2015年四川省泸州市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1．（3分）（2015•泸州）﹣7的绝对值为（　　）

A．
7
B．

C．
﹣
D．
﹣7
2．（3分）（2015•泸州）计算（a2）3的结果为（　　）

A．
a4
B．
a5
C．
a6
D．
a9
3．（3分）（2015•泸州）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（3分）（2015•泸州）截止到2014年底，泸州市中心城区人口约为1120000人，将1120000用科学记数法表示为（　　）

A．
1.12×105
B．
1.12×106
C．
1.12×107
D．
1.12×108
5．（3分）（2015•泸州）如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．若∠C=40°，则∠D的度数为（　　）

A．
90°
B．
100°
C．
110°
D．
120°
6．（3分）（2015•泸州）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．
两组对边分别平行
B．
两组对角分别相等

C．
对角线互相平分
D．
对角线互相垂直
7．（3分）（2015•泸州）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　）

A．
15，15
B．
15，14
C．
16，15
D．
14，15
8．（3分）（2015•泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（　　）

A．
65°
B．
130°
C．
50°
D．
100°
9．（3分）（2015•泸州）若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．
x＜﹣4或x＞2
B．
﹣4≤x≤2
C．
x≤﹣4或x≥2
D．
﹣4＜x＜2
10．（3分）（2015•泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

11．（3分）（2015•泸州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（　　）

A．
13
B．

C．

D．
12
12．（3分）（2015•泸州）在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）（2015•泸州）分解因式：2m2﹣2= ．
14．（3分）（2015•泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．
15．（3分）（2015•泸州）设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为 ．
16．（3分）（2015•泸州）如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB=∠AEH；②DH=2EH；③HO=AE；④BC﹣BF=EH
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．

三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）（2015•泸州）计算：×sin45°﹣20150+2﹣1．

18．（6分）（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．

19．（6分）（2015•泸州）化简：÷（1﹣）

四、（每小题7分，共14分）
20．（7分）（2015•泸州）小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5

5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7

12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．

21．（7分）（2015•泸州）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

五、解答题，每题8分
22．（8分）（2015•泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．

23．（8分）（2015•泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y=的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC，求m的值．

六、（每小题12分，共24分）
24．（12分）（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．

25．（12分）（2015•泸州）如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；
（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

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2015年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1．（3分）（2015•泸州）﹣7的绝对值为（　　）

A．
7
B．

C．
﹣
D．
﹣7

考点：
绝对值．
分析：
根据当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a可得答案．
解答：
解：﹣7的绝对值等于7，
故选：A．
点评：
此题主要考查了绝对值，关键是掌握①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．

2．（3分）（2015•泸州）计算（a2）3的结果为（　　）

A．
a4
B．
a5
C．
a6
D．
a9

考点：
幂的乘方与积的乘方．
分析：
根据幂的乘方，即可解答．
解答：
解：（a2）3=a6，故选：C．
点评：
本题考查了幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．

3．（3分）（2015•泸州）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单几何体的三视图．
分析：
根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案．
解答：
解：从几何体的左面看是一个矩形，
∴几何体的左视图是矩形．
故选：C．
点评：
本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

4．（3分）（2015•泸州）截止到2014年底，泸州市中心城区人口约为1120000人，将1120000用科学记数法表示为（　　）

A．
1.12×105
B．
1.12×106
C．
1.12×107
D．
1.12×108

考点：
科学记数法—表示较大的数．
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将1120000用科学记数法表示为：1.12×106．
故选：B．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（3分）（2015•泸州）如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．若∠C=40°，则∠D的度数为（　　）

A．
90°
B．
100°
C．
110°
D．
120°

考点：
平行线的性质．
分析：
先利用平行线的性质易得∠ABC=40°，因为CB平分∠ABD，所以∠ABD=80°，再利用平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，得出结论．
解答：
解：∵AB∥CD，∠C=40°，
∴∠ABC=40°，
∵CB平分∠ABD，
∴∠ABD=80°，
∴∠D=100°，
故选B．
点评：
本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，利用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．

6．（3分）（2015•泸州）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．
两组对边分别平行
B．
两组对角分别相等

C．
对角线互相平分
D．
对角线互相垂直

考点：
菱形的性质；平行四边形的性质．
分析：
根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
解答：
解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
点评：
此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．

7．（3分）（2015•泸州）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　）

A．
15，15
B．
15，14
C．
16，15
D．
14，15

考点：
众数；中位数．
分析：
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：
解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；
22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2=15．
故选A．
点评：
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．

8．（3分）（2015•泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（　　）

A．
65°
B．
130°
C．
50°
D．
100°

考点：
切线的性质．
分析：
由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：
解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
点评：
本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．

9．（3分）（2015•泸州）若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．
x＜﹣4或x＞2
B．
﹣4≤x≤2
C．
x≤﹣4或x≥2
D．
﹣4＜x＜2

考点：
二次函数与不等式（组）．
专题：
计算题．
分析：
由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．
解答：
解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．
故选D．
点评：
此题考查了二次函数与不等式（组），求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题的关键．

10．（3分）（2015•泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
根的判别式；一次函数的图象．
分析：
根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
解答：
解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
点评：
本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

11．（3分）（2015•泸州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（　　）

A．
13
B．

C．

D．
12

考点：
翻折变换（折叠问题）．
专题：
计算题．
分析：
利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长．
解答：
解：过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB=AC，BC=24，tanC=2，
∴=2，GC=BG=12，
∴AG=24，
∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，
过E点作EF⊥BC于点F，
∴EF=AG=12，
∴=2，
∴FC=6，
设BD=x，则DE=x，
∴DF=24﹣x﹣6=18﹣x，
∴x2=（18﹣x）2+122，
解得：x=13，
则BD=13．
故选A．

点评：
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．

12．（3分）（2015•泸州）在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

考点：
等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
分析：
首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的交点，即可求出点C1的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．
解答：
解：如图，，
∵AB所在的直线是y=x，
∴设AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+b，
∵点A（，），B（3，3），
∴AB的中点坐标是（2，2），
把x=2，y=2代入y=﹣x+b，
解得b=4，
∴AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+4，
∴；
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；
AB==4，
∵3＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．
综上，可得
若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．
故选：B．
点评：
（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）（2015•泸州）分解因式：2m2﹣2=　2（m+1）（m﹣1）　．

考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
专题：
压轴题．
分析：
先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
解答：
解：2m2﹣2，
=2（m2﹣1），
=2（m+1）（m﹣1）．
点评：
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．

14．（3分）（2015•泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是　2　．

考点：
圆锥的计算．
分析：
易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解答：
解：扇形的弧长==4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
故答案为：2．
点评：
考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．

15．（3分）（2015•泸州）设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为　27　．

考点：
根与系数的关系．
分析：
首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．
解答：
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，
故答案为27．
点评：
本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．

16．（3分）（2015•泸州）如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB=∠AEH；②DH=2EH；③HO=AE；④BC﹣BF=EH
其中正确命题的序号是　①③　（填上所有正确命题的序号）．

考点：
相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质．
分析：
根据矩形的性质得到AD=BC=AB=，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，得到①正确；设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=，得到2HE=≠1，故②错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到③正确；由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到④错误．
解答：
解：在矩形ABCD中，AD=BC=AB=，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AD⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD=AB，
∴AH=AB=CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=CD，
∴AD=DE，
∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠AEB，
故①正确；
设DH=1，
则AH=DH=1，AD=DE=，
∴HE=，
∴2HE=≠1，
故②错误；
∵∠AEH=67.5°，
∴∠EAH=22.5°，
∵DH=CH，∠EDC=45°，
∴∠DHC=67.5°，
∴∠OHA=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA，
∴OA=OH，
∴∠AEH=∠OHE=67.5°，
∴OH=OE，
∴OH=AE，
故③正确；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△CHE中，
，
∴△AFH≌△CHE，
∴AF=EH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE=EH，
∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，
故④错误，
故答案为：①③．
点评：
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．

三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）（2015•泸州）计算：×sin45°﹣20150+2﹣1．

考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用特殊角的三角函数值及二次根式性质化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答：
解：原式=2×﹣1+=1．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．

考点：
全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
解答：
证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

19．（6分）（2015•泸州）化简：÷（1﹣）

考点：
分式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答：
解：原式=÷=•=．
点评：
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

四、（每小题7分，共14分）
20．（7分）（2015•泸州）小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
　15　
　30%　
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
　6　
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．

考点：
频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；列表法与树状图法．
分析：
（1）根据第一组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）利用总户数540乘以对应的百分比求解；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．
解答：
解：（1）调查的总数是：2÷4%=50（户），
则6≤x＜7部分调查的户数是：50×12%=6（户），
则4≤x＜5的户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：×100%=30%．

月均用水量（单位：t）
频数
百分比
2≤x＜3
2
4%
3≤x＜4
12
24%
4≤x＜5
15
30%
5≤x＜6
10
20%
6≤x＜7
6
12%
7≤x＜8
3
6%
8≤x＜9
2
4%
（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．

则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是：=．
点评：
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21．（7分）（2015•泸州）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

考点：
一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，两次共花费675元；列出方程组，即可解答．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
解答：
解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得：，
∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．

（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，
∴31﹣m＜2m，
解得：m＞，
∵m是正整数，
∴m最小值=11，
设购买树苗总费用为W=20m+5（31﹣m）=15m+155，
∵k＞0，
∴W随x的减小而减小，
当m=11时，W最小值=15×11+155=320（元）．
答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．
点评：
本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式是关键．

五、解答题，每题8分
22．（8分）（2015•泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．

考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：
首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．
解答：
解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，
∴tan∠PAC=，
∴CP=AP•tan∠PAC=x．
在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，
∴BP=AP=x．
∵PC+BP=BC=30×，
∴x+x=15，
解得x=，
∴PB=x=，
∴航行时间：÷30=（小时）．
答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近．

点评：
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．

23．（8分）（2015•泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y=的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC，求m的值．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
（1）先由一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b=0①，由于一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．由△ACD∽△BCE，得出==2，那么AD=2BE．设B点纵坐标为﹣n，则A点纵坐标为2n．由直线AB的解析式为y=﹣x+2，得出A（3﹣3n，2n），B（3+n，﹣n），再根据反比例函数y=的图象经过A、B两点，列出方程（3﹣3n）•2n=（3+n）•（﹣n），解方程求出n的值，那么m=（3﹣3n）•2n，代入计算即可．
解答：
解：∵一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），
∴3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＜0，
∴b＞0，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=﹣，则函数的解析式是y=﹣x+2．
故这个函数的解析式为y=﹣x+2；

（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴==2，
∴AD=2BE．
设B点纵坐标为﹣n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=﹣x+2，
∴A（3﹣3n，2n），B（3+n，﹣n），
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，
∴（3﹣3n）•2n=（3+n）•（﹣n），
解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），
∴m=（3﹣3n）•2n=﹣3×4=﹣12．

点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．

六、（每小题12分，共24分）
24．（12分）（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．

考点：
切线的性质；平行四边形的判定．
分析：
（1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据切割线定理求得EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．
解答：
（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，
∵AE是⊙O的切线，
由切割线定理得，AE2=EC•DE，
∵AE=6，CD=5，
∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），
由圆的对称性，知四