2016年福建省莆田市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年福建省莆田市中考数学试卷
一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1．的绝对值是（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
2．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣a=0 B．a•a2=a3 C．a4÷a3=a2 D．（a3）2=a5
3．一组数据3，3，4，6，8，9的中位数是（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
4．图中三视图对应的几何体是（　　）
A． B． C． D．
5．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）

A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
7．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（　　）

A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支

二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分
11．莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达217000米，用科学记数法表示217000为______．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是______．
13．已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2=______．

14．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为______人．

15．如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则的长为______（结果保留π）．

16． 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．若图中BF=1，CF=2，则AE的长为______．

三、耐心做一张：本大题共10小题，共86分
17．计算：|﹣3|﹣+．

18．先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣1．

19．解不等式组：．

20．小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）

21．在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率．

22．甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h
（1）求甲车的速度；
（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．

23．如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：EF2=4BP•QP．

24．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

25．若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，各边上的高分别记为ha，hb，hc，各边上的内接正方形的边长分别记为xa，xb，xc
（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证： +=；
（2）特殊应用：若∠BAC=90°，xb=xc=2，求+的值；
（3）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断xb与xc的大小，并说明理由．

26．如图，抛物线C1：y=﹣x2+2x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．
（1）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；
（2）将抛物线C1上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足S△PAC=S△ABC，且∠APC=90°．
①当k＞1时，求k的值；
②当k＜﹣1时，请直接写出k的值，不必说明理由．

2016年福建省莆田市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1．的绝对值是（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣的绝对值是．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣a=0 B．a•a2=a3 C．a4÷a3=a2 D．（a3）2=a5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘除法和幂的乘方分别计算即可得出答案．
【解答】解：
A、3a﹣2a=a，故A不正确；
B、a•a2=a3，故B正确；
C、a4÷a3=a，故C不正确；
D、（a3）2=a6，故D不正确；
故选B．
【点评】本题主要考查幂的运算，掌握同底数幂的运用性质是解题的关键．

3．一组数据3，3，4，6，8，9的中位数是（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【考点】中位数．
【专题】统计与概率．
【分析】根据题目中的数据，可以求得这组数据的中位数．
【解答】解：数据3，3，4，6，8，9的中位数是： =5，
故选B．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是明确中位数的定义，可以将一组数据按照从小到大的顺序排列，找出这组数据的中位数．

4．图中三视图对应的几何体是（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图可判断出此上面是圆柱体，由此即可得出结论．
【解答】解：由主视图可以推出这个几何体是上下两个大小不同柱体，
从主视图推出这两个柱体的宽度相同，
从俯视图推出上面是圆柱体，直径等于下面柱体的宽．
由此可以判断对应的几何体是C．
故选C．
【点评】不同考查三视图，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．

5．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．
【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．
【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选D．
【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．

6．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）

A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定．
【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC=OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC=PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

7．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=a2+4＞0，
∴，方程有两个不相等的两个实数根．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

8．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
【考点】旋转对称图形．
【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．
【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；
B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；
C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；
D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．
【分析】由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠A=∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴∠EDF=∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，
∴∠CDE=∠BFD．
又∵AE=DE=3，
∴CE=4﹣3=1，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE==．
故选：A．
【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识来解决问题．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（　　）

A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【分析】按照给定的作图步骤作图，根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线．
【解答】解：根据作图步骤作图，如图所示．
由此即可得出该曲线为抛物线．
故选B/

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、线段的垂直平分线的性质以及基本作图，解题的关键是按照给定的作图步骤完成作图．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各曲线的图形是关键．

二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分
11．莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达217000米，用科学记数法表示217000为　2.17×105　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将217000用科学记数法表示为：217000=2.17×105．
故答案为：2.17×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是　（2，2）　．
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】将点P的横坐标加3，纵坐标不变即可求解．
【解答】解：点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是（﹣1+3，2），即（2，2）．
故答案为（2，2）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

13．已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2=　53°　．

【考点】平行线的性质．
【分析】首先作平行线，然后根据平行线的性质可得到∠1+∠2=90°，据此求出∠2的度数．
【解答】解：作直线AB∥a，
∵a∥b
∴AB∥a∥b，
∵AB∥a，
∴∠1=∠3，
∵AB∥b，
∴∠2=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=37°，
∴∠2=90°﹣37°=53°，
故答案为53°．

【点评】本题考查了平行线的性质，构成直线AB∥a是解题的关键，熟练掌握两直线平行，内错角相等．

14．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为　480　人．

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】首先由第二小组有10人，占20%，可求得总人数，再根据各小组频数之和等于数据总数求得第四小组的人数，利用总人数260乘以样本中“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数所占的比例即可求解．
【解答】解：总人数是：10÷20%=50（人），
第四小组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4=10，
所以该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：×1200=480，
故答案为：480．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

15．如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则的长为　π　（结果保留π）．

【考点】弧长的计算；垂径定理．
【分析】连接AC，由垂径定理的CE=DE，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD，由等腰三角形的性质得到∠CAB=∠DAB=30°，由圆周角定理得到∠COB=60°，根据弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
∵CD为⊙O的弦，AB是⊙O的直径，
∴CE=DE，
∵AB⊥CD，
∴AC=AD，
∴∠CAB=∠DAB=30°，
∴∠COB=60°，
∴的长==π，
故答案为：π．

【点评】本题考查的是垂径定理，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．

16． 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．若图中BF=1，CF=2，则AE的长为　3　．

【考点】勾股定理的证明．
【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形．
【分析】由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．
【解答】解：∵BF=1，CF=2，
∴BC=BF+CF=1+2=3，
∵AB∥EC，
∴=，即=，
解得：CE=6，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC+CE=3+6=9，
根据勾股定理得：AE==3，
故答案为：3
【点评】此题考查了勾股定理的证明，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

三、耐心做一张：本大题共10小题，共86分
17．计算：|﹣3|﹣+．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】计算题．
【分析】根据绝对值、算术平方根和零指数幂的意义计算．
【解答】解：原式=3﹣﹣4+1
=﹣．
【点评】本题考查了绝对值的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．注意零指数幂的意义．

18．先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先把x2﹣4分解因式和除法运算化为乘法运算，再约分后进行同分母的减法运算得到原式=，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=﹣•（x+2）
=﹣
=
=，
当x=﹣1时，原式==﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

19．解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可．
【解答】解：．
由①得x≤1；
由②得x＜4；
所以原不等式组的解集为：x≤1．
【点评】考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

20．小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过点O作OE⊥AB，根据等腰三角形的性质求得∠OAB，再在Rt△AEO中，利用三角函数sin∠OAB=，求得OE，即可作出判断．
【解答】证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA=OB，∠AOB=62°，
∴∠OAB=∠OBA=59°，
在Rt△AEO中，OE=OA•sin∠OAB
=140×sin59°
≈140×0.86
=120.4，
∵120.4＜122，
∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形和三角函数的定义的综合运用．

21．在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率．

【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用．
【分析】列出得出所有等可能的情况数，找出抽取2张牌的数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：

3
4
5
6
3
﹣﹣﹣﹣
（4，3）
（5，3）
（6，3）
4
（3，4）
﹣﹣﹣﹣
（5，4）
（6，4）
5
（3，5）
（4，5）
﹣﹣﹣﹣
（6，5）
6
（3，6）
（4，6）
（5，6）
﹣﹣﹣﹣
所有等可能的情况数有12种，抽取2张牌的数字之和为偶数的有4种，
则P==．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．

22．甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h
（1）求甲车的速度；
（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．

【考点】分式方程的应用；函数的图象．
【专题】方程与不等式．
【分析】（1）根据函数图象可知甲2小时行驶的路程是（280﹣120）km，从而可以求得甲的速度；
（2）根据第（1）问中的甲的速度和甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，可以列出分式方程，从而可以求得a的值．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为： =80km/h，
即甲车的速度是80km/h；
（2）相遇时间为： =2h，
由题意可得， =，
解得，a=75，
经检验，a=78是原分式方程的解，
即a的值是75．
【点评】本题考查分式方程的应用、函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

23．如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：EF2=4BP•QP．

【考点】切线的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接OE，AE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=∠AEC=90°，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB是⊙O的直径，得到∠AQB=90°根据相似三角形的性质得到∴PA2=PB•PQ，根据全等三角形的性质得到PF=PE，求得PA=PE=EF，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OE，AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴PA=PC，
∴PA=PC=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OEP=∠OAC=90°，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AQB=90°，
∴△APQ∽△BPA，
∴，
∴PA2=PB•PQ，
在△AFP与△CEP中，，
∴△AFP≌△CEP，
∴PF=PE，
∴PA=PE=EF，
∴EF2=4BP•QP．

【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，根据AAS证明△AMC≌△BMD，那么S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k=6；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为（3，2）．再分两种情况进行讨论：①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．根据AAS证明△PGE≌△FHP，进而求出E点坐标；②如图3，同理求出E点坐标．
【解答】解：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，
则∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD，MC=MD，
∴△AMC≌△BMD，
∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，
∴k=6；

（2）存在点E，使得PE=PF．
由题意，得点P的坐标为（3，2）．
①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．
∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，
∴△PGE≌△FHP，
∴PG=FH=2，FK=OK=3﹣2=1，GE=HP=2﹣1=1，
∴OE=OG+GE=3+1=4，
∴E（4，0）；
②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．
∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，
∴△PGE≌△FHP，
∴PG=FH=2，FK=OK=3+2=5，GE=HP=5﹣2=3，
∴OE=OG+GE=3+3=6，
∴E（6，0）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，有一定难度．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．

25．若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，各边上的高分别记为ha，hb，hc，各边上的内接正方形的边长分别记为xa，xb，xc
（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证： +=；
（2）特殊应用：若∠BAC=90°，xb=xc=2，求+的值；
（3）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断xb与xc的大小，并说明理由．

【考点】三角形综合题；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）先根据EH∥FG，判定△AEH∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式变形即可得到+=；
（2）先根据（1）中的结论得出，再将hb=c和xb=2代入变形，即可求得+的值；
（3）先根据（1）中的结论得出和，变形得出，，再根据△ABC得到bhb=chc，hb=csinA，hc=bsinA，最后代入代数式进行变形推导，即可得出xb与xc的大小关系．
【解答】解：∵正方形EFGH中，EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，即，
∴+=；
（2）由（1）得：，
∵∠A=90°，
∴hb=c，
又∵xb=2，
∴；
（3）xb＞xc．
证明：由（1）得：，，
∴，，
∵S=bhb=chc，
∴2S=bhb=chc，
又∵hb=csinA，hc=bsinA，
∴=
=
=，
∵b＜c，sinA＜1，
∴＜0，即＜0，
∴xb＞xc．

【点评】本题主要考查了三角形的综合运用，难度较大，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．解题时注意，当三角形的高出现时，可以考虑相似三角形的对应高之比等于相似比；其中第（2）个问题也可以运用相似三角形的性质进行计算求解．此外，特殊应用和拓展延伸部分的解答都运用了模拟探究中的结论．

26．如图，抛物线C1：y=﹣x2+2x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．
（1）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；
（2）将抛物线C1上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足S△PAC=S△ABC，且∠APC=90°．
①当k＞1时，求k的值；
②当k＜﹣1时，请直接写出k的值，不必说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线C1解析式求出A、B及原点坐标，将三点坐标都扩大到原来的2倍，待定系数求解可得；
（2）①如图1中，当k＞1时，与（1）同理可得抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x及顶点C的坐标，根据S△PAC=S△ABC知BP∥AC，继而可得△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C2解析式可求得k的值；
②如图2中，当k＜﹣1时，作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得四边形CEBP是矩形，先求出抛物线C2解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C2解析式可求得k的值；
【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线C1经过原点O，点A（1，）和点B（2，0）三点，
∴变换后的抛物线经过原点O，（2，2）和（4，0）三点，
∴变换后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；

（2）①如图1中，当k＞1时，
∵抛物线C2经过原点O，（k， k），（2k，0）三点，
∴抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x，
∴O、A、C三点共线，且顶点C为（k， k），

如图，∵S△PAC=S△ABC，
∴BP∥AC，
过点P作PD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AO于E，
由题意知△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，
∴OE=1，CE=BP=2k﹣1，
∵∠PBD=60°，
∴BD=k﹣，PD=（2k﹣1），
∴P（k+，（2k﹣1）），
∴（2k﹣1）=﹣（k+）2+2（k+），
解得：k=；
②如图2中，当k＜﹣1时，

∵抛物线C2经过原点O，（k， k），（2k，0）三点，
∴抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x，
∴O、A、C′三点共线，且顶点C′为（k， k），
作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，
∵S△PAC′=S△ABC=S△AC′B′，
∴A′P∥AC′，由题意四边形PC′OE′是矩形，
∴PE′=OC′=﹣2k，B′E′=1，PB′=﹣2k﹣1，
在RT△PDB′中，∵∠PDB′=90°，∠PB′D=∠A′B′O=60°，
∴DB′=PB′=，DP=（﹣2k﹣1），
∴点P坐标[，（2k+1）]，
∴（2k+1）=﹣（）2+2（）
∴k=﹣．
【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数的性质、解直角三角形等知识点，根据题意表示出点P的坐标是解题的关键，学会添加辅助线构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．

第32页（共32页）