2016福建福州中考数学试题及答案(含答案).doc

2016 年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题
（全卷共4页，三大题，27小题；满分150分；考试时间120分钟）
友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！
毕业学校 姓名 考生号
一、 选择题（共12 小题，每题3分．满分36分；每小题只有一个正确选项）
1．下列实数中的无理数是
第2题
A．0.7 B． C．π D．－8
2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是

[来源:Z&xx&k.Com]

A． B． C． D．
3．如图，直线a、b被直线C所截，∠1和∠2的位置关系是
A．同位角 B．内错角
C．同旁内角 D．对顶角
4．下列算式中，结果等于a6 的是
A．a4＋a2 B．a2＋a2＋a2 C．a4·a2 D．a2·a2·a2
5．不等式组的解集是
A．x＞－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜3
6．下列说法中，正确的是
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是

8．平面宜角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是
A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )
9．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是
A．（sinα，sinα） B．（ cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
10．下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10－x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是
A．平均数，中位数 B．众数，中位数
C．平均数，方差 D．中位数，方差
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
11．已知点A（－l，m），B ( l，m），C ( 2，m＋l）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是

A B C D
12．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是
A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0
二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）
13．分解因式：x2－4＝ ．
14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（，），（－5，－），从中随机选一个点，在反比例函数y＝图象上的概率是 ．
16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上 r下．（填“＞“，”“＝”“＜”)

17．若x＋y＝10，xy＝1 ，则x3y＋xy3＝ ．

18． 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C 都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．

三、解答题（共9 小题，满分90 分）
19．（7分）计算：|－1|－＋(－2016)0 .
20．（7分）化简：a－b－
21．（8分）一个平分角的仪器如图所示，其中AB＝AD，BC＝DC，
求证：∠BAC＝∠DAC .

22．（8分）列方程（组）解应用题：
某班去看演出，甲种票每张24 元，乙种票每张18 元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？
23．（10分）福州市2011～2015年常住人口数统计如图所示．

根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了 万人；
（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 万人；[来源:学科网ZXXK]
（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．

24．（12分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M 为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）当⊙O的半径为2 时，求的长．

25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；
（2）求∠ABD 的度数．[来源:学科网ZXXK]

[来源:学*科*网]

26．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．

27．（13分）已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）经过原点，顶点为A ( h，k ) （h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．

2016年福建省福州市中考数学试卷及答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）
1.下列实数中的无理数是（　　）
A.0.7 B. C.π D.﹣8
【解析】无理数就是无限不循环小数，最典型的就是π，选出答案即可.
∵无理数就是无限不循环小数，
且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为整数，都属于有理数，
π为无限不循环小数，
∴π为无理数.
故选C.
2.如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
【解析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.
人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，
故选C.
3.如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（　　）

A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.对顶角
【解析】根据内错角的定义求解.
直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角.
故选B.
4.下列算式中，结果等于a6的是（　　）
A.a4+a2 B.a2+a2+a2 C.a2•a3 D.a2•a2•a2
【解析】∵a4+a2≠a6，
∴选项A的结果不等于a6；
∵a2+a2+a2=3a2，
∴选项B的结果不等于a6；
∵a2•a3=a5，
∴选项C的结果不等于a6；
∵a2•a2•a2=a6，
∴选项D的结果等于a6.
故选D.
5.不等式组的解集是（　　）
A.x＞﹣1 B.x＞3 C.﹣1＜x＜3 D.x＜3
【解析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集.

解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＞3，
由①②可得，x＞3，
故原不等式组的解集是x＞3.
故选B.
6.下列说法中，正确的是（　　）
A.不可能事件发生的概率为0
B.随机事件发生的概率为
C.概率很小的事件不可能发生
D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
【解析】A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；
B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；
C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误.
故选A.
7.A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（　　）
A. B. C. D.
【解析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断.
表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，
从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段的端点A,B都在原点0的同一侧，
所以可以得出答案为B.
故选B.
8.平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（　　）
A.（﹣2，1） B.（﹣2，﹣1） C.（﹣1，﹣2） D.（﹣1，2）
【解析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标.
∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D和B关于原点对称，
∵B（2，﹣1），
∴点D的坐标是（﹣2，1）.
故选A.
9.如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（　　）

A.（sin α，sin α） B.（cos α，cos α） C.（cos α，sin α） D.（sin α，cos α）
【解析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，
∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选C.

10.下表是某校合唱团成员的年龄分布:
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
A.平均数、中位数 B.众数、中位数
C.平均数、方差 D.中位数、方差
【解析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及按从小到大排列后，第15、16个数据的平均数，可得答案.
由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，
则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为： =14（岁），
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数.
故选B.
11.已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（　　）
A. B. C. D.
【解析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案.
∵点A（﹣1，m），B（1，m），
∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；
∵B（1，m），C（2，m+1），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误.
故选C.
12.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（　　）
A.a＞0 B.a=0 C.c＞0 D.c=0
【解析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可.
∵一元二次方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，
∴ac≤4，且a≠0；
A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；
C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确.
故选D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13.分解因式：x2﹣4=　 .
【解析】直接利用平方差公式进行因式分解即可.
x2﹣4=（x+2）（x﹣2）.
故答案为：（x+2）（x﹣2）.
14.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【解析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围.
若二次根式在实数范围内有意义，则x-1≥0，解得x≥1.
故答案为：x≥1.
15.已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y= 图象上的概率是　　.
【解析】先判断四个点是否在反比例函数y=的图象上，再让在反比例函数y= 图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y= 图象上的概率，依此即可求解.
∵﹣1×1=﹣1，
2×2=4，
×=1，
（﹣5）×（﹣）=1，
∴有2个点在反比例函数y=的图象上，
∴随机选取一个点，在反比例函数y= 图象上的概率是2÷4=.
故答案为：.
16.如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上　　r下.（填“＜”“=”“＜”）

【解析】 如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然.＜.故答案为：＜.

17.若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是　 　.
【解析】可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后将x+y与xy的值代入即可.x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=1×（102﹣2×1）=98.
故答案为：98.
18.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　　.

【解析】如图，连接EA、EC,易知E,C,B三点在一条直线上，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题.如图，连接EA，EC，易知E,C,B三点在一条直线上，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠ABC===.
故答案为.

三、解答题（共9小题，满分90分）
19.计算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0.
【解】|﹣1|﹣+（﹣2016）0
=1﹣2+1
=0.
20.化简：a﹣b﹣.
【解】原式=a﹣b﹣（a+b）
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b.
21.一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC.求证：∠BAC=∠DAC.

【证明】在△ABC和△ADC中，有
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC.
22.列方程（组）解应用题：
某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元.如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？
【解】设甲种票买了x张，乙种票买了y张.
根据题意得
解得
答：甲种票买了20张，乙种票买了15张.
23.福州市2011～2015年常住人口数统计如图所示.
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了　 　万人；
（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是　 　；
（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由.

【解】（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750﹣743=7（万人）；
（2）由图可知2012年增加：×100%≈0.97%，
2013年增加：×100%≈0.96%，
2014年增加：×100%≈1.2%，
2015年增加：×100%≈0.94%，
故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年；
（3）预测2016年福州市常住人口数大约为757万人，
理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数大约为757万人.（答案不唯一）
故答案为：（1）7；（2）2014.　
24.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM.
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长.

【证明】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴=，
∵M为中点，
∴=，
∴+=+，即=，
∴BM=CM.
【解】（2）∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∴的长=×4π=π.
25.如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD.
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数.

【解】（1）∵AB=AC=1，BC=，
∴AD=，DC=1﹣=.
∴AD2==，AC•CD=1×=.
∴AD2=AC•CD.
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，
∴BC2=AC•CD，即.
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB.
∴，∠DBC=∠A.
∴DB=CB=AD.
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC.
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
∴∠ABD=36°.
26.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.

【解】（1）由折叠性质得△ANM≌△ADM，
∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∴∠MAN=∠NAB，
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=.

（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2=AN2+NQ2，
∴（x+1）2=32+x2，
解得x=4，
∴NQ=4，AQ=5，
∵AB=4，AQ=5，
∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=.

（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴
∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示.
由折叠性质得AD=AH，
∵AD=BC，
∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，
∴△ABH≌△BFC（AAS），
∴CF=BH，
由勾股定理得BH===，
∴CF=，
∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣.

27.已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）.
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围.
【解】（1）∵顶点为A（1，2），∴设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，
∵抛物线经过原点，
∴0=a（0﹣1）2+2，
∴a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x.
（2）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线为y=ax2+bx，
∵h=﹣，
∴b=﹣2ah，
∴y=ax2﹣2ahx，
∵顶点为A（h，k），
∴k=ah2﹣2ah2，
∵抛物线y=tx2也经过A（h，k），
∴k=th2，
∴th2=ah2﹣2ah2，
∵h≠0.
∴t=﹣a.
（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，
∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，
∴h=，
∵﹣2≤h＜1，
∴﹣2≤＜1，
①当1+a＞0，即a＞﹣1时，，解得a＞0，
②当1+a＜0，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，
综上所述，a的取值范围是a＞0或a≤﹣.