2014年四川省泸州市中考数学试卷（含解析版）.doc

2014年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.）
1． 5的倒数为（　　）

A．

B．
5
C．

D．
﹣5
3．如图的几何图形的俯视图为（　　）

A．

B．

C．

D．

5．如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）

A．
30°
B．
60°
C．
120°
D．
150°
6．已知实数x、y满足+|y+3|=0，则x+y的值为（　　）

A．
﹣2
B．
2
C．
4
D．
﹣4
7．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（　　）

A．
9cm
B．
12cm
C．
15cm
D．
18cm
8．已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y=的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

9． “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（　　）

10．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）

A．
外切
B．
相交
C．
内含
D．
内切
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）

A．
4
B．

C．

D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.）
13．分解因式：3a2+6a+3=　 ．
14．使函数y=+有意义的自变量x的取值范围是　　 　 　．
15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为　 　．
16．（3分）（2014•泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k=4，则△OEF的面积为；
②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG=，则k=1．
其中正确的命题的序号是　　 　（写出所有正确命题的序号）．

三、（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17．（6分）（2014•泸州）计算：﹣4sin60°+（π+2）0+（）﹣2．

18．（6分）（2014•泸州）计算（﹣）÷．

19．（6分）（2014•泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE=BF．

四、（本大题共1小题，每题7分，共14分）
20．（7分）（2014•泸州）某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；
（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率．

五、（本大题共3小题，每题8分，共16分）
21．（7分）（2014•泸州）某工厂现有甲种原料280千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．

22．（8分）（2014•泸州）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）

23．（8分）（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．

25．（12分）（2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

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2014年四川省泸州市中考数学试卷
　　参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.）
1． 5的倒数为（　　）

A．

B．
5
C．

D．
﹣5
解答：
解：5的倒数是，
故选：A．
点评：
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．计算x2•x3的结果为（　　）

A．
2x2
B．
x5
C．
2x3
D．
x6
解答：
解：原式=x2+3
=x5．
故选：B．
点评：
本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．

3．如图的几何图形的俯视图为（　　）

A．

B．

C．

D．

解答：
解：从上面看：里边是圆，外边是矩形，
故选：C．
点评：
本题考查了简单组合体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

4．某校八年级（2）班5名女同学的体重（单位：kg）分别为35，36，40，42，42，则这组数据的中位数是（　　）

A．
38
B．
39
C．
40
D．
42
解答：
解：题目中数据共有5个，中位数是按从小到大排列后第3个数作为中位数，故这组数据的中位数是40．
故选C．
点评：
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，比较简单．
5．如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）

A．
30°
B．
60°
C．
120°
D．
150°

解答：
解：由等边△ABC得∠C=60°，
由三角形中位线的性质得DE∥BC，
∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，
故选：C．
点评：
本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

6．已知实数x、y满足+|y+3|=0，则x+y的值为（　　）

A．
﹣2
B．
2
C．
4
D．
﹣4

解答：
解：∵+|y+3|=0，
∴x﹣1=0，y+3=0；
∴x=1，y=﹣3，
∴原式=1+（﹣3）=﹣2
故选：A．
点评：
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

7．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（　　）

A．
9cm
B．
12cm
C．
15cm
D．
18cm

解答：
解：圆锥的母线长=2×π×6×=12cm，
故选B．
点评：
本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．
8．已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y=的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

解答：
解：抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，
∴△=（﹣2）2﹣4（m+1）＞0
解得m＜0，
∴函数y=的图象位于二、四象限，
故选：A．
点评：
本题考查了反比例函数图象，先求出m的值，再判断函数图象的位置．

9． “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（　　）

A．
2小时
B．
2.2小时
C．
2.25小时
D．
2.4小时
解答：
解：设AB段的函数解析式是y=kx+b，
y=kx+b的图象过A（1.5，90），B（2.5，170），
，
解得
∴AB段函数的解析式是y=80x﹣30，
离目的地还有20千米时，即y=170﹣20=150km，
当y=150时，80x﹣30=150
x=2.25h，
故选：C．
点评：
本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．

10．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）

A．
外切
B．
相交
C．
内含
D．
内切

解答：
解：∵O1O2=8cm，⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，
∴7s后两圆的圆心距为：1cm，
此时两圆的半径的差为：3﹣2=1cm，
∴此时内切，
故选D．
点评：
本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的移动速度确定两圆的圆心距，然后根据圆心距和两圆的半径确定答案．

11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

解答：
解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴AE∥FG，
∴=，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在RT△BGF和RT△BCF中，

∴RT△BGF≌RT△BCF（HL），
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=BC，
∴====+1．
故选：C．

点评：
本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解..

12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）

A．
4
B．

C．

D．

解答：
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故选B．

点评：
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.）
13．分解因式：3a2+6a+3=　3（a+1）2　．
解答：
解：3a2+6a+3，
=3（a2+2a+1），
=3（a+1）2．
故答案为：3（a+1）2．
点评：
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14．使函数y=+有意义的自变量x的取值范围是　x＞﹣2，且x≠1　．
解答：
解：根据题意得：x+2≥0且（x﹣1）（x+2）≠0，
解得x≥﹣2，且x≠1，x≠﹣2，
故答案为：x＞﹣2，且x≠1．
点评：
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为　4　．
解答：
解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2=32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
S=4×2=4．
点评：
本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．

16．（3分）（2014•泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k=4，则△OEF的面积为；
②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG=，则k=1．
其中正确的命题的序号是　②④　（写出所有正确命题的序号）．

考点：
反比例函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）若k=4，则计算S△OEF=≠，故命题①错误；
（2）如答图所示，若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG=，求出k=1，故命题④正确．
解答：
解：命题①错误．理由如下：
∵k=4，
∴E（，3），F（4，1），
∴CE=4﹣=，CF=3﹣1=2．
∴S△OEF=S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF
=S矩形AOBC﹣OA•AE﹣OB•BF﹣CE•CF
=4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2=12﹣2﹣2﹣=，
∴S△OEF≠，故命题①错误；
命题②正确．理由如下：
∵k=，
∴E（，3），F（4，），
∴CE=4﹣=，CF=3﹣=．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，OM=；
在线段BM上取一点N，使得EN=CE=，连接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN===，
∴BN=OB﹣OM﹣MN=4﹣﹣=．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF===．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命题③错误；
命题④正确．理由如下：
为简化计算，不妨设k=12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y=ax+b，则有
，解得，
∴y=x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=4m+4，∴G（4m+4，0）．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=AD=OD﹣OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG﹣OM=（4m+4）﹣4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=，解得m=，
∴k=12m=1，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：②④，
故答案为：②④．
点评：
本题综合考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．

三、（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17．（6分）（2014•泸州）计算：﹣4sin60°+（π+2）0+（）﹣2．

考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
分析：
本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式=2﹣4×+1+4
=5．
点评：
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

18．（6分）（2014•泸州）计算（﹣）÷．

考点：
分式的混合运算．菁优网版权所有
分析：
首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．
解答：
解：原式=（﹣）•
=（﹣）•（﹣），
=﹣•，
=﹣．
点评：
此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．

19．（6分）（2014•泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE=BF．

考点：
全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案．
解答：
证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC=∠C，AB=BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠ABG+∠FNC=90°，
∴∠BAG=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质．

四、（本大题共1小题，每题7分，共14分）
20．（7分）（2014•泸州）某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；
（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率．

考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：
（1）根据所有等级的百分比的和为1，则可计算出x=30，再利用A等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数为200人，然后分别乘以30%和20%得到B等级和C等级人数，再将条形统计图补充完整；
（2）满足2≤t＜4的人数就是B和C等级的人数，用2500乘以B、C两等级所占的百分比的和即可；
（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图展示所有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，然后利用概率公式求解．
解答：
解：（1）∵x%+15%+10%+45%=1，
∴x=30；
∵调查的总人数=90÷45%=200（人），
∴B等级人数=200×30%=60（人）；C等级人数=200×10%=20（人），
如图：

（2）2500×（10%+30%）=1000（人），
所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数为1000人；

（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图为：
，
共有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，
所以选出的2人来自不同小组的概率==．

点评：
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、列表法与树状图法．

五、（本大题共3小题，每题8分，共16分）
21．（7分）（2014•泸州）某工厂现有甲种原料280千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．

考点：
一次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
（1）根据等量关系：利润=A种产品的利润+B中产品的利润，可得出函数关系式；
（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，可根据等量关系总利润═A种产品的利润+B中产品的利润，可得出函数关系式，然后根据函数的性质确定自变量的取值范围，由函数y随x的变化求出最大利润．
解答：
解：（1）y=700x+1200（50﹣x），
即y=﹣500x+60000；
（2）由题意得，
解得16≤x≤30
y=﹣500x+60000，
y随x的增大而减小，
当x=16时，y最大=58000，
生产B种产品34件，A种产品16件，总利润y有最大值，y最大=58000元．
点评：
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．

22．（8分）（2014•泸州）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）

考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有
分析：
根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN，NC的长进而求出BN即可得出答案．
解答：
解：如图所示：
由题意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，
过点A作AF⊥FD，垂足为F，
则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°，
∴AF=FC=AN=NC，
设AF=FC=x，
∴tan30°===，
解得：x=15（+1），
∵tan30°=，∴=，
解得：BN=15+5，
∴AB=AN+BN=15（+1）+15+5=30+20，
答：灯塔A、B间的距离为（30+20）海里．

点评：
此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键．

23．（8分）（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

考点：
根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；
（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．
解答：
解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，
∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，
解得：m=﹣4或m=6；
当m=﹣4时原方程无解，
∴m=6；

（2）当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，
∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，
解得：m=2，
∴方程变为x2﹣6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形；
当7为腰时，设x1=7，
代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，
解得：m=10或4，
当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，
解得：x=7或15
∵7+7＜15，不能组成三角形；
当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，
解得：x=3或7，
此时三角形的周长为7+7+3=17．
点评：
本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．

六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．

考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC得出结论．
（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明△AFD∽△ACB，得，则可设FD=x，AF=，在Rt△AFP中，求得DF=．
解答：
（1）证明：∵DC2=CE•CA，
∴=，
△CDE∽△CAD，
∴∠CDB=∠DBC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC=CD；

（2）解：如图，连接OC，

∵BC=CD，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AO=CO，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴=，
∵PB=OB，CD=，
∴=
∴PC=4
又∵PC•PD=PB•PA
∴PA=4也就是半径OB=4，
在RT△ACB中，
AC===2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°
∴∠FDA+∠BDC=90°
∠CBA+∠CAB=90°
∵∠BDC=∠CAB
∴∠FDA=∠CBA
又∵∠AFD=∠ACB=90°
∴△AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，
∴在RT△APF中有，，
求得DF=．
点评：
本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．

25．（12分）（2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；
（2）联立y1与y2得，求出点C的坐标为C（，），因此使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；
（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大．
如答图1，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标；
第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标．
如答图2，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，与x轴交于点P．根据轴对称及两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．利用待定系数法求出直线D′E的解析式，进而求出点P的坐标．
解答：
解：（1）∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣，0），
∴，
解得
∴l：y1=x+1；
C′：y2=﹣x2+4x+1．
y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，
∴ymax=5；

（2）联立y1与y2得：x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x=，
当x=时，y1=×+1=，
∴C（，）．
使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，
∴s=1+2+3=6．
代入方程得
解得a=；

（3）∵点D、E在直线l：y1=x+1上，
∴设D（p，p+1），E（q，q+1），其中q＞p＞0．
如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH=（q﹣p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[（q﹣p）]2=（）2，
解得q﹣p=2，即q=p+2．
∴EH=2，E（p+2，p+2）．
当x=p时，y2=﹣p2+4p+1，
∴G（p，﹣p2+4p+1），
∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（p+1）=﹣p2+p；
当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，
∴F（p+2，﹣p2+5）
∴EF=（﹣p2+5）﹣（p+2）=﹣p2﹣p+3．
S四边形DEFG=（DG+EF）•EH=[（﹣p2+p）+（﹣p2﹣p+3）]×2=﹣2p2+3p+3
∴当p=时，四边形DEFG的面积取得最大值，
∴D（，）、E（，）．
如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（，﹣）；

连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．
设直线D′E的解析式为：y=kx+b，
则有，
解得
∴直线D′E的解析式为：y=x﹣．
令y=0，得x=，
∴P（，0）．
点评：
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称﹣最短路线等知识点，涉及考点众多，难度较大．本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第1个最值问题利用二次函数解决，第2个最值问题利用几何性质解决．