2015年广东省珠海市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年广东省珠海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．（3分）（2015•珠海）的倒数是（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
2．（3分）（2015•珠海）计算﹣3a2×a3的结果为（　　）
A．﹣3a5 B．3a6 C．﹣3a6 D．3a5
3．（3分）（2015•珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
4．（3分）（2015•珠海）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2015•珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
6．（4分）（2015•珠海）若分式有意义，则x应满足　 　．
7．（4分）（2015•珠海）不等式组的解集是　　 　．
8．（4分）（2015•珠海）填空：x2+10x+　 　=（x+　　 ）2．
9．（4分）（2015•珠海）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　 　cm．
10．（4分）（2015•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为　 　．

三、解答题（一）（共5小题，每小题6分，共30分）
11．（6分）（2015•珠海）计算：﹣12﹣2+50+|﹣3|．

12．（6分）（2015•珠海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．

13．（6分）（2015•珠海）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=8，CD=5，则CE=　 　．

14．（6分）（2015•珠海）某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一项）”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题：
（1）求本次抽样人数有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？

15．（6分）（2015•珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2015•珠海）如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）

17．（7分）（2015•珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．

18．（7分）（2015•珠海）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，函数y=的图象过点P（4，3）和矩形的顶点B（m，n）（0＜m＜4）．
（1）求k的值；
（2）连接PA，PB，若△ABP的面积为6，求直线BP的解析式．

19．（7分）（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD　=　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．

五、解答题(三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2015•珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组．
（i）求x2+4y2的值；
（ii）求+的值．

21．（9分）（2015•珠海）五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．
（1）如图1，求∠EBD的度数；
（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG•HC的值．

22．（9分）（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

2015年广东省珠海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．（3分）（2015•珠海）的倒数是（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】倒数．.
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：∵×2=1，
∴的倒数是2．
故选C．
【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数

2．（3分）（2015•珠海）计算﹣3a2×a3的结果为（　　）
A．﹣3a5 B．3a6 C．﹣3a6 D．3a5
【考点】单项式乘单项式．.
【分析】利用单项式相乘的运算性质计算即可得到答案．
【解答】解：﹣3a2×a3=﹣3a2+3=﹣3a5，
故选A．
【点评】本题考查了单项式的乘法，属于基础题，比较简单，熟记单项式的乘法的法则是解题的关键．

3．（3分）（2015•珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【考点】根的判别式．.
【分析】求出△的值即可判断．
【解答】解：一元二次方程x2+x+=0中，
∵△=1﹣4×1×=0，
∴原方程由两个相等的实数根．
故选B．
点评：[来源:学。科。网]
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

4．（3分）（2015•珠海）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．.
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．
【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，
两枚硬币都是正面朝上的占一种，
所以两枚硬币都是正面朝上的概率=．
故选D．
【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P=．

5．（3分）（2015•珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50
【考点】圆周角定理；垂径定理．.
【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．
【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴=，
∴∠DOB=2∠C=50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
6．（4分）（2015•珠海）若分式有意义，则x应满足　x≠5　．
【考点】分式有意义的条件．.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：要使分式有意义，得
x﹣5≠0，
解得x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不为零分式有意义

7．（4分）（2015•珠海）不等式组的解集是　﹣2≤x＜3　．
【考点】解一元一次不等式组．.
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜3，
不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，
故答案为：﹣2≤x＜3．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

8．（4分）（2015•珠海）填空：x2+10x+　25　=（x+　5　）2．
【考点】完全平方式．.
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，从公式上可知．
【解答】解：∵10x=2×5x，
∴x2+10x+52=（x+5）2．
故答案是：25；5．
【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求熟悉完全平方公式，并利用其特点解题

9．（4分）（2015•珠海）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　3　cm．
【考点】圆锥的计算．.
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：圆锥的底面周长是：=6π．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π．
解得：r=3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

10．（4分）（2015•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为　1　．

【考点】三角形中位线定理．.
专题：
规律型．
【分析】由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．
【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．
故答案为：1
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．

三、解答题（一）（共5小题，每小题6分，共30分）
11．（6分）（2015•珠海）计算：﹣12﹣2+50+|﹣3|．
【考点】实数的运算；零指数幂．.
专题：
计算题．
【分析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1﹣2×3+1+3=﹣1﹣6+1+3=﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（6分）（2015•珠海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．
【考点】分式的化简求值．.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•（x+1）（x﹣1）
=x2+1，
当x=时，原式=（）2+1=3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键

13．（6分）（2015•珠海）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=8，CD=5，则CE=　3　．

【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．.
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：E点即为所求．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE是∠A的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=BA=5，
∴CE=BC﹣BE=3．
故答案为：3．
【点评】考查了作图﹣复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质的知识点．

14．（6分）（2015•珠海）某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一项）”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题：
（1）求本次抽样人数有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.
【分析】（1）根据喜欢跑步的人数是5，所占的百分比是10%，即可求得总人数；
（2）根据百分比的意义喜欢篮球的人数，作图即可；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）本次抽样的人数：5÷10%=50（人）；
（2）喜欢篮球的人数：50×40%=20（人），
如图所示：
；
（3）九年级最喜欢跳绳项目的学生有600×=180（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

15．（6分）（2015•珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【考点】一元二次方程的应用．.
专题：
增长率问题．
【分析】（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；
（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．
【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8　　　　
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
答：增长率为20%；

（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36万元
答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．
【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．

四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2015•珠海）如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
【分析】在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，则CF的长即可求得，然后在直角△CEF中，利用三角函数求得EF的长．
【解答】解：在直角△ABD中，BD===41（米），
则DF=BD﹣OE=41﹣10（米），
CF=DF+CD=41﹣10+40=41+30（米），
则在直角△CEF中，EF=CF•tanα=41+30≈41×1.7+30≈99.7≈100（米）．
答：点E离地面的高度EF是100米．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

17．（7分）（2015•珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．.
【分析】（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；
（2）根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．
【解答】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，
∴2a+b=0；

（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，
∴16a+4b﹣8=0，
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴16a﹣8a﹣8=0，
解得：a=1，则b=﹣2，
∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，
则（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
故方程的另一个根为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出a，b的值是解题关键．

18．（7分）（2015•珠海）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，函数y=的图象过点P（4，3）和矩形的顶点B（m，n）（0＜m＜4）．
（1）求k的值；
（2）连接PA，PB，若△ABP的面积为6，求直线BP的解析式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.
【分析】（1）把P（4，3）代入y=，即可求出k的值；
（2）由函数y=的图象过点B（m，n），得出mn=12．根据△ABP的面积为6列出方程n（4﹣m）=6，将mn=12代入，化简得4n﹣12=12，解方程求出n=6，再求出m=2，那么点B（2，6）．设直线BP的解析式为y=ax+b，将B（2，6），P（4，3）代入，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式．
【解答】解：（1）∵函数y=的图象过点P（4，3），
∴k=4×3=12；

（2）∵函数y=的图象过点B（m，n），[来源:Z。xx。k.Com]
∴mn=12．
∵△ABP的面积为6，P（4，3），0＜m＜4，
∴n（4﹣m）=6，
∴4n﹣12=12，
解得n=6，
∴m=2，
∴点B（2，6）．
设直线BP的解析式为y=ax+b，
∵B（2，6），P（4，3），
∴，解得，
∴直线BP的解析式为y=﹣x+9．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确求出B点坐标是解题的关键．

19．（7分）（2015•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD　=　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】（1）解：由AB=AC，
得∠ABC=ACB．
由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
得DF=AC，∠DFE=∠ACB．
在△ABF和△DBF中，
，
△ABF≌△DBF（SAS），
BD=AF，
故答案为：BD=AF；
（2）证明：如图：
，
MN∥BF，
△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，
=，，
∴MG=HN，MB=NF．
在△BMH和△FNG中，
，
△BMH≌△FNG（SAS），
∴BH=FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．

五、解答题(三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2015•珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组．
（i）求x2+4y2的值；
（ii）求+的值．
【考点】解二元一次方程组．.
专题：
阅读型；整体思想．
【分析】（1）模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；
（2）方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可．
【解答】解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y=19③，
把①代入③得：15+2y=19，即y=2，
把y=2代入①得：x=3，
则方程组的解为；
（2）（i）由①得：3（x2+4y2）=47+2xy，即x2+4y2=③，
把③代入②得：2×=36﹣xy，
解得：xy=2，
则x2+4y2=17；
（ii）∵x2+4y2=17，
∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=17+8=25，
∴x+2y=5或x+2y=﹣5，
则+==±．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．

21．（9分）（2015•珠海）五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．
（1）如图1，求∠EBD的度数；
（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG•HC的值．

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．.
【分析】（1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过Rt△BAE≌Rt△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；
（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE=，求出PF=，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．
【解答】解：（1）如图1，连接BF，
∵DE与⊙B相切于点F，
∴BF⊥DE，
在Rt△BAE与Rt△BEF中，，
∴Rt△BAE≌Rt△BEF，
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EBD=45°；

（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，
∵∠4=15°，
由（1）知，∠3=∠4=15°，
∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，
∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，
∴AE=，BE=，
在△ABE与△PBC中，，
∴△ABE≌△PBC，
∴PB=BE=，
∴PF=，
∵∠P=60°，
∴DF=2﹣，
∴CD=DF=2﹣，[来源:学科网]
∵∠EAG=∠DCH=45°，
∠AGE=∠BDC=75°，
∴△AEG∽△CHD，
∴，
∴AG•CH=CD•AE，
∴AG•CH=CD•AE=（2﹣）•=．

【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

22．（9分）（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；
（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；
（3）过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：
∵=，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴==，
∴DA=6x，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，
当x=10时，代入可得y=，
∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，
∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；
（3）解：
由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，
令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，
∴M（﹣4，0），N（12，0），
过D作DG⊥BC于点G，如图所示，

则DG=DM=DN=8，
∴点M、N即为满足条件的Q点，
∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和抛物线与坐标轴的交点等知识．在（1）中利用折叠的性质得到∠EDB=90°是解题的关键，在（2）中，求得E、F的坐标，求得相应线段的长是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．