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2006年广东高考理科数学真题及答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、函数的定义域是
A. B. C. D.
2、若复数满足方程，则
A. B. C. D.
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

图1
A. B. C. D.
4、如图1所示，是的边上的中点，则向量
A. B.
C. D.
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

图2
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
7、函数的反函数的图像与轴交于点（如图2所示），则方程在上的根是
A.4 B.3 C. 2 D.1

8、已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于

图3

A. B. C. 2 D. 4
9、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是
A. B. C. D.
10、对于任意的两个实数对和，规定：，
当且仅当；运算“”为：
；运算“”为：，设，若，则
A. B. C. D.
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
11、________.
12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
13、在的展开式中，的系数为________.
图4
…
14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.

三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、(本题14分)已知函数.
(I)求的最小正周期；
(II)求的的最大值和最小值；
(III)若，求的值.

16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数的分布如下：

7
8
9
10

0

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
(I)求该运动员两次都命中7环的概率
(II)求的分布列
(III) 求的数学期望.

图5

17、(本题14分)如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.
(I)求二面角的大小；
(II)求直线与所成的角.

18、(本题14分)设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求
(I)求点的坐标；
(II)求动点的轨迹方程.

19、(本题14分)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.
(I)求数列的首项和公比；
(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；
(III)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零.
（注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限）
20、(本题12分)是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，都有.
(I)设 ，证明：
(II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；
(III) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式

2006年广东高考理科数学真题参考答案

第一部分 选择题（50分）
1、函数的定义域是
A. B. C. D.
1、解：由，故选B.
2、若复数满足方程，则
A. B. C. D.
2、由，故选D.
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
4、如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量
A. B.
C. D.
4、，故选A.
5、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
5、①②④正确，故选B.
6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是
A.5 B.4 C. 3 D.2
6、，故选C.
7、函数的反函数的图象与y轴交于点(如图2所示)，则方程的根是
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
7、的根是2，故选C
8、已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于
A. B. C. 2 D.4
8、依题意可知 ，，故选C.
9、在约束条件下，当时，
目标函数的最大值的变化范围是
A. B. C. D.
9、由交点为，
（1） 当时可行域是四边形OABC，此时，
（2） 当时可行域是△OA此时，
故选D.
10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b＝d;运算“”为：，运算“”为：，设，若
则
A. B. C. D.
10、由得,
所以,故选B.
第二部分 非选择题（100分）
二、填空题
11、
11、
12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
12、
13、在的展开式中，的系数为
13、
所以的系数为
14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .
14、10，
三、解答题
15、（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的最大值和最小值；
（Ⅲ）若，求的值.
15解：
（Ⅰ）的最小正周期为;
（Ⅱ）的最大值为和最小值；
（Ⅲ）因为，即,即

16、（本小题满分12分）
某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：
X
0-6
7
8
9
10
Y
0
0.2
0.3
0.3
0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率；
(Ⅱ)求分布列；
(Ⅲ) 求的数学希望.
16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；
(Ⅱ) 的可能取值为7、8、9、10

分布列为

7
8
9
10
P
0.04
0.21
0.39
0.36
(Ⅲ) 的数学希望为.

17、（本小题满分14分）
如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.

17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，

设异面直线BD与EF所成角为，则
直线BD与EF所成的角为

18、（本小题满分14分）
设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐标 ；
(Ⅱ)动点Q的轨迹方程
18解: (Ⅰ)令解得
当时,, 当时, ,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以, 点A、B的坐标为.
(Ⅱ) 设，，
，所以，又PQ的中点在上，所以
消去得
19、（本小题满分14分）
已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.
(Ⅰ)求数列的首项和公比；
(Ⅱ)对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；
(Ⅲ)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得
存在且不等于零.
(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)
19解: (Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,
,即数列的前10项之和为155.
(Ⅲ) ===，
，=
当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=2

20、（本小题满分12分）
A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有 ； ②存在常数，使得对任意的，都有
（Ⅰ）设，证明：
(Ⅱ)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;
(Ⅲ)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式
解：对任意,,,,所以
对任意的，，
，所以0<
,令=，，
所以
反证法:设存在两个使得,则
由，得，所以，矛盾，故结论成立。
，所以

+…