2016年黑龙江省绥化市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年黑龙江省绥化市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）今年我国参加高考的考生人数约为940万，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．94×105 B．94×106 C．9.4×106 D．0.94×107
2．（3分）在图形：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；⑤平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（3分）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）当k＞0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　）

A．250米 B．250米 C．米 D．500米
7．（3分）函数y=自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤ B．x≥ C．x D．x＞
8．（3分）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　）
A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2
9．（3分）化简﹣（a+1）的结果是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．（3分）﹣的相反数的倒数是　　．
12．（3分）在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是　　．
13．（3分）如图，AB∥CD∥EF，若∠A=30°，∠AFC=15°，则∠C=　　．

14．（3分）计算：（）﹣3﹣4tan45°+|1﹣|=　　．
15．（3分）将抛物线y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是　　．
16．（3分）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为　　cm．

17．（3分）如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是　　．

18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，则BD=　　（提示：可连接BE）

19．（3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=　　．
20．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE=　　（提示：可过点A作BD的垂线）

三、解答题（共8小题，满分60分）
21．（5分）为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表：
成绩（分）
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
人数
1
2
3
3
6
7
5
8
15
9
11
12
8
6
4

请根据所提供的信息解答下列问题：
（1）样本的中位数是　　分；
（2）频率统计表中a=　　，b=　　；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？

22．（6分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．

23．（6分）某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．
（1）求A、B两种商品的进价分别是多少元？
（2）若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？

24．（8分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D
（1）求证：△BFD∽△ABD；
（2）求证：DE=DB．

25．（8分）自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．
解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　　和　　．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　　．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

26．（8分）周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km）与小芳离家时间x（h）的函数图象．
（1）小芳骑车的速度为　　km/h，H点坐标　　．
（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？
（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？

27．（9分）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

28．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年黑龙江省绥化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2016•绥化）今年我国参加高考的考生人数约为940万，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．94×105 B．94×106 C．9.4×106 D．0.94×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：940万，这个数用科学记数法表示正确的是9.4×106，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．（3分）（2016•绥化）在图形：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；⑤平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：①线段既是轴对称图形又是中心对称图形，
②等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形，
③矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，
④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，
⑤平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是3个．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．（3分）（2016•绥化）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图．

4．（3分）（2016•绥化）当k＞0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据k＞0，判断出反比例函数y=经过一三象限，一次函数y=kx+2经过一二三象限，结合选项所给图象判断即可．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数y=经过一三象限，一次函数y=kx+2经过一二三象限．
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象的知识，解答本题的关键在于通过k＞0判断出函数所经过的象限．

5．（3分）（2016•绥化）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）

A． B． C． D．
【考点】剪纸问题．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．
【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．
故选C．

【点评】本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．

6．（3分）（2016•绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　）

A．250米 B．250米 C．米 D．500米
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有
【分析】在RT△AOB中，由∠AOB=30°可知AB=AO，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB=AO=250米．
故选A．

【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型．

7．（3分）（2016•绥化）函数y=自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤ B．x≥ C．x D．x＞
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】由二次根式的被开方数大于等于0可得2x﹣1≥0，由分式有意义的性质可得2x﹣1≠0，即可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：
由二次根式的被开方数大于等于0可得2x﹣1≥0①，
由分式有意义的性质可得2x﹣1≠0②，
由①②可知x＞，
故选D．
【点评】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．

8．（3分）（2016•绥化）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　）
A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
【分析】根据长方形的周长公式，表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等得出等式即可．
【解答】解：∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30cm，
∴长方形的宽为（15﹣x）cm，
∵这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，
∴x﹣1=15﹣x+2，
故选D．
【点评】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是表示出长方形的宽．

9．（3分）（2016•绥化）化简﹣（a+1）的结果是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】先根据通分法则把原式变形，再根据平方差公式、合并同类项法则计算即可．
【解答】解：原式=﹣
=，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握分式的加减法法则、平方差公式是解题的关键．

10．（3分）（2016•绥化）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；矩形 菱形 正方形．
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD=2，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形DECO为菱形，
∴OD=DE=EC=OC=2，
则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，
故选B
【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．（3分）（2016•绥化）﹣的相反数的倒数是　2016　．
【考点】倒数；相反数．菁优网版权所有
【分析】先求出﹣的相反数是，再求得它的倒数为2016．
【解答】解：﹣的相反数是，的倒数是2016．
故答案为：2016．
【点评】主要考查相反数，倒数的概念及性质．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

12．（3分）（2016•绥化）在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【分析】可以根据画树状图的方法，先画树状图，再求得两次摸到同一个小球的概率．
【解答】解：画树状图如下：

∴P（两次摸到同一个小球）==
故答案为：
【点评】本题主要考查了概率，解决问题的关键是掌握树状图法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

13．（3分）（2016•绥化）如图，AB∥CD∥EF，若∠A=30°，∠AFC=15°，则∠C=　15°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠AFE=30°，由角的和差得到∠CFE=∠AFE﹣∠AFC=15°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠AFE=30°，
∴∠CFE=∠AFE﹣∠AFC=15°，
∵CD∥EF，
∴∠C=∠CFE=15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．熟记平行线的性质是解题的关键．

14．（3分）（2016•绥化）计算：（）﹣3﹣4tan45°+|1﹣|=　3+2　．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】解：原式=8﹣4×1+﹣1
=4+2﹣1
=3+2．
故答案为：3+2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质进而化简是解题关键．

15．（3分）（2016•绥化）将抛物线y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是　y=3（x﹣5）2﹣1　．
【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位所得抛物线解析式为：y=3（x﹣5）2+2；
再向下平移3个单位为：y=3（x﹣5）2﹣1．
故答案为：y=3（x﹣5）2﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

16．（3分）（2016•绥化）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为　16　cm．

【考点】垂径定理．菁优网版权所有
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AB=2AM，已知OA、OM，根据勾股定理求出AM即可．
【解答】解：连接OA，

∵⊙O的直径CD=20cm，
∴OA=10cm，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM==8cm，
∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．

17．（3分）（2016•绥化）如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是　π﹣1　．

【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故答案为π﹣1．
【点评】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．

18．（3分）（2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，则BD=　5　（提示：可连接BE）

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题．
【分析】要求BD的长，根据旋转的性质，只要求出AE的长即可，由题意可得到三角形ABE的形状，从而可以求得AE的长，本题得以解决．
【解答】解：连接BE，如右图所示，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，AB=3，BC=4，∠ABC=30°，
∴∠BCE=60°，CB=CE，AE=BD，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=60°，BE=BC=4，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，
∴AE=，
又∵AE=BD，
∴BD=5，
故答案为：5．

【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

19．（3分）（2016•绥化）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=　1.6×105或160000　．
【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型．
【分析】首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．
【解答】解：∵；；；…
∴；
∴．
故答案为：1.6×105或160000．
【点评】本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．

20．（3分）（2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE=　2　（提示：可过点A作BD的垂线）

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】计算题；解直角三角形及其应用．
【分析】过A作AF⊥BD，交BD于点F，由三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AF为中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可．
【解答】解：过A作AF⊥BD，交BD于点F，
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴AF为BD边上的中线，
∴AF=BD，
∵AB=AD=，
∴根据勾股定理得：BD==2，
∴AF=，
在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，
∴EF=AE，
设EF=x，则有AE=2x，
根据勾股定理得：x2+3=4x2，
解得：x=1，
则AE=2．
故答案为：2

【点评】此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

三、解答题（共8小题，满分60分）
21．（5分）（2016•绥化）为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表：
成绩（分）
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
人数
1
2
3
3
6
7
5
8
15
9
11
12
8
6
4

成绩分组
频数
频率
35≤x＜38
3
0.03
38≤x＜41
a
0.12
41≤x＜44
20
0.20
44≤x＜47
35
0.35
47≤x≤50
30
b
请根据所提供的信息解答下列问题：
（1）样本的中位数是　44.5　分；
（2）频率统计表中a=　12　，b=　0.30　；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．菁优网版权所有
【专题】统计与概率．
【分析】（1）根据题意可知中位数是第50个数和51个数的平均数，本题得以解决；
（2）根据表格和随机抽取了100名学生的成绩，可以求得a、b的值，本题得以解决；
（3）根据（2）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（4）根据表格中的数据可以求得该次大赛中成绩不低于41分的学生人数．
【解答】解：（1）∵随机抽取了100名学生的成绩，
由表格可得，1+2+3+3+6+7+5+8+15=50，50+9+59，
∴中位数为：=44.5，
故答案为：44.5；
（2）由表格可得，a=100×0.12=12，
b=30÷100=0.30，
故答案为：12，0.30；
（3）补全的频数分布直方图如右图所示，
（4）由题意可得，
1200×（0.20+0.35+0.30）=1020（人），
即该次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人．

【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

22．（6分）（2016•绥化）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1•x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．

23．（6分）（2016•绥化）某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．
（1）求A、B两种商品的进价分别是多少元？
（2）若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设A两种商品的进价是a元，B两种商品的进价是b元，根据题意列方程组即可得到结论
（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（100﹣x）件，根据题意了不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设A商品的进价是a元，B商品的进价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A商品的进价是16元，B商品的进价是4元；
（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（100﹣x）件，
根据题意得：16x+4（100﹣x）≤900，
解得：x≤41，∵x为整数，
∴x的最大整数解为41，
∴最多能购进A种商品41件
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．

24．（8分）（2016•绥化）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D
（1）求证：△BFD∽△ABD；
（2）求证：DE=DB．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】（1）先根据内心的性质得出∠BAD=∠CAD，再由圆周角定理得出∠CAD=∠CBD，故可得出∠BAD=∠CBD，进而可得出结论；
（2）连接BE，根据点E是△ABC的内心得出∠ABE=∠CBE．由∠CBD=∠BAD可得出∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD．
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD．
∵∠BDF=∠ADB，
∴△BFD∽△ABD；

（2）证明：连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵∠CBD=∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD．
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，即∠DBE=∠BED，
∴DE=DB．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，利用三角形内心的性质求解是解答此题的关键．

25．（8分）（2016•绥化）自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．
解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　①　和　③　．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　0＜x＜5　．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意容易得出结论；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0，即可得出结果；
（3）设x2﹣2x﹣3=0，解方程得出抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标，画出二次函数y=x2﹣，2x﹣3的大致图象，由图象可知：当x＜﹣1，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5=2x﹣3＞0，即可得出结果．
【解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；
故答案为：①，③；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，
此时y＜0，即x2﹣5x＜0，
∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；
故答案为：0＜x＜5．
（3）设x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=3，x2=﹣1，
∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．
画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示），
由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，
此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0，
∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1，或x＞3．

【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键．

26．（8分）（2016•绥化）周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km）与小芳离家时间x（h）的函数图象．
（1）小芳骑车的速度为　20　km/h，H点坐标　（，20）　．
（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？
（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据函数图中的数据，由小芳从家到甲地的路程和时间可以求出小芳骑车的速度；
（2）先求出直线AB的解析式，再根据直线AB∥CD，求出直线CD的解析式，再求出直线EF的解析式，联立直线CD和直线EF的解析式，求出交点D的坐标即可；
（3）将y=0，分别代入直线CD和直线EF的解析式，分别求出当y=0时候的横坐标，再求出两横坐标的差值即可．
【解答】解：（1）由函数图可以得出，小芳家距离甲地的路程为10km，花费时间为0.5h，
故小芳骑车的速度为：10÷0.5=20（km/h），
由题意可得出，点H的纵坐标为20，横坐标为：+=，
故点H的坐标为（，20）；
（2）设直线AB的解析式为：y1=k1x+b1，
将点A（0，30），B（0.5，20）代入得：y1=﹣20x+30，
∵AB∥CD，
∴设直线CD的解析式为：y2=﹣20x+b2，
将点C（1，20）代入得：b2=40，
故y2=﹣20x+40，
设直线EF的解析式为：y3=k3x+b3，
将点E（，30），H（，20）代入得：k3=﹣60，b3=110，
∴y3=﹣60x+110，
解方程组，得，
∴点D坐标为（1.75，5），
30﹣5=25（km），
所以小芳出发1.75小时后被妈妈追上，此时距家25km；
（3）将y=0代入直线CD解析式有：﹣20x+40=0，
解得x=2，
将y=0代入直线EF的解析式有：﹣60x+110=0，
解得x=，
2﹣=（h）=10（分钟），
故小芳比预计时间早10分钟到达乙地．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于读懂题意，根据函数图所给的信息求出合适的函数解析式并求解．

27．（9分）（2016•绥化）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）证明△ABP≌△BCQ，则∠BAP=∠CBQ，从而证明∠CBQ+∠APB=90°，进而得证；
（2）设MQ=MB=x，则MN=x﹣2．