2017年山东省泰安市中考数学试卷（含解析版）.doc

2017年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）
1．下列四个数：﹣3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是（　　）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．﹣
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4
C．（1+2a）2=1+2a+4a2 D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2
3．下列图案

其中，中心对称图形是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（　　）
A．3×1014美元 B．3×1013美元 C．3×1012美元 D．3×1011美元
5．化简（1﹣）÷（1﹣）的结果为（　　）
A． B． C． D．
6．下面四个几何体：

其中，俯视图是四边形的几何体个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（　　）
A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
8．袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．不等式组的解集为x＜2，则k的取值范围为（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
10．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　　）
A．﹣10= B． +10=
C．﹣10= D． +10=
11．为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A，B，C，D四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（　　）

A．本次抽样测试的学生人数是40
B．在图1中，∠α的度数是126°
C．该校九年级有学生500名，估计D级的人数为80
D．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为0.2
12．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（　　）

A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
13．已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
14．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（　　）

A．18 B． C． D．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
4
16
15
9
6
则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（　　）
A．10，20.6 B．20，20.6 C．10，30.6 D．20，30.6
17．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（　　）

A．20° B．35° C．40° D．55°
18．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，
其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）

A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
21．分式与的和为4，则x的值为　 　．
22．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为　 　．
23．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　 　．
24．如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共48分）
25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=，OB=2，反比例函数y=的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．

26．某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？

27．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

28．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．

29．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．

2017年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）
1．下列四个数：﹣3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是（　　）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．﹣
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】将四个数从大到小排列，即可判断．
【解答】解：∵﹣1＞﹣＞﹣3＞﹣π，
∴最小的数为﹣π，
故选A．

2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4
C．（1+2a）2=1+2a+4a2 D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2
【考点】4F：平方差公式；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．
【分析】根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．
【解答】解：A、a2•a2=a4，此选项错误；
B、a2•a2=2a2，此选项错误；
C、（1+2a）2=1+4a+4a2，此选项错误；
D、（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2，此选项正确；
故选：D．

3．下列图案

其中，中心对称图形是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：①不是中心对称图形；
②不是中心对称图形；
③是中心对称图形；
④是中心对称图形．
故选：D．

4．“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（　　）
A．3×1014美元 B．3×1013美元 C．3×1012美元 D．3×1011美元
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3万亿=3 0000 0000 0000=3×1012，
故选：C．

5．化简（1﹣）÷（1﹣）的结果为（　　）
A． B． C． D．
【考点】6C：分式的混合运算．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=÷=•=，
故选A

6．下面四个几何体：

其中，俯视图是四边形的几何体个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形进行解答即可．
【解答】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，
故选：B．

7．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（　　）
A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，
配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，
故选A

8．袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5，
所以成的两位数是3的倍数的概率=．
故选B．

9．不等式组的解集为x＜2，则k的取值范围为（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：解不等式组，得
．
∵不等式组的解集为x＜2，
∴k+1≥2，
解得k≥1．
故选：C．

10．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　　）
A．﹣10= B． +10=
C．﹣10= D． +10=
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．
【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选：B．

11．为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A，B，C，D四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（　　）

A．本次抽样测试的学生人数是40
B．在图1中，∠α的度数是126°
C．该校九年级有学生500名，估计D级的人数为80
D．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为0.2
【考点】X4：概率公式；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】利用扇形统计图以及条形统计图分别分析得出总人数以及结合α的度数、利用样本估计总体即可．
【解答】解：A、本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（人），正确，不合题意；
B、∵×360°=126°，∠α的度数是126°，故此选项正确，不合题意；
C、该校九年级有学生500名，估计D级的人数为：500×=100（人），故此选项错误，符合题意；
D、从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为： =0.2，正确，不合题意；
故选：C．

12．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（　　）

A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==90°﹣α．
故选D．

13．已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
【考点】F5：一次函数的性质．
【分析】由一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k﹣2＜0、﹣m＜0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k﹣2＜0，﹣m＜0，
∴k＜2，m＞0．
故选A．

14．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（　　）

A．18 B． C． D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．
【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，
∴MC=12﹣5=7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°．
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴=，即=，解得CG=，
∴DG=12﹣=．
∵AE∥BC，
∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴=，即=，解得DE=．
故选B．

15．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=，故②错误，
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，
故选B．

16．某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
4
16
15
9
6
则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（　　）
A．10，20.6 B．20，20.6 C．10，30.6 D．20，30.6
【考点】W4：中位数；VA：统计表；W2：加权平均数．
【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可．
【解答】解：共有50个数，
∴中位数是第25、26个数的平均数，
∴中位数是（20+20）÷2=20；
平均数=（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=30.6；
故选：D．

17．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（　　）

A．20° B．35° C．40° D．55°
【考点】MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质．
【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，
∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，
∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，
∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°；
故选：A．

18．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．
【解答】解：如图：

显然，旋转角为90°，
故选C．

19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，
其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】LA：菱形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】证明：∵BC=EC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB=∠EBF，
∴∠CBE=∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC=EC，CF⊥BE，
∴∠ECF=∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠ECF=∠BCF，
∴∠CFB=∠BCF，
∴BF=BC，
∴③正确；
∵FB=BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF=PC，故④正确．
故选：D．

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）

A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
【考点】H7：二次函数的最值．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC==6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
故选C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
21．分式与的和为4，则x的值为　3　．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵分式与的和为4，
∴+=4，
去分母，可得：7﹣x=4x﹣8
解得：x=3
经检验x=3是原方程的解，
∴x的值为3．
故答案为：3．

22．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为　k＞　．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，
解得k＞．
故答案为k＞．

23．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　2cm　．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．
【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，
设圆锥底面圆的半径为：r，则2πr=，
解得：r=10，
故这个圆锥的高为： =2（cm）．
故答案为：2（cm）．

24．如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为　　．

【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．
【解答】解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，
则NQ的长即为PM+PQ的最小值，
连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，
∵∠NPB=∠APQ，
∴∠N=∠BAC=30°，
∵∠BAC=30°，AM=2，
∴MD=AM=1，
∴MN=2，
∴NQ=MN•cos∠N=2×=，
故答案为：．

三、解答题（本大题共5小题，共48分）
25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=，OB=2，反比例函数y=的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．
【分析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；
（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M（8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，
设BD=a，
∵tan∠AOB==，
∴OD=2BD．
∵∠ODB=90°，OB=2，
∴a2+（2a）2=（2）2，
解得a=±2（舍去﹣2），
∴a=2．
∴OD=4，
∴B（4，2），
∴k=4×2=8，
∴反比例函数表达式为：y=；

（2）∵tan∠AOB=，OB=2，
∴AB=OB=，
∴OA===5，
∴A（5，0）．
又△AMB与△AOB关于直线AB对称，B（4，2），
∴OM=2OB，
∴M（8，4）．
把点M、A的坐标分别代入y=mx+n，得
，
解得，
故一次函数表达式为：y=x﹣．

26．某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案；
（2）根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：
，
解得：，
小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，
200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），
∴销售完后，该水果商共赚了3200元；

（2）设大樱桃的售价为a元/千克，
（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，
解得：a≥41.6，
答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．

27．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∴∠ACD+∠BDC=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，
∵∠BDC=∠PDC，
∴CE=CM，
∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，
∴△CPM∽△APD，
∴=，
设CM=CE=x，
∵CE：CP=2：3，
∴PC=x，
∵AB=AD=AC=1，
∴=，
解得：x=，
故AE=1﹣=．

28．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；
（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；
（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．
把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，
解得k=4，
则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．
∵B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OCB=45°，
过点N作NH⊥y轴，垂足是H．
∵∠NCB=90°，
∴∠NCH=45°，
∴NH=CH，
∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，
设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．
∴a+3=﹣a2+2a+3，
解得a=0（舍去）或a=1，
∴N的坐标是（1，4）；
（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，
设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，
整理，得2t2﹣t=0，
解得t=0或．
∴﹣t2+2t+3的值为3或．
∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．

29．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．

【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；
（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，，
∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；
（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP∥AB，
∴FP=PB，
∴CP=AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：垂直，
理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，
在△AME与△CNE中，，
∴△AME≌△CNE，
∴∠ADE=∠CFE，
在△ADE与△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE，
∴∠DEA=∠FEC，
∵∠DEA+∠DEC=90°，
∴∠CEF+∠DEC=90°，
∴∠DEF=90°，
∴ED⊥EF．

2017年7月4日
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