2006年天津高考文科数学真题及答案.doc

2006年天津高考文科数学真题及答案

　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
　　祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3． 本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2．设是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于（　　）
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
3．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（　　）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．9
4．设，，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．设，那么“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
6．函数的反函数是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①；②；③．
其中正确的命题有（　　）
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
8．椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9．已知函数（为常数，）的图象关于直线对称，则函数是（　　）
Ａ．偶函数且它的图象关于点对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
Ｃ．奇函数且它的图象关于点对称
Ｄ．奇函数且它的图象关于点对称
10．如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

第Ⅱ卷
注意事项：
1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2． 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3． 本卷共12小题，共100分．
题号
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
得分

得分
评卷人

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．

11．的二项展开式中的系数是　　　　　　（用数字作答）．

12．设向量与的夹角为，，，则　　　　　．
13．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到直线的距离为　　　　　．

14．若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为　　　　　．
15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则　　　　吨．
16．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有
　　　个（用数字作答）．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
得分
评卷人

17．（本小题满分12分）

已知，．求和的值．

得分
评卷人

18．（本小题满分12分）

甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．
（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）．

得分
评卷人

19．（本小题满分12分）

如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）设，证明平面．

得分
评卷人

20．（本小题满分12分）

已知函数，其中，为参数，且．
（Ⅰ）当时，判断函数是否有极值；
（Ⅱ）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．

得分
评卷人

21．（本小题满分14分）

已知数列满足，并且（为非零参数，）．
（Ⅰ）若成等比数列，求参数的值；
（Ⅱ）设，常数且．证明．

得分
评卷人

22．（本小题满分14分）
Ｅ
D
M
O
A
C
B

x
y
l

如图，
双曲线
的离心率为．分别为左、右焦点，为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设和是轴上的两点，过点作斜率不为0的直线，使得交双曲线于两点，作直线交双曲线于另一点．证明直线垂

2006年天津高考文科数学真题参考答案

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）A　　　（2）B　　　（3）B　　　（4）A　　　（5）C
（6）D　　　（7）C　　　（8）D　　　（9）D　　　（10）B
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
（11）35　　　（12）　　　（13）
（14）　（15）20　　　　　（16）24

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
A
C
D
C
D
D
B
（1）已知集合=，则＝，选A.
（2）是等差数列， ∴ ，则这个数列的前6项和等于，选B.
（3）设变量、满足约束条件在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数的最小值为3，选B.
（4） 则，选A.
（5）在开区间中，函数为单调增函数，所以设那么是的充分必要条件，选C.
（6）由函数解得(y>2)，所以原函数的反函数是，选D.
（7）若为一条直线，、、为三个互不重合的平面，下面三个命题：
①不正确；　②正确；③正确，所以正确的命题有2个，选C.
（8）椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.
（9）已知函数、为常数,，∴ 的周期为2π，若函数的图象关于直线对称，不妨设，则函数=，所以是奇函数且它的图象关于点对称，选D.
（10）函数y且可以看作是关于的二次函数，若a>1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴≤0，矛盾；若0<a<1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0<t<1)时，在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴，∴实数的取值范围是，选B.
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
（11）35　　　（12）　　　（13） （14）　
（15）20　　　　　（16）24
（11）的二项式展开式中项为，x项的系数是35.
（12）设向量与的夹角为且∴ ，则。
（13）如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，过C作CD⊥AB，D为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，∠C1DC=60°，CD=，则C1D=，所以点C1到直线的距离为。
（14）若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则圆心在直线y=x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为，这个圆的方程为。
（15）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
（16）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中数字1、2相邻的偶数。可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。

三．解答题
（17）本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
解法一：由得则

因为所以

解法二：由得

解得或由已知故舍去得

因此，那么

且故

（18）本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。满分12分。
（I）解：任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为

（II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为

解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为

（19）本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。
（I）证明：取CD中点M，连结OM。
在矩形ABCD中，
又
则连结EM，于是
四边形EFOM为平行四边形。

又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。
（II）证明：连结FM。由（I）和已知条件，在等边中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而。
平面EOM，从而
而所以平面
（20）本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分12分。
（I）解：当时则在内是增函数，故无极值。
（II）解：令得

由及（I），只需考虑的情况。
当变化时，的符号及的变化情况如下表：

0

＋
0
－
0
＋

极大值

极小值

因此，函数在处取得极小值且

要使必有可得所以

（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组
　　　或
由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有
综上，解得或所以的取值范围是
（21）本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分14分。
　　（I）解：由已知且

　　　若、、成等比数列，则即而解得
　　（II）证明：设由已知，数列是以为首项、为公比的等比数列，故则

　　　因此，对任意

　　　当且时，所以

（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。满分14分。
（I）解：根据题设条件，
设点则、满足

因解得，故

利用得于是因此，所求双曲线方程为

（II）解：设点则直线的方程为

于是、两点坐标满足　　　
将①代入②得

由已知，显然于是因为得

同理，、两点坐标满足

可解得

所以，故直线DE垂直于轴。