2015年湖北省荆门市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项，有且只有一个答案是正确的）
1．（3分）（2015•荆门）64的立方根是（　　）

A．
4
B．
±4
C．
8
D．
±8
2．（3分）（2015•荆门）下列计算正确的是（　　）

A．
a2+a3=a5
B．
a2•a3=a6
C．
（a2）3=a5
D．
a5÷a2=a3
3．（3分）（2015•荆门）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（3分）（2015•荆门）某市2014年的国民生产总值为2073亿元，这个数用科学记数法表示为（　　）

A．
2.073×1010元
B．
2.073×1011元
C．
2.073×1012元
D．
2.073×1013元
5．（3分）（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．
8或10
B．
8
C．
10
D．
6或12
6．（3分）（2015•荆门）如图，m∥n，直线l分别交m，n于点A，点B，AC⊥AB，AC交直线n于点C，若∠1=35°，则∠2等于（　　）

A．
35°
B．
45°
C．
55°
D．
65°
7．（3分）（2015•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．
a≥1
B．
a＞1
C．
a≤1
D．
a＜1
8．（3分）（2015•荆门）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（　　）

A．
﹣1
B．
1
C．
2a﹣3
D．
3﹣2a
9．（3分）（2015•荆门）在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（　　）

A．
甲的速度随时间的增加而增大

B．
乙的平均速度比甲的平均速度大

C．
在起跑后第180秒时，两人相遇

D．
在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
10．（3分）（2015•荆门）在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

11．（3分）（2015•荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（　　）

A．

B．
﹣1
C．
2﹣
D．

12．（3分）（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2015•荆门）不等式组的解集是　　　　　　．
14．（3分）（2015•荆门）王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了　　　　　　千克．
15．（3分）（2015•荆门）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为　　　　　　．
16．（3分）（2015•荆门）在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD沿直线l向右翻滚两次至如图所示位置，则点B所经过的路线长是　　　　　　（结果不取近似值）．

17．（3分）（2015•荆门）如图，点A1，A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为　　　　　　．

三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．（8分）（2015•荆门）先化简，再求值：•﹣，其中a=1+，b=1﹣．

19．（9分）（2015•荆门）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．

20．（10分）（2015•荆门）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
组别
身高（cm）
A
x＜150
B
150≤x＜155
C
155≤x＜160
D
160≤x＜165
E
x≥165

根据图表中信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在　　　　　　组（填组别序号），女生身高在B组的人数有　　　　　　人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有　　　　　　人，身高人数最多的在　　　　　　组（填组别序号）；
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x＜160之间的学生约有多少人？

21．（10分）（2015•荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．

22．（10分）（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．

23．（10分）（2015•荆门）甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套进价400元，每套售价500元，一年内可卖完，现市场流行B品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装，一年内B品牌服装销售无积压，因甲经销商无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣x+360（100≤x≤1200），若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为W（元）．
（1）求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1（元）与x（套）之间的函数关系式；
（2）求B品牌服装的销售款Q2（元）与x（套）之间的函数关系式；
（3）求W（元）与x（套）之间的函数关系式，并求W的最大值．

24．（12分）（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

2015年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项，有且只有一个答案是正确的）
1．（3分）（2015•荆门）64的立方根是（　　）

A．
4
B．
±4
C．
8
D．
±8

考点：
立方根．菁优网版权所有
分析：
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解答：
解：∵4的立方等于64，
∴64的立方根等于4．
故选A．
点评：
此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

2．（3分）（2015•荆门）下列计算正确的是（　　）

A．
a2+a3=a5
B．
a2•a3=a6
C．
（a2）3=a5
D．
a5÷a2=a3

考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
分析：
根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断B，根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断C，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可判断D．
解答：
解：A、不是同类项不能合并，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
点评：
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

3．（3分）（2015•荆门）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：
俯视图是指从物体上面看，所得到的图形．
解答：
解：A、圆柱的俯视图是圆；
B、三棱锥的俯视图是三角形；
C、球的俯视图是圆；
D、正方体的俯视图是四边形．
故选D．
点评：
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

4．（3分）（2015•荆门）某市2014年的国民生产总值为2073亿元，这个数用科学记数法表示为（　　）

A．
2.073×1010元
B．
2.073×1011元
C．
2.073×1012元
D．
2.073×1013元

考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将2073亿用科学记数法表示为2.073×1011．
故选B
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（3分）（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．
8或10
B．
8
C．
10
D．
6或12

考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有
分析：
分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．
解答：
解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．
故选C．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．

6．（3分）（2015•荆门）如图，m∥n，直线l分别交m，n于点A，点B，AC⊥AB，AC交直线n于点C，若∠1=35°，则∠2等于（　　）

A．
35°
B．
45°
C．
55°
D．
65°

考点：
平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．
解答：
解：如图，
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠1=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣35°=55°，
∵直线m∥n，
∴∠3=∠2=55°，
故选：C

点评：
本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差．

7．（3分）（2015•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．
a≥1
B．
a＞1
C．
a≤1
D．
a＜1

考点：
根的判别式．菁优网版权所有
分析：
根据关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，得出△=16﹣4（5﹣a）≥0，从而求出a的取值范围．
解答：
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a）≥0，
∴a≥1．
故选A．
点评：
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

8．（3分）（2015•荆门）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（　　）

A．
﹣1
B．
1
C．
2a﹣3
D．
3﹣2a

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
分析：
首先判断出a﹣2＜0，1﹣a＜0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．
解答：
解：∵当1＜a＜2时，∴a﹣2＜0，1﹣a＜0，
∴+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．
故选：B．
点评：
此题主要考查了二次根式以及绝对值的化简，正确得出各项符号是解题关键．

9．（3分）（2015•荆门）在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（　　）

A．
甲的速度随时间的增加而增大

B．
乙的平均速度比甲的平均速度大

C．
在起跑后第180秒时，两人相遇

D．
在起跑后第50秒时，乙在甲的前面

考点：
一次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；
B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；
C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
解答：
解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故选项错误；
B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确．
故选D．
点评：
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．

10．（3分）（2015•荆门）在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过三次传球后，球仍回到甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：
解：画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，经过3次传球后，球仍回到甲手中的有2种情况，
∴经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是：=．
故选B．
点评：
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

11．（3分）（2015•荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（　　）

A．

B．
﹣1
C．
2﹣
D．

考点：
解直角三角形；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：
利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．
解答：
解：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．
又∵点D为边AC的中点，
∴AD=DC=AC．
∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE=∠C=45°，
∴DE=EC=DC=AC．
∴tan∠DBC===．
故选：A．

点评：
本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．

12．（3分）（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；
由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；
由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；
证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．
解答：
解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．
点评：
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2015•荆门）不等式组的解集是　﹣1≤x＜5　．

考点：
解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
解答：
解：
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣1，
不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．
故答案为：﹣1≤x＜5．
点评：
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

14．（3分）（2015•荆门）王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了　5　千克．

考点：
一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析：
设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，根据用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材比乙种药材多买了2千克，列方程求解．
解答：
5解：设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，
依题意，得20x+60（x﹣2）=280，
解得：x=5．
即：甲种药材5千克．
故答案是：5．
点评：
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

15．（3分）（2015•荆门）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为　﹣1或﹣3　．

考点：
根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
分析：
利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．
解答：
解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1，
而x12+x22=4，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，
∴（m+3）2﹣2m﹣2=4，
∴m2+6m+9﹣2m﹣6=0，
m2+4m+3=0，
∴m=﹣1或﹣3，
故答案为：﹣1或﹣3
点评：
本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．

16．（3分）（2015•荆门）在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD沿直线l向右翻滚两次至如图所示位置，则点B所经过的路线长是　12.5π　（结果不取近似值）．

考点：
轨迹；弧长的计算；旋转的性质．菁优网版权所有
分析：
根据图形的滚动路线得出点B所经过的路线长为2段扇形弧长进而求出即可．
解答：
解：连接BD．
在直角△ABD中，BD==13，
则顶点B所经过的路线长：+=12.5π．
故答案是：12.5π．

点评：
此题主要考查了轨迹、图形的旋转以及扇形弧长公式的应用，根据已知得出滚动路线是解题关键．

17．（3分）（2015•荆门）如图，点A1，A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为　（6，0）　．

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
由于△A1OB1等边三角形，作A1C⊥OB1，垂足为C，由等边三角形的性质求出A1C=OC，设A1的坐标为（m，m），根据点A1是反比例函数y=（x＞0）的图象上的一点，求出BO的长度；作A2D⊥B1B2，垂足为D．设B1D=a，由于，△A2B1B2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点A2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出B2点的坐标．
解答：
解：作A1C⊥OB1，垂足为C，
∵△A1OB1为等边三角形，
∴∠A1OB1=60°，
∴tan60°==，
∴A1C=OC，
设A1的坐标为（m，m），
∵点A1在y=（x＞0）的图象上，
∴m=9，解得m=3，
∴OC=3，
∴OB1=6，
作A2D⊥B1B2，垂足为D．
设B1D=a，
则OD=6+a，A2D=a，
∴A2（6+a，a）．
∵A2（6+a，a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=，得（6+a）•a=9，
化简得a2+6a﹣9=0
解得：a=﹣3±3．
∵a＞0，
∴a=﹣3+3．
∴B1B2=﹣6+6，
∴OB2=OB1+B1B2=6，
所以点B2的坐标为（6，0）．
故答案是：（6，0）．

点评：
此题综合考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．

三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．（8分）（2015•荆门）先化简，再求值：•﹣，其中a=1+，b=1﹣．

考点：
分式的化简求值．菁优网版权所有
分析：
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=•﹣
=•﹣
=1﹣
=﹣，
当a=1+，b=1﹣时，
原式=﹣=﹣=．
点评：
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

19．（9分）（2015•荆门）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．

考点：
菱形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
首先证得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形，然后证得AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．
解答：
证明：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD．
∴∠BAE=∠DCF．
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
点评：
本题考查了菱形的判定，能够了解菱形的几种判定方法是解答本题的关键，难度不大．

20．（10分）（2015•荆门）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
组别
身高（cm）
A
x＜150
B
150≤x＜155
C
155≤x＜160
D
160≤x＜165
E
x≥165

根据图表中信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在　D　组（填组别序号），女生身高在B组的人数有　12　人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有　16　人，身高人数最多的在　C　组（填组别序号）；
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x＜160之间的学生约有多少人？

考点：
频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．菁优网版权所有
分析：
（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果；
（3）分别用男、女生的人数，相加即可得解．
解答：
解：（1）∵在样本中，共有2+4+8+12+14=40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组，
女生身高在B组的人数有40×（1﹣30%﹣20%﹣15%﹣5%）=12人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有4+12=16人，身高人数最多的在C组；
（3）500×+480×（30%+15%）=541（人），
故估计身高在155≤x＜160之间的学生约有541人．
故答案为：D，12；16，C．
点评：
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21．（10分）（2015•荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．

考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有
分析：
过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．
解答：
解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米，
∴CF=CD=500米，
∴DA=BE+CF=（500+500）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．

点评：
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

22．（10分）（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．

考点：
圆的综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
解答：
（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2=EH•EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，
∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，
∴EA===8，
∵，
∴BE=CE=6，
∵CE2=EH•EA，
∴EH==，
在Rt△BEH中，BH===．

点评：
本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．

23．（10分）（2015•荆门）甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套进价400元，每套售价500元，一年内可卖完，现市场流行B品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装，一年内B品牌服装销售无积压，因甲经销商无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣x+360（100≤x≤1200），若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为W（元）．
（1）求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1（元）与x（套）之间的函数关系式；
（2）求B品牌服装的销售款Q2（元）与x（套）之间的函数关系式；
（3）求W（元）与x（套）之间的函数关系式，并求W的最大值．

考点：
二次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
（1）直接根据销售款=售价×套数即可得出结论；
（2）根据转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣x+360（100≤x≤1200）得出总件数，再与售价相乘即可；
（3）把（1）（2）中的销售款相加再减去成本即可．
解答：
解：（1）∵甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套售价500元，转让x套给乙，
∴Q1=500×（1200﹣x）=﹣500x+600000（100≤x≤1200）；
（2）∵转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣x+360（100≤x≤1200），B品牌服装，每套进价300元，
∴转让后每套的价格=元，
∴Q2=×600=﹣x2+720x（100≤x≤1200）；
（3）∵由（1）、（2）知，Q1=﹣500x+600000，Q2=﹣x2+720x，
∴W=Q1+Q2﹣400×1200=500x+600000﹣x2+720x﹣480000=﹣（x﹣550）2+180500，
当x=550时，W有最大值，最大值为180500元．
点评：
本题考查的是二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

24．（12分）（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；
（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线