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2007年辽宁高考文科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．，且，则向量的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
6．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
7．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）
A． B． C． D．
8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．设是两个命题：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．48

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数为奇函数，若，则　　　　．
14．展开式中含的整数次幂的项的系数之和为　　　　（用数字作答）．
15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．
16．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则　　　　．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，900)
[900，1100)
[1100，1300)
[1300，1500)
[1500，1700)
[1700，1900)
[1900，)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率

（I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．

20．（本小题满分12分）
已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．

21．（本小题满分14分）
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

22．（本小题满分12分）
已知函数，，且对任意的实数均有，．
（I）求函数的解析式；
（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．

试题答案与评分参考
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
（1）C（2）A（3）C（4）D（5）B（6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）A
（12）B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。
（13）1（14）72（15）4n （16）2
三、解答题
（17）本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分.
（Ⅰ）解：
分组
［500，900］
［900，1100］
［1100，1300］
［1300，1500］
［1500，1700］
［1700，1900］
［1900，+∞］
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
0.048
0.121
0.208
0.223
0.193
0.165
0.042
……4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500小时的频率为0.6.……8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得
。
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分
（18）本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分12分。
（Ⅰ）证明：连结CD，
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱。
∴CC1⊥平面ABC，
∴CD为C1D在平面ABC内的射影，
∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。
∴AB⊥CD，
∴AB⊥C1D，
∵A1B1∥AB，
∴A1B1⊥C1D。

（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、BC的中点。
∴DE∥AC。
又∵AF∥CE，CE⊥AC，
∴AF⊥DE。
∵MA⊥平面ABC，
∴AF为MF在平面ABC内的射影。
∴MF⊥DE，
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在Rt△MAF中，AF＝,
∴AM=.
作AC⊥MF，垂足为G。

∵MF⊥DE,AF⊥DE,
∴DE⊥平面AMF,
∴平面MDE⊥平面AMF.
∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=,
∴AG=,即A到平面MDE的距离为。
∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,
∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为。
解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF，
∵D、E分别为AB、CB的中点，
DE∥AC,
又∵AF∥CE,CE⊥AC,
∴AF⊥DE,
∵MA⊥平面ABC,
∴AF为MF在平面ABC内的射影，
∴MF⊥DE,
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在Rt△MAF中，AF=BC=,
∴AM=.……8分
设C到平面MDE的距离为h。
∵,
∴,
,
,
，
∴h=，即C到平面MDE的距离为。……12分
19.本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力。满分12分。
（Ⅰ）解： ……5分
由-1≤≤1，得-3≤≤1。
可知函数的值域为［-3,1］.……7分
（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周其为w，又由w＞0，得，即得w=2。
于是有，再由，解得
。
所以的单调增区间为［］
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（Ⅰ）解：由题设得，即

（Ⅱ）解：由题设得，令，则
。
易知{d}是首项，公比为的等比数列，通项公式为
d＝……8分
由于解得
a＝。……10分
求和得
。……12分
（21）本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。
（Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（），（），由题设知
，
解得，
所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。
设圆心C的坐标为（r,0），则，所以圆C的方程为
……4分
解法二：设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知

又因为，可得，即
。
由，可知x1＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上，
设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（），于是有，解得r=4，所以圆C的方程为
。……4分
（Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则
……8分
在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得