2016年四川省南充市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分
1．（3分）（2016•南充）如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为（　　）
A．+3 B．﹣3 C．+ D．﹣
2．（3分）（2016•南充）下列计算正确的是（　　）
A．=2 B．= C．=x D．=x
3．（3分）（2016•南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（　　）

A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM
4．（3分）（2016•南充）某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是（　　）

A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
5．（3分）（2016•南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2
6．（3分）（2016•南充）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）
A．= B．=
C．= D．=
7．（3分）（2016•南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．1+
8．（3分）（2016•南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（3分）（2016•南充）不等式＞﹣1的正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）（2016•南充）如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N．给出下列结论：①∠AME=108°；②AN2=AM•AD；③MN=3﹣；④S△EBC=2﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．（3分）（2016•南充）计算：=　　　　　　．
12．（3分）（2016•南充）如图，菱形ABCD的周长是8cm，AB的长是　　　　　　cm．

13．（3分）（2016•南充）计算22，24，26，28，30这组数据的方差是　　　　　　．
14．（3分）（2016•南充）如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是　　　　　　．
15．（3分）（2016•南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是　　　　　　mm．

16．（3分）（2016•南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是　　　　　　（填写序号）

三、解答题：本大题共9小题，共72分
17．（6分）（2016•南充）计算：+（π+1）0﹣sin45°+|﹣2|

18．（6分）（2016•南充）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．
（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；
（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．

19．（8分）（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．

20．（8分）（2016•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

21．（8分）（2016•南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线解析式；
（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

22．（8分）（2016•南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）如果tan∠CAO=，求cosB的值．

23．（8分）（2016•南充）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；
（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？

24．（10分）（2016•南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．

（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）
②是否存在满足条件的点P，使得PC=？请说明理由．

25．（10分）（2016•南充）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

2016年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分
1．（3分）（2016•南充）如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为（　　）
A．+3 B．﹣3 C．+D．﹣
【考点】正数和负数．菁优网版权所有
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向右记为正，则向左就记为负，据此解答即可．
【解答】解：如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为﹣3；
故选：B．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．

2．（3分）（2016•南充）下列计算正确的是（　　）
A．=2B．=C．=xD．=x
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】解：A、=2，正确；
B、=，故此选项错误；
C、=﹣x，故此选项错误；
D、=|x|，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

3．（3分）（2016•南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（　　）

A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM
【考点】轴对称的性质．菁优网版权所有
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．

4．（3分）（2016•南充）某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是（　　）

A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
【考点】中位数；条形统计图．菁优网版权所有
【分析】利用条形统计图得到各数据的各数，然后找出第20个数和第21个数，再根据中位数定义求解．
【解答】解：40个数据最中间的两个数为第20个数和第21个数，
而第20个数和第21个数都是14（岁），
所以这40名学生年龄的中位数是14岁．
故选C．
【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了条形统计图．

5．（3分）（2016•南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．
【解答】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（﹣，），对称轴为直线x=﹣．

6．（3分）（2016•南充）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）
A．=B．=
C．=D．=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【分析】直接利用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．

7．（3分）（2016•南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．D．1+
【考点】三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=AB=1．
故选：A．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

8．（3分）（2016•南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，
则NG=AM，故AN=NG，
则∠2=∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，
∴∠DAG=60°．
故选：C．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．

9．（3分）（2016•南充）不等式＞﹣1的正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解．
【解答】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，
去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，
移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，
合并同类项得：﹣x＞﹣5，
系数化为1得：x＜5，
故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

10．（3分）（2016•南充）如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N．给出下列结论：①∠AME=108°；②AN2=AM•AD；③MN=3﹣；④S△EBC=2﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到AN2=AM•AD；根据AE2=AM•AD，列方程得到MN=3﹣；在正五边形ABCDE中，由于BE=CE=AD=1+，得到BH=BC=1，根据勾股定理得到EH==，根据三角形的面积得到结论．
【解答】解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正确；
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴，
∴AE2=AM•AD；
∴AN2=AM•AD；故②正确；
∵AE2=AM•AD，
∴22=（2﹣MN）（4﹣MN），
∴MN=3﹣；故③正确；
在正五边形ABCDE中，
∵BE=CE=AD=1+，
∴BH=BC=1，
∴EH==，
∴S△EBC=BC•EH=×2×=，故④错误；
故选C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．（3分）（2016•南充）计算：=　y　．
【考点】约分．菁优网版权所有
【分析】根据分式的约分，即可解答．
【解答】解：=y，
故答案为：y．
【点评】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是约去分子、分母的公因式．

12．（3分）（2016•南充）如图，菱形ABCD的周长是8cm，AB的长是　2　cm．

【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的四边相等即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AB+BC+CD+DA=8cm，
∴AB=2cm，
∴AB的长为2cm．
故答案为2．
【点评】本题考查菱形的性质，记住菱形的四边相等是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型．

13．（3分）（2016•南充）计算22，24，26，28，30这组数据的方差是　8　．
【考点】方差．菁优网版权所有
【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：22，24，26，28，30的平均数是（22+24+26+28+30）÷5=26；
S2=[（22﹣26）2+（24﹣26）2+（26﹣26）2+（28﹣26）2+（30﹣26）2]=8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．

14．（3分）（2016•南充）如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是　1　．
【考点】完全平方式．菁优网版权所有
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值．
【解答】解：∵x2+mx+1=（x±1）2=（x+n）2，
∴m=±2，n=±1，
∵m＞0，
∴m=2，
∴n=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

15．（3分）（2016•南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是　50　mm．

【考点】圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．
【解答】解：如图，设圆心为O，
连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40，
∵CM2+OM2=AN2+ON2，
∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，
解得：OM=40，
∴OC==50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
故答案为：50．

【点评】本题考查的圆内接四边形，是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合进行解答是解答此题的关键．

16．（3分）（2016•南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是　①③④　（填写序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），可以得到a＞0，a、b、c的关系，然后对a、b、c进行讨论，从而可以判断①②③④是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），
∴
∴bc＞0，故①正确；
∴a＞1时，则b、c均小于0，此时b+c＜0，
当a=1时，b+c=0，则与题意矛盾，
当0＜a＜1时，则b、c均大于0，此时b+c＞0，
故②错误；
∴x2+（a﹣1）x+=0可以转化为：x2+（b+c）x+bc=0，得x=b或x=c，故③正确；
∵b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根，
∴a﹣b﹣c=a﹣（b+c）=a+（a﹣1）=2a﹣1，
a+b+c=1故b+c=1﹣a＜1，
当1＞1﹣a＞﹣1，即2＞a＞0时，有（b+c）2＜1，即4bc＜1，bc＜，从而得出a＞2，与题设矛盾；
故a≥2，即2a﹣1≥3；
故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数与图象的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

三、解答题：本大题共9小题，共72分
17．（6分）（2016•南充）计算：+（π+1）0﹣sin45°+|﹣2|
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=×3+1﹣+2﹣
=3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2016•南充）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．
（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；
（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率==；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为6，
所以刚好是一男生一女生的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

19．（8分）（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可
（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，
即∠BAN=∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M=∠N．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．

20．（8分）（2016•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，
而2x1x2+x1+x2≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根与系数的关系．

21．（8分）（2016•南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线解析式；
（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；
（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．
【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，
∴A（2，3），
把A坐标代入y=，得k=6，
则双曲线解析式为y=；
（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），
设P（x，0），可得PC=|x+4|，
∵△ACP面积为3，
∴|x+4|•3=3，即|x+4|=2，
解得：x=﹣2或x=﹣6，
则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22．（8分）（2016•南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）如果tan∠CAO=，求cosB的值．

【考点】切线的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．
（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题．
【解答】解：（1）如图作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC=OM，
∴AB是⊙O的切线，
（2）设BM=x，OB=y，则y2﹣x2=1 ①，
∵cosB==，
∴=，
∴x2+3x=y2+y ②，
由①②可以得到：y=3x﹣1，
∴（3x﹣1）2﹣x2=1，
∴x=，y=，
∴cosB==．

【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型．

23．（8分）（2016•南充）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；
（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据函数图形得到0≤t≤20、20＜t≤30、30＜t≤60时，小明所走路程s与时间t的函数关系式；
（2）利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式，列出二元一次方程组解答即可；
（3）分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可．
【解答】解：（1）s=；
（2）设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为：s=kt+b，
则，
解得，，
则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250，
当50t﹣500=30t+250，即t=37.5min时，小明与爸爸第三次相遇；
（3）30t+250=2500，
解得，t=75，
则小明的爸爸到达公园需要75min，
∵小明到达公园需要的时间是60min，
∴小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min．
【点评】本题考查的是一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式、读懂函数图象是解题的关键．

24．（10分）（2016•南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．

（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）
②是否存在满足条件的点P，使得PC=？请说明理由．
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出==，由△BAP∽△BNA，推出=，得到=，由此即可证明．
（2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）．②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC=，推出矛盾即可．
【解答】（1）证明：如图一中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，==，
∴∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PAM+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴=，
∴=，
∵AB=BC，
∴AN=AM．
（2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．
理由如图二中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，==，
∴∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PAM+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴=，
∴=，
∵AB=BC，
∴AN=AM．
②这样的点P不存在．
理由：假设PC=，
如图三中，以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，
CO==＞1+，
∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾，
∴假设不可能成立，
∴满足PC=的点P不存在．

【点评】本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题．

25．（10分）（2016•南充）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入即可解决问题．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF==，列出方程即可解决问题．
（3））①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），代入抛物线解析式，解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），
则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM==，
∵sin∠AMF=，
∴=，
∴=，整理得到2m2+19m+44=0，
∴（m+4）（2m+11）=0，
∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），
∴点Q坐标（﹣4，）．
（3）①当MN是对角线时，设点F（m，0）．
∵直线AC解析式为y=x+5，
∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），
∵QN=PM，
∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，
解得m=﹣3±，
∴点M坐标（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．
②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），
∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，
解得m=﹣3．
∴点M坐标（﹣2，3），
综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．

【点评】本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

参与本试卷答题和审题的老师有：nhx600；gbl210；王学峰；gsls；sd2011；三界无我；sdwdmahongye；弯弯的小河；zgm666；sks；wdzyzmsy@；1286697702（排名不分先后）
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2016年7月8日
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