2016年辽宁省朝阳市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年辽宁省朝阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．（3分）在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．﹣1
2．（3分）“互联网+”已全面进入人们的日常生活，据有关部门统计，目前全国4G用户数达到4.62亿，其中4.62亿用科学记数法表示为（　　）
A．4.62×104 B．4.62×106 C．4.62×108 D．0.462×108
3．（3分）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）方程2x2=3x的解为（　　）
A．0 B． C． D．0，
5．（3分）如图，已知a∥b，∠1=50°，∠2=90°，则∠3的度数为（　　）

A．40° B．50° C．150° D．140°
6．（3分）若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能的是（　　）
A．6 B．3.5 C．2.5 D．1
7．（3分）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A． B．3π C． D．2π
8．（3分）如图，直线y=mx（m≠0）与双曲线y=相交于A（﹣1，3）、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．1.5 C．4.5 D．6
9．（3分）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
10．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
（1）b2﹣4ac＞0；
（2）2a=b；
（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；
（4）3b+2c＜0；
（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．
其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分．
11．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是　　．
12．（3分）已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为　　．
13．（3分）若方程（x﹣m）（x﹣n）=3（m，n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a，b（a＜b），则m，n，a，b的大小关系是　　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA=8，CF=4，则点E的坐标是　　．

15．（3分）通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1=，x2=，于是：x1+x2=，x1•x2=、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为　　．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，tanA=，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，给出如下几个结论：
（1）△AED≌△DFB；
（2）CG与BD一定不垂直；
（3）∠BGE的大小为定值；
（4）S四边形BCDG=CG2；
（5）若AF=2DF，则BF=7GF．
其中正确结论的序号为　　．

三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤，文字说明或证明过程．
17．（5分）（﹣1）2016+2•cos60°﹣（﹣）﹣2+（）0．

18．（6分）先化简，再求值：，请你从﹣1≤x＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值．

19．（7分）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．

20．（7分）如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在A处测得某无名小岛C在北偏东60°方向上，前进2海里到达B点，此时测得无名小岛C在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据：）

21．（8分）为全面开展“大课间”活动，某校准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体工处根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）m=　　，n=　　，并将条形统计图补充完整；
（2）试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？
（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．

22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心的半圆经过A、D两点，交AB于E，连接OC交AD于点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OF：FC=2：3，CD=3，求BE的长．

23．（9分）为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．
（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

24．（10分）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．
【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；
【拓展】（2）如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．

25．（12分）如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．

2016年辽宁省朝阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．（3分）（2016•朝阳）在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．﹣1
【解析】|﹣3|=3，||=，|0|=0，|2|=2，|﹣1|=1，
∵3＞2＞＞1＞0，
∴绝对值最小的数是0，
故选：B．

2．（3分）（2016•朝阳）“互联网+”已全面进入人们的日常生活，据有关部门统计，目前全国4G用户数达到4.62亿，其中4.62亿用科学记数法表示为（　　）
A．4.62×104 B．4.62×106 C．4.62×108 D．0.462×108
【解析】将4.62亿用科学记数法表示为：4.62×108．
故选：C．

3．（3分）（2016•朝阳）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解析】根据题意的主视图为：，
故选B

4．（3分）（2016•朝阳）方程2x2=3x的解为（　　）
A．0 B． C． D．0，
【解析】方程整理得：2x2﹣3x=0，
分解因式得：x（2x﹣3）=0，
解得：x=0或x=，
故选D

5．（3分）（2016•朝阳）如图，已知a∥b，∠1=50°，∠2=90°，则∠3的度数为（　　）

A．40° B．50° C．150° D．140°
【解析】作c∥a，
∵a∥b，
∴c∥b．
∴∠1=∠5=50°，
∴∠4=90°﹣50°=40°，
∴∠6=∠4=40°，
∴∠3=180°﹣40°=140°．
故选D．

6．（3分）（2016•朝阳）若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能的是（　　）
A．6 B．3.5 C．2.5 D．1
【解析】（1）将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，4，5，x，
处于中间位置的数是4，
∴中位数是4，
平均数为（2+3+4+5+x）÷5，
∴4=（2+3+4+5+x）÷5，
解得x=6；符合排列顺序；
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，4，x，5，
中位数是4，
此时平均数是（2+3+4+5+x）÷5=4，
解得x=6，不符合排列顺序；
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，x，4，5，
中位数是x，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=x，
解得x=3.5，符合排列顺序；
（4）将这组数据从小到大的顺序排列后2，x，3，4，5，
中位数是3，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，
解得x=1，不符合排列顺序；
（5）将这组数据从小到大的顺序排列后x，2，3，4，5，
中位数是3，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，
解得x=1，符合排列顺序；
∴x的值为6、3.5或1．
故选C．

7．（3分）（2016•朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A． B．3π C． D．2π
【解析】n边形的内角和（n﹣2）×180°，
圆形的空白部分的面积之和S==π=π=π．
所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣π=5π﹣π=π．
故选：C．

8．（3分）（2016•朝阳）如图，直线y=mx（m≠0）与双曲线y=相交于A（﹣1，3）、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．1.5 C．4.5 D．6
【解析】∵直线y=mx（m≠0）与双曲线y=相交于A（﹣1，3），
∴﹣m=3，，
∴m=﹣3，n=﹣3，
∴直线的解析式为：y=﹣3x，双曲线的解析式为：y=﹣
解方程组 得：，
则点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（1，﹣3）
∴点C的坐标为（1，0）
∴S△ABC=×1×（3+3）=3
故：选A

9．（3分）（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠ADB，
∵∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC=∠ADB，
∵∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA，
∴=，
∴=，
∴BD=9，
∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，
故选B．

10．（3分）（2016•朝阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
（1）b2﹣4ac＞0；
（2）2a=b；
（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；
（4）3b+2c＜0；
（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．
其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】（1）由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴（1）正确；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴2a=b，
∴（2）正确；
（3）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点（，y3）在抛物线上，
∴（﹣，y3）．
∵﹣＜﹣＜﹣，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，
∴y1＜y3＜y2．
∴（3）错误；
（4）∵当x=﹣3时，y=9a﹣3b+c＜0，且b=2a，
∴9a﹣3×2a+c=3a+c＜0，
∴6a+2c=3b+2c＜0，
∴（4）正确；
（5）∵b=2a，
∴方程at2+bt+a=0中△=b2﹣4a•a=0，
∴抛物线y=at2+bt+a与x轴只有一个交点，
∵图中抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴y=at2+bt+a≤0，
即at2+bt≤﹣a=a﹣b．
∴（5）正确．
故选C．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分．
11．（3分）（2016•朝阳）函数y=的自变量x的取值范围是　x≥2且x≠3　．
【解析】由题意得，，
解得x≥2且x≠3，
故答案为x≥2且x≠3．

12．（3分）（2016•朝阳）已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为　（1，2）或（﹣1，﹣2）　．
【解析】∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，
∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），
故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．

13．（3分）（2016•朝阳）若方程（x﹣m）（x﹣n）=3（m，n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a，b（a＜b），则m，n，a，b的大小关系是　a＜m＜n＜b　．
【解析】
∵（x﹣m）（x﹣n）=3，
∴可得或，
∵m＜n，
∴可解得x＞n或x＜m，
∵方程的两根为a和b，
∴可得到a＞n或a＜m，b＞n或b＜m，
又a＜b，综合可得a＜m＜n＜b，
故答案为：a＜m＜n＜b．

14．（3分）（2016•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA=8，CF=4，则点E的坐标是　（﹣10，3）　．

【解析】设CE=a，则BE=8﹣a，
由题意可得，EF=BE=8﹣a，
∵∠ECF=90°，CF=4，
∴a2+42=（8﹣a）2，
解得，a=3，
设OF=b，
∵△ECF∽△FOA，
∴，
即，得b=6，
即CO=CF+OF=10，
∴点E的坐标为（﹣10，3），
故答案为（﹣10，3）．

15．（3分）（2016•朝阳）通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1=，x2=，于是：x1+x2=，x1•x2=、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为　﹣1　．
【解析】∵x1，x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根，
∴△=k2﹣4（k+1）≥0，且x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，
解得：k≤2﹣2或k≥2+2，
又∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣x1x2=1，
∴（﹣k）2﹣（k+1）=1，即k2﹣k﹣2=0，
解得：k=﹣1或k=2（舍），
故答案为：﹣1．

16．（3分）（2016•朝阳）如图，在菱形ABCD中，tanA=，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，给出如下几个结论：
（1）△AED≌△DFB；
（2）CG与BD一定不垂直；
（3）∠BGE的大小为定值；
（4）S四边形BCDG=CG2；
（5）若AF=2DF，则BF=7GF．
其中正确结论的序号为　（1）（3）（4）（5）　．

【解析】（1）∵ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
在△AED和△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB，故本小题正确；

（2）当点E，F分别是AB，AD中点时（如图1），
由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC与△BGC中，
，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；

（3）∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°，故本选项正确．

（4）∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．（如图2）
则△CBM≌△CDN，（AAS）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，
S四边形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=CG，CM=CG，
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，故本小题正确；

（5）过点F作FP∥AE于P点．（如图3）
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即BG=6GF，
∴BF=7GF，故本小题正确．
综上所述，正确的结论有（1）（3）（4）（5）．
故答案为：（1）（3）（4）（5）．

三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤，文字说明或证明过程．
17．（5分）（2016•朝阳）（﹣1）2016+2•cos60°﹣（﹣）﹣2+（）0．
【解析】原式=1+2×﹣4+1
=1+1﹣4+1
=﹣1．

18．（6分）（2016•朝阳）先化简，再求值：，请你从﹣1≤x＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值．
【解析】原式=÷=•=，
由﹣1≤x＜3，x为整数，得到x=﹣1，0，1，2，
经检验x=﹣1，0，1不合题意，舍去，
则当x=2时，原式=4．

19．（7分）（2016•朝阳）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
【解析】设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．
根据题意，得（x﹣3）（500﹣10×）=800，
解得x1=7，x2=5．
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%．即x≤6．
∴x=5．
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．

20．（7分）（2016•朝阳）如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在A处测得某无名小岛C在北偏东60°方向上，前进2海里到达B点，此时测得无名小岛C在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据：）

【解析】作CD⊥AB于D，
根据题意，∠CAD=30°，∠CBD=45°，
在Rt△ACD中，AD==CD，
在Rt△BCD中，BD==CD，
∵AB=AD﹣BD，
∴CD﹣CD=2（海里），
解得：CD=+1≈2.732＞2.5，
答：渔船继续追赶鱼群没有触礁危险．

21．（8分）（2016•朝阳）为全面开展“大课间”活动，某校准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体工处根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）m=　25　，n=　108　，并将条形统计图补充完整；
（2）试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？
（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．

【解析】（1）调查的总人数=15÷15%=100（人），
所以m%=×100%=25%，即m=25，
参加跳绳活动小组的人数=100﹣30﹣25﹣15=30（人），
所以n°=×360°=108°，即n=108，
如图，

故答案为：25，108；
（2）2000×=600，
所以全校2000人中，大约有600人报名参加足球活动小组；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8，
所以恰好选中一男一女两名同学的概率==．

22．（8分）（2016•朝阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心的半圆经过A、D两点，交AB于E，连接OC交AD于点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OF：FC=2：3，CD=3，求BE的长．

【解析】（1）BC是⊙O的切线，
理由：如图，

连接OD，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠DOE=2∠BAD，
∴∠DOE=∠BAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
（2）如图2，

连接OD，
由（1）知，OD∥AC，
∴，
∵，
∴，
∵OD∥AC，
∴，
∴
∵CD=3，
∴DB=6，
过点D作DH⊥AB，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠ACB=90°，
∴DH=CD=3，
在Rt△BDH中，DH=3，BD=6，
∴sin∠B==，
∴∠B=30°，BO===4，
∴∠BOD=60°，
在Rt△ODB中，sin∠DOH=，
∴，
∴OD=2，
∴BE═OB﹣OE=OB﹣OD=4﹣2=2．

23．（9分）（2016•朝阳）为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．
（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

【解析】（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），
设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+3.2，
将点C（0，1.8）代入，得：49a+3.2=1.8，
解得：a=﹣，
∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣（x﹣7）2+；

（2）由题意当x=9.5时，y=﹣（9.5﹣7）2+≈3.02＜3.1，
故这次她可以拦网成功；

（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+h，
将点C（0，1.8）代入，得：49a+h=1.8，即a=，
∴此时抛物线解析式为y=（x﹣7）2+h，
根据题意，得：，
解得：h≥3.025，
答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．

24．（10分）（2016•朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．
【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；
【拓展】（2）如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．
【解析】（1）如图1，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，

∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE，
∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°，
∴△APD为等边三角形，
∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°，
∴∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．
∴PA+PB+PC的值最小．

（2）如图，分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，

∴AB=DB、BE=BC=8、∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
∵，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD=AE、∠BAE=∠BDC，
又∵∠AOP=∠BOD，
∴∠APO=∠OBD=60°，
在DO上截取DQ=AP，连接BQ，
在△ABP和△DBQ中，
∵，
∴△ABP≌△DBQ（SAS），
∴BP=BQ，∠PBA=∠QBD，
又∵∠QBD+∠QBA=60°，
∴∠PBA+∠QBA=60°，即∠PBQ=60°，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PB=PQ，
则PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE，
在Rt△ACE中，∵AC=6、CE=8，
∴AE=CD=10，
故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10．

25．（12分）（2016•朝阳）如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．

【解析】（1）如图1，把T（1，﹣）代入抛物线y=（x﹣2）（x+a）得：
﹣=（1﹣2）（1+a），
解得：a=4，
∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2；
（2）当x=0时，y=×（﹣2）×a=﹣2，
∴C（0，﹣2），
当y=0时，（x﹣2）（x+a）=0，
x1=2，x2=﹣a，
∴A（﹣a，0）、B（2，0），
如图2，过D作DE⊥x轴于E，
设D（m，n），
∵点D在第二象限，∠DAB为钝角，
∴分两种情况：
①如图2，当△BDA∽△ABC时，∠BAC=∠ABD，
∴tan∠BAC=tan∠ABD，即，
∴，
n=，
则，
解得：m=﹣2﹣a或2，
∴E（﹣2﹣a，0），
由勾股定理得：AC=，
∵，
∴==，
BD=，
∵△BDA∽△ABC，
∴，
∴AB2=AC•BD，
即（a+2）2=•，
解得：0=16，此方程无解；
②当△DBA∽△ABC时，如图3，∠ABC=∠ABD，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴OB=OC=2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
有BC=2，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠ABC=∠ABD=45°，
∴DE=BE，
n=﹣m+2，
∴BD=，
∵△DBA∽△ABC，
∴，
∴AB2=BD•BC，
∴（a+2）2=•2=4n，
则，
解得：，
则a=2+2；
（3）当x=6时，y=（6﹣2）（6+4）=10，
∴Q（6，10），
如图4，作P关于x轴的对称点P′，过P′作P′G∥x轴，且P′G=2，连接GQ交x轴于N，过P′作P′M∥GN，交x轴于M，
此时，QG就是MP+NQ的最小值，由于PQ、NM为定值，所以此时，四边形PMNQ的周长最小，
∵P（﹣1，1），
∴P′（﹣1，﹣1），
∵P′G∥MN，P′M∥GN，
∴四边形P′GNM是平行四边形，
∴MN=P′G=2，NG=P′M=PM，
∴G（1，﹣1），
设GQ的解析式为：y=kx+b，
把G（1，﹣1）和Q（6，10）代入得：，
解得：，
∴GQ的解析式为：y=x﹣，
当y=0时，x=，
∴N（，0），
∵MN=2，
∴M（﹣，0）．

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