2014年广西省南宁市中考数学试卷（含解析版）.doc

2014年广西省南宁市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，其中只有一是正确的．
1．（3分）(2014年广西南宁）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作（　　）
　 A．﹣3m B．3m C．6m D． ﹣6m
2．（3分）(2014年广西南宁）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．
3．（3分）(2014年广西南宁）南宁东高铁火车站位于南宁青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为267000平方米，其中数据267000用科学记数法表示为（　　）
　 A．26.7×104 B．2.67×104 C．2.67×105 D． 0.267×106
4．（3分）(2014年广西南宁）要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
　 A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D． x≥﹣2
5．（3分）(2014年广西南宁）下列运算正确的是（　　）
　 A．a2•a3=a6 B．（x2）3=x6 C．m6÷m2=m3 D． 6a﹣4a=2
6．（3分）(2014年广西南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（　　）

　 A．40cm B．60cm C．80cm D． 100cm
7．（3分）(2014年广西南宁）数据1，2，3，0，5，3，5的中位数和众数分别是（　　）
　 A．3和2 B．3和3 C．0和5 D． 3和5
8．（3分）(2014年广西南宁）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

　 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
9．（3分）(2014年广西南宁）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打6折，设购买种子数量为x千克，付款金额为y元，则y与x的函数关系的图象大致是（　　）
　A．B．C D．
10．（3分）(2014年广西南宁）如图，已知二次函数y=﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）

　 A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D． ﹣1＜a＜2
11．（3分）(2014年广西南宁）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（　　）

　 A． B． C． D． 2
12．（3分）(2014年广西南宁）已知点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，且A，B两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n），则+的值是（　　）
　 A．﹣10 B．﹣8 C．6 D． 4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）(2014年广西南宁）比较大小：﹣5　 　3（填＞，＜或=）．
14．（3分）(2014年广西南宁）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是　60　°．

15．（3分）(2014年广西南宁）分解因式：2a2﹣6a=　　 　 　．
16．（3分）(2014年广西南宁）第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是　 　．
17．（3分）(2014年广西南宁）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于　　 　海里．

18．（3分）(2014年广西南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为　　 ．

三、解答题：（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
19．（6分）(2014年广西南宁）计算：（﹣1）2﹣4sin45°+|﹣3|+．

20．（6分）(2014年广西南宁）解方程：﹣=1．

四、解答题：（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
21．（8分）(2014年广西南宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

22．（8分）(2014年广西南宁）考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．

五、解答题：（本大题满分8分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
23．（8分）(2014年广西南宁）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．

六、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
24．（10分）(2014年广西南宁）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？

七、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
25．（10分）(2014年广西南宁）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．

八、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
26．（10分）(2014年广西南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

2014年广西省南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，其中只有一是正确的．
1．（3分）(2014年广西南宁）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作（　　）
　 A．﹣3m B．3m C．6m D． ﹣6m
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【解答】解：因为上升记为+，所以下降记为﹣，
所以水位下降3m时水位变化记作﹣3m．
故选：A．
【点评】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

2．（3分）(2014年广西南宁）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．（3分）(2014年广西南宁）南宁东高铁火车站位于南宁青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为267000平方米，其中数据267000用科学记数法表示为（　　）
　 A．26.7×104 B．2.67×104 C．2.67×105 D． 0.267×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于267000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：267 000=2.67×105．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

4．（3分）(2014年广西南宁）要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
　 A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D． x≥﹣2
【考点】二次根式有意义的条件．.
【分析】直接利用二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，
解得：x≥﹣2，
则实数x的取值范围是：x≥﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．

5．（3分）(2014年广西南宁）下列运算正确的是（　　）
　 A．a2•a3=a6 B．（x2）3=x6 C．m6÷m2=m3 D． 6a﹣4a=2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.
【分析】运用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则和合并同类项的方法计算．对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3=a5≠a6错误，
B、（x2）3=x6，正确，
C、m6÷m2=m4≠m3，错误
D、6a﹣4a=2a≠2，错误
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则和合并同类项，是基础题，熟记各性质是解题的关键．

6．（3分）(2014年广西南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（　　）

　 A．40cm B．60cm C．80cm D． 100cm
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．.
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB=160cm，
∴OA=OE=100cm，AM=80cm，
∴OM===60cm，
∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．
故选A．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

7．（3分）(2014年广西南宁）数据1，2，3，0，5，3，5的中位数和众数分别是（　　）
　 A．3和2 B．3和3 C．0和5 D． 3和5
【考点】众数；中位数．.
【分析】根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得答案．
【解答】解：把所有数据从小到大排列：0，1，2，3，3，5，5，位置处于中间的是3，故中位数为3；
出现次数最多的是3和5，故众数为3和5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的概念．

8．（3分）(2014年广西南宁）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

　 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D． 正六边形
【考点】剪纸问题．.
【专题】操作型．
【分析】先求出∠O=60°，再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次进行判断即可得解．
【解答】解：∵平角∠AOB三等分，
∴∠O=60°，
∵90°﹣60°=30°，
∴剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是30°的等腰三角形，
再沿另一折痕展开得到有一个角是30°的直角三角形，
最后沿折痕AB展开得到等边三角形，
即正三角形．
故选A．
【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．

9．（3分）(2014年广西南宁）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打6折，设购买种子数量为x千克，付款金额为y元，则y与x的函数关系的图象大致是（　　）
　A．B．C D．
【考点】函数的图象．.
【分析】根据玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上种子，超过2千克的部分的种子的价格打6折，可知2千克以下付款金额为y元随购买种子数量为x千克增大而增大，超过2千克的部分打6折，y仍随x的增大而增大，不过增加的慢了选择即可．
【解答】解：可知2千克以下付款金额为y元随购买种子数量为x千克增大而增大，超过2千克的部分打6折，y仍随x的增大而增大，不过增加的慢了，
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的图象，关键是分析出分两段，每段y都随x的增大而增大，只不过快慢不同．

10．（3分）(2014年广西南宁）如图，已知二次函数y=﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）

　 A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D． ﹣1＜a＜2
【考点】二次函数与不等式（组）．.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列式即可．
【解答】解：二次函数y=﹣x2+2x的对称轴为直线x=1，
∵﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，
∴a≤1，
∴﹣1＜a≤1．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，求出对称轴解析式并准确识图是解题的关键．

11．（3分）(2014年广西南宁）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（　　）

　 A． B． C． D． 2
【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．.
【分析】由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等（DE=CF，且DE∥CF），即四边形CFDE是平行四边形．如图，过点C作CH⊥AD于点H．利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4，DH=1，则在直角△EHC中利用勾股定理求得CE的长度，即DF的长度．
【解答】证明：如图，在▱ABCD中，∠B=∠D，AB=CD=5，AD∥BC，且AD=BC=8．
∵E是AD的中点，
∴DE=AD．
又∵CF：BC=1：2，
∴DE=CF，且DE∥CF，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∴CE=DF．
过点C作CH⊥AD于点H．
又∵sinB=，
∴sinD===，
∴CH=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得到：DH==3，则EH=4﹣3=1，
∴在Rt△CEH中，由勾股定理得到：EC===，
则DF=EC=．
故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．

12．（3分）(2014年广西南宁）已知点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，且A，B两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n），则+的值是（　　）
　 A．﹣10 B．﹣8 C．6 D． 4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．.
【分析】先根据A、B两点关于y轴对称用m、n表示出点B的坐标，再根据点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上得出mn与m+n的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（m，n），A、B两点关于y轴对称，
∴B（﹣m，n），
∵点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，
∴n=﹣，﹣m﹣4=n，即mn=﹣2，m+n=﹣4，
∴原式===﹣10．
故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）(2014年广西南宁）比较大小：﹣5　＜　3（填＞，＜或=）．
【考点】有理数大小比较．.
【专题】计算题．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可解答；
【解答】解：∵﹣5是负数，3是正数；
∴﹣5＜3；
故答案为＜．
【点评】本题考查了有理数大小的比较，牢记正数大于0，0大于负数，正数大于负数．

14．（3分）(2014年广西南宁）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是　60　°．

【考点】平行线的性质．.
【分析】求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．
【解答】解：
∵∠1=120°，
∴∠3=180°﹣120°=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．

15．（3分）(2014年广西南宁）分解因式：2a2﹣6a=　2a（a﹣3）　．
【考点】因式分解-提公因式法．.
【分析】观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．
【解答】解：2a2﹣6a=2a（a﹣3）．
故答案为：2a（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了因式分解的基本方法一﹣﹣﹣提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．

16．（3分）(2014年广西南宁）第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．.
【专题】计算题．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出选出的2名同学恰好是一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表得：
男 男 女
男 ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男）
男 （男，男） ﹣﹣﹣ （女，男）
女 （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中选出的2名同学恰好是一男一女的情况有4种，
则P==，
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

17．（3分）(2014年广西南宁）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于　10　海里．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．.
【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
【解答】解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，
∴∠CAD=30°=∠ACB，
∴AB=BC=20海里，
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，
∴sin60°=，
∴CD=12×sin60°=20×=10海里，
故答案为：10．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

18．（3分）(2014年广西南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为　a　．

【考点】切线的性质．
【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接OE、OF，由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°

∴OECF是正方形
∵由△ABC的面积可知 ×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF
∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a
∵由切割线定理可得BF2=BH•BG
∴a2=BH（BH+a）
∴BH=a或BH=a（舍去）
∵OE∥DB，OE=OH
∴△OEH∽△BDH
∴=
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．
故答案为a
【点评】考查了切线的性质，本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．

三、解答题：（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
19．（6分）(2014年广西南宁）计算：（﹣1）2﹣4sin45°+|﹣3|+．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=1﹣2+3+2 =4．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

20．（6分）(2014年广西南宁）解方程：﹣=1．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣2=x2﹣4，
去括号得：x2+2x﹣2=x2﹣4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

四、解答题：（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
21．（8分）(2014年广西南宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△PAB如图所示，P（2，0）．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

22．（8分）(2014年广西南宁）考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）利用A“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）用总人数乘以B“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；
（3）用360°乘以“享受美食”所占的百分比计算即可得解；
（4）用总人数乘以“听音乐”所占的百分比计算即可得解．
【解答】解：（1）一共抽查的学生：8÷16%=50人；

（2）参加“体育活动”的人数为：50×30%=15，
补全统计图如图所示：

（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°×=72°；

（4）该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：500×=120人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

五、解答题：（本大题满分8分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
23．（8分）(2014年广西南宁）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由平行线的性质可得：∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：△ADE≌△CFE；
（2）由AB∥FC，可证明△GBD∽△FCF，根据给出的已知数据可求出CF的长，即AD的长，进而可求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥FC，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）；

（2）解：∵AB∥FC，
∴△GBD∽△FCF，
∴GB：GC=BD：CF，
∵GB=2，BC=4，BD=1，
∴2：6=1：CF，
∴CF=3，
∵AD=CF，
∴AB=AD+BD=4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计很好，难度一般．

六、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
24．（10分）(2014年广西南宁）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，”列出不等式组探讨得出答案即可．
【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得
，
解得
答：设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．

（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则10﹣a=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．

七、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
25．（10分）(2014年广西南宁）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）利用ABE≌△EHF求证BE=FH，
（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所 以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，
（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出的长．
【解答】解：（1）BE=FH．
证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，
∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠HEF=∠BAE，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS）
∴BE=FH．

（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，
∵BC=AB，
∴BE=CH，
∴CH=FH，
∴∠HCF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°．

（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=FH．
∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．
如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=CF=FH．

∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，
∴△CPE∽△FHE．
∴，即，
∴EF=4．
∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．
取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，
∴的弧长为：=2π．
【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是直角三角形中三角函数的灵活运用．

八、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．
26．（10分）(2014年广西南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．
【解答】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，
解得：x=﹣1或x=2，
当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2﹣1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF
∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+
当x=时，yP=x2﹣1=﹣．
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，