方程无解．
综