2021年高考数学（新高考全国Ⅰ卷）原卷版.pdf

2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型（铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，则（）24Axx 2,3,4,5B AB A.B.C.D.22,33,42,3,42.已知，则（）2iz iz z A.B.C.D.62i42i62i42i3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）2A.2 B.C.4 D.2 24 24.下列区间中，函数单调递增的区间是（）7sin6f xxA.B.C.D.0,2,23,23,225.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）1F2FC22194xyMC12MFMFA.13 B.12 C.9 D.6 6.若，则（）tan2 sin1 sin2sincosA.B.C.D.652525657.若过点可以作曲线的两条切线，则（）,a bexy A.B.C.D.ebaeab0eba0eab8.有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中（1x2xnx1y2ynyiiyxc），c 为非零常数，则（）1,2,inA.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样数据的样本极差相同 10.已知为坐标原点，点，则O1cos,sinP2cos,sinP3cos,sinP1,0A（）A.B.12OPOP12APAPC.D.312OA OPOP OP 123OA OPOP OP 11.已知点在圆上，点，则（）P225516xy4,0A0,2BA.点到直线的距离小于 10 PABB.点到直线的距离大于 2 PABC.当最小时，PBA3 2PB D.当最大时，PBA3 2PB 12.在正三棱柱中，点满足，其中，111ABCABC11ABAAP1BPBCBB 0,10,1则（）A.当时，的周长为定值 11AB PB.当时，三棱锥的体积为定值 11PABCC.当时，有且仅有一个点，使得 12P1APBPD.当时，有且仅有一个点，使得平面 12P1AB 1AB P 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.已知函数是偶函数，则_.322xxxaf xa 14.已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，为上一点，与轴垂直，为OC22ypx0p FPCPFxQ轴上一点，且.若，则的准线方程为_.xPQOP6FQ C15.函数的最小值为_.212lnf xxx 16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长20dm 12dm方形纸，对折 1 次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，10dm 12dm20dm 6dm21240dmS 对 折 2 次 共 可 以 得 到，三 种 规 格 的 图 形，它 们 的 面 积 之 和5dm 12dm10dm 6dm20dm 3dm，以此类推.则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么22180dmS n1nkkS_.2dm 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）已知数列满足，na11a 11,2,nnnanaan为奇数为偶数.（1）记，写出，并求数列的通项公式；2nnba1b2b nb（2）求的前 20 项和.na 18.（12 分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分.己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答 A 类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；XX（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.（12 分）记是 内 角，的 对 边 分 别 为，.已 知，点在 边上，ABCABCabc2bacDAC.sinsinBDABCaC（1）证明：；BDb（2）若，求.2ADDCcosABC 20.（12 分）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.ABCDABD BCDABADOBD（1）证明：；OACD（2）若是边长为 1 的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为OCDEAD2DEEAEBCD，求三棱锥的体积.45ABCD 21.（12 分）在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为.xOy117,0F 217,0FM12|2MFMFMC（1）求的方程；C（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且T12x TCABPQTA TBTP TQ，求直线的斜率与直线的斜率之和.ABPQ 22.（12 分）已知函数.1 lnf xxx（1）讨论的单调性；f x（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.ablnlnbaabab112eab