2005年重庆高考文科数学真题及答案.doc

2005年重庆高考文科数学真题及答案

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
2． （ ）
A． B． C． D．
3．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得
的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．（－2，2）
4．设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于 （ ）
A．（1，1） B．（－4，－4） C．－4 D．（－2，－2）
5．不等式组的解集为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知均为锐角，若的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．对于不重合的两个平面，给定下列条件：
①存在平面，使得α、β都垂直于；
②存在平面，使得α、β都平等于；
③存在直线，直线，使得；
④存在异面直线l、m，使得
其中，可以判定α与β平行的条件有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
9．若动点在曲线上变化，则的最大值为 （ ）
A． B．
C． D．
10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所
示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面
各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形
的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则
该塔形中正方体的个数至少是 （ ）

A．4 B．5
C．6 D．7

第二部分（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
11．若集合，则
.
12．曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 .
13．已知均为锐角，且 .
14．若的最大值是 .
15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .
16．已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平
分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分13分）
若函数的最大值为，试确定常数a
的值.

18．（本小题满分13分）
加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为、、，
且各道工序互不影响.
（Ⅰ）求该种零件的合格率；
（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的
概率.

19．（本小题满分13分）
设函数R.
（1）若处取得极值，求常数a的值；
（2）若上为增函数，求a的取值范围.

20．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上
一点，PE⊥EC. 已知求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.

21．（本小题满分12分）
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其
中O为原点）. 求k的取值范围.

22．（本小题满分12分）
数列记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和

参考答案

一、选择题：每小题5分，满分50分.
1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.B 7.B 8.A 9.A 10.C
二、填空题：每小题4分，满分24分.
11． 12． 13．1 14． 15． 16．
三、解答题：满分76分.
17．（本小题13分）
解：

因为的最大值为的最大值为1，则
所以
18．（本小题13分）
（Ⅰ）解：；
（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为，由独立重复试验的概率公式得：
恰好取到一件合格品的概率为 ，
至少取到一件合格品的概率为
解法二：
恰好取到一件合格品的概率为，
至少取到一件合格品的概率为
19．（本小题13分）
解：（Ⅰ）
因取得极值， 所以 解得
经检验知当为极值点.
（Ⅱ）令
当和上为增
函数，故当上为增函数.
当上为增函
数，从而上也为增函数.
综上所述，当上为增函数.
20．（本小题13分）
解法一：

（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE
是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知
EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.
设DE=x，因△DAE∽△CED，故（负根舍去）.
从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.
（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，
故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.
因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.
因此∠EHG为二面角的平面角.
在面PDC中，PD=，CD=2，GC=
因△PDC∽△GHC，故，
又

故在
即二面角E—PC—D的大小为
解法二：
（Ⅰ）以D为原点，、、分别为x、y、
z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，
C（0，2，0）设
由，
即 由，
又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得，故异面直线PD、
CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由得
即作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），
则
由，
又由F在PC上得
因故平面E—PC—D的平面角的大小为向量的夹角.
故 即二面角E—PC—D的大小为
21．（本小题12分）
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ① 设，则

而

于是
②
由①、②得
故k的取值范围为
22．（本小题12分）解法一：
（I）

（II）因，

故猜想
因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）

故的等比数列.
,

解法二：
（Ⅰ）由
整理得

（Ⅱ）由
所以

解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）

从而