2016年广西省玉林市、防城港市、崇左市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年广西崇左市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．9的绝对值是（　　）
A．9 B．﹣9 C．3 D．±3
2．sin30°=（　　）
A． B． C． D．
3．今年我们三个市参加中考的考生共约11万人，用科学记数法表示11万这个数是（　　）
A．1.1×103 B．1.1×104 C．1.1×105 D．1.1×106
4．如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．必然事件发生的概率等于0.5
B．5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是98分，众数是95
C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则乙较甲稳定
D．要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法
6．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°
7．关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（　　）
A． B． C．4 D．﹣4
8．抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．关于直线l：y=kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（　　）
A．点（0，k）在l上 B．l经过定点（﹣1，0）
C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限
10．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（　　）

A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能
11．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（　　）

A． B． C． D．1
12．若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点，则有（　　）
A．mn≥﹣9 B．﹣9≤mn≤0 C．mn≥﹣4 D．﹣4≤mn≤0

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡中的横线上．
13．计算：0﹣10=　　　　　　．
14．计算：a2•a4=　　　　　　．
15．要使代数式有意义，则x的最大值是　　　　　　．
16．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2．将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次，则点C经过的路径长是　　　　　　．

17．同时投掷两个骰子，它们点数之和不大于4的概率是　　　　　　．
18．如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论：
①∠1=∠2=22.5°；
②点C到EF的距离是；
③△ECF的周长为2；
④BE+DF＞EF．
其中正确的结论是　　　　　　．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0．

20．化简：（）．

21．如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是　　　　　　；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是　　　　　　．

22．为了了解学校图书馆上个月借阅情况，管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活四类图书借阅情况进行了统计，并绘制了下列不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）上个月借阅图书的学生有多少人？扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少？
（2）把条形统计图补充完整；
（3）从借阅情况分析，如果要添置这四类图书300册，请你估算“科普”类图书应添置多少册合适？

23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径为1，求EF的长．

24．蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．
（1）昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？

青菜
西兰花
进价（元/市斤）
2.8
3.2
售价（元/市斤）
4
4.5
（2）今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？（精确到0.1元）

25．如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

26．如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

2016年广西崇左市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．9的绝对值是（　　）
A．9 B．﹣9 C．3 D．±3
【考点】绝对值．
【分析】根据正数的绝对值等于它本身即可求解．
【解答】解：9的绝对值是9．
故选：A．

2．sin30°=（　　）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
【解答】解：sin30°=．
故选：B．

3．今年我们三个市参加中考的考生共约11万人，用科学记数法表示11万这个数是（　　）
A．1.1×103 B．1.1×104 C．1.1×105 D．1.1×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：11万=1.1×105．
故选：C．

4．如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．
【解答】解：所给图形的俯视图是D选项所给的图形．
故选D．

5．下列命题是真命题的是（　　）
A．必然事件发生的概率等于0.5[来源:学科网ZXXK]
B．5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是98分，众数是95
C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则乙较甲稳定
D．要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法
【考点】命题与定理．
【分析】命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【解答】解：A、必然事件发生的概率等于1，错误；
B、5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是98分，众数是95，正确；
C、射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则甲稳定，错误；
D、要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用全面调查的方法，错误；
故选B

6．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°
【考点】圆周角定理．
【分析】连接AD，构建直角三角形ACD．根据直径所对的圆周角是90°知三角形ACD是直角三角形，然后在Rt△ABC中求得∠BAD=60°；然后由圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）求∠2的度数即可．
【解答】解：如图，连接AD．

∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是90°）；
在Rt△ABC中，∠CAD=90°，∠1=30°，
∴∠DAB=60°；
又∵∠DAB=∠2（同弧所对的圆周角相等），
∴∠2=60°，
故选C．

7．关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（　　）
A． B． C．4 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，
∴，
∴则m2（）===﹣4．
故答案选D．

8．抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；
④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的性质．
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．
【解答】解：抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；
故选：B．

9．关于直线l：y=kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（　　）
A．点（0，k）在l上 B．l经过定点（﹣1，0）
C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限
【考点】一次函数的性质．
【分析】直接根据一次函数的性质选择不正确选项即可．
【解答】解：A、当x=0时，y=k，即点（0，k）在l上，故此选项正确；
B、当x=﹣1时，y=﹣k+k=0，此选项正确；
C、当k＞0时，y随x的增大而增大，此选项正确；
D、不能确定l经过第一、二、三象限，此选项错误；
故选D．

10．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（　　）

A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能
【考点】旋转的性质．
【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．
【解答】解：∵AC=BD=10，
又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴BE=5，AB=BC=5，
由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，
∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，
∴BG==5，
∴BG=AB，
∴点A在△D′E′B的边上，
故选C．

11．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（　　）

A． B． C． D．1
【考点】扇形面积的计算；正多边形和圆．
【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解．
【解答】解：∵正八边形的内角和为（8﹣2）×180°=6×180°=1080°，
正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8﹣1080°=2880°﹣1080°=1800°，
∴==．
故选：B．

12．若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点，则有（　　）
A．mn≥﹣9 B．﹣9≤mn≤0 C．mn≥﹣4 D．﹣4≤mn≤0
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；根的判别式．
【分析】依照题意画出图形，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两者有交点，结合根的判别式即可得出结论．
【解答】解：依照题意画出图形，如下图所示．

将y=mx+6代入y=中，
得：mx+6=，整理得：mx2+6x﹣n=0，
∵二者有交点，
∴△=62+4mn≥0，
∴mn≥﹣9．
故选A．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡中的横线上．
13．计算：0﹣10=　﹣10　．
【考点】有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法，可得答案．
【解答】解：0﹣10=0+（﹣10）=﹣10，
故答案为：﹣10．

14．计算：a2•a4=　a6　．
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．
【解答】解：a2•a4=a2+4=a6．
故答案为：a6．

15．要使代数式有意义，则x的最大值是　　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴1﹣2x≥0，解得x≤，
∴x的最大值是．
故答案为：．

16．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2．将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次，则点C经过的路径长是　　．

【考点】轨迹．
【分析】根据锐角三角函数，可得BC的长，根据线段旋转，可得圆弧，根据弧长公式，可得答案．
【解答】解：由锐角三角函数，得
BC=AB•sin∠A=3，
由旋转的性质，得
是以B为圆心，BC长为半径，旋转了150°，
由弧长公式，得[来源:学科网]
==，[来源:Z,xx,k.Com]
故答案为：．

17．同时投掷两个骰子，它们点数之和不大于4的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意，设第一颗骰子的点数为x，第二颗骰子的点数为y，用（x，y）表示抛掷两个骰子的点数情况，由分步计数原理可得（x，y）的情况数目，由列举法可得其中x+y≤4的情况数目，进而由等可能事件的概率公式计算可得答案．
【解答】解：设第一颗骰子的点数为x，第二颗骰子的点数为y，用（x，y）表示抛掷两个骰子的点数情况，
x、y都有6种情况，则（x，y）共有6×6=36种情况，
而其中点数之和不大于4即x+y≤4的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6种情况，
则其概率为=．
故答案为．

18．如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论：
①∠1=∠2=22.5°；
②点C到EF的距离是；
③△ECF的周长为2；
④BE+DF＞EF．
其中正确的结论是　①②③　．（写出所有正确结论的序号）

【考点】四边形综合题．
【分析】先证明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1=∠2，易得∠1=∠2=∠22.5°，于是可对①进行判断；连结EF、AC，它们相交于点H，如图，利用Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE=DF，则CE=CF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分线的性质定理得到EB=EH，FD=FH，则可对③④进行判断；设BE=x，则EF=2x，CE=1﹣x，利用等腰直角三角形的性质得到2x=（1﹣x），解得x=﹣1，则可对④进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠1=∠2，
∵∠EAF=45°，
∴∠1=∠2=∠22.5°，所以①正确；
连结EF、AC，它们相交于点H，如图，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
而BC=DC，
∴CE=CF，
而AE=AF，
∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，
∴EB=EH，FD=FH，
∴BE+DF=EH+HF=EF，所以④错误；
∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CED+BE+CF+DF=CB+CD=1+1=2，所以③正确；
设BE=x，则EF=2x，CE=1﹣x，
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=CE，即2x=（1﹣x），解得x=﹣1，
∴EF=2（﹣1），
∴CH=EF=﹣1，所以②正确．
故答案为①②③．

三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】分别进行二次根式的化简、乘方、零指数幂等运算，然后合并．
【解答】解：原式=15﹣8﹣1
=6．

20．化简：（）．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分解因式后约分即可．
【解答】解：原式=•
=•
=1．

21．如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是　　；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是　（﹣2a，2b）　．

【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据位似图形可得位似比即可；
（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；
（3）根据三次变换规律得出坐标即可．
【解答】解：（1））△ABC与△A1B1C1的位似比等于===；
（2）如图所示

（3）点P（a，b）为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣2a，2b）．
故答案为：，（﹣2a，2b）．

22．为了了解学校图书馆上个月借阅情况，管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活四类图书借阅情况进行了统计，并绘制了下列不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）上个月借阅图书的学生有多少人？扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少？
（2）把条形统计图补充完整；
（3）从借阅情况分析，如果要添置这四类图书300册，请你估算“科普”类图书应添置多少册合适？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）用借“生活”类的书的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；然后用360°乘以借阅“艺术“的人数所占的百分比得到“艺术”部分的圆心角度；
（2）先计算出借阅“科普“的学生数，然后补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用样本中“科普”类所占的百分比乘以300即可．
【解答】解：（1）上个月借阅图书的学生总人数为60÷25%=240（人）；扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数=360°×=150°；
（2）借阅“科普“的学生数=240﹣100﹣60﹣40=40（人），
条形统计图为：

（3）300×=50，
估计“科普”类图书应添置50册合适．

23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径为1，求EF的长．

【考点】切线的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD=∠COD=60°，再根据切线的性质得∠FDO=90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，
而OA=OC，
∴四边形AOCD是菱形，
∴△OAD和△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∴∠FOB=60°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴∠FDO=90°，
在△FDO和△FBO中
，
∴△FDO≌△FBO，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，
而tan∠FOB=，
∴BF=1×tan60°=．
∵∠E=30°，
∴EF=2BF=2．

24．蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．
（1）昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？

青菜
西兰花
进价（元/市斤）
2.8
3.2
售价（元/市斤）
4
4.5
（2）今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？（精确到0.1元）
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设批发青菜x市斤，西兰花y市斤，根据题意列出方程组，解方程组青菜青菜和西兰花的重量，即可得出老王一共能赚的钱；
（2）设给青菜定售价为a元；根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设批发青菜x市斤，西兰花y市斤；
根据题意得：，[来源:Zxxk.Com]
解得：，
即批发青菜100市斤，西兰花100市斤，
∴100（4﹣2.8）+100（4.5﹣3.2）=120+130=250（元）；
答：当天售完后老王一共能赚250元钱；
（2）设给青菜定售价为a元/市斤；
根据题意得：100（1﹣10%）×（x﹣2.8）+100（4.5﹣3.2）≥250，
解得：x≥4≈4.1；
答：给青菜定售价为不低于4.1元/市斤．

25．如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】（1）根据菱形的性质可得出OA=OC，OD=OB，再由中点的性质可得出OF=OH，结合对顶角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOF≌△COH，从而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依据平行四边形的判定定理即可证出结论；
（2）设矩形EFGH的长为a、宽为b．根据勾股定理及边之间的关系可找出AC=，BD=，利用菱形的性质、矩形的性质可得出∠AOB=∠AGH=90°，从而可证出△BAO∽△CAG，根据相似三角形的性质可得出，套入数据即可得出a=2b①，再根据菱形的面积公式得出a2+b2=80②，联立①②解方程组即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，
∴OA=OC，OD=OB，
∵点O是线段FH的中点，
∴OF=OH．
在△AOF和△COH中，有，
∴△AOF≌△COH（SAS），
∴∠AFO=∠CHO，
∴AF∥CH．
同理可得：DH∥BF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）设矩形EFGH的长为a、宽为b，则AC=．
∵=2，
∴BD=AC=，OB=BD=，OA=AC=．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°．
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠AGH=90°，
∴∠AOB=∠AGH=90°，
又∵∠BAO=∠CAG，
∴△BAO∽△CAG，
∴，即，
解得：a=2b①．
∵S菱形ABCD=AC•BD=••=20，
∴a2+b2=80②．
联立①②得：，
解得：，或（舍去）．
∴矩形EFGH的长为8，宽为4．

26．如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出直线BC解析式为y=﹣x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2，BQ2=n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，则MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），
∴A（﹣1，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴，
∴
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）
∵对于直线BC：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，[来源:学*科*网]
∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；
当h=4时，抛物线顶点落在OB上，
∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），
则2≤h≤4；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），
①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：
∵B（3，0），
∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，BP=PQ，
则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，
在△PQM和△BPN中，，
∴△PQM≌△BPN（AAS），
∴PM=BN，
∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，
∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，
解得：m=1或m=0，
∴P（1，4）或P（0，3）．
②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，
同理可得△PQM≌△BPN，
∴PM=BN，
∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3，
则3+m=m2﹣2m﹣3，
解得m=或．
∴P（，）或（，）．
综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．

2016年8月12日
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