2014年贵州省黔东南州中考数学试卷（含解析版）.doc

2014年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题：每个小题4分，10个小题共40分
1．（4分）＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．+＝
3．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
4．（4分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（　　）
A．可能有5次正面朝上 B．必有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上 D．不可能10次正面朝上
5．（4分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为（　　）

A．0.5 B．1.5 C． D．1
6．（4分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，则AB的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm
7．（4分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（　　）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
8．（4分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．
9．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0。其中正确结论的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　）

A．6 B．12 C．2 D．4
二、填空题：每个小题4分，6个小题共24分
11．（4分）计算cos60°＝　 　．
12．（4分）函数y＝自变量x的取值范围是　 　．
13．（4分）因式分解：x3﹣5x2+6x＝　 　．
14．（4分）若一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则+＝　 　．
15．（4分）在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为　 　．

16．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为　 　．

三、解答题:8个小题，共86分
17．（8分）计算：2tan30°﹣|1﹣|+（2014﹣）0+．

18．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣4．

19．（10分）解不等式组，并写出它的非负整数解．

20．（12分）黔东南州某校为了解七年级学生课外学习情况，随机抽取了部分学生作调查，通过调查将获得的数据按性别绘制成如下的女生频数分布表和如图所示的男生频数分布直方图：
学习时间t（分钟）
人数
占女生人数百分比
0≤t＜30
4
20%
30≤t＜60
m
15%
60≤t＜90
5
25%
90≤t＜120
6
n
120≤t＜150
2
10%
根据图表解答下列问题：
（1）在女生的频数分布表中，m＝　 　，n＝　 　．
（2）此次调查共抽取了多少名学生？
（3）此次抽样中，学习时间的中位数在哪个时间段？
（4）从学习时间在120～150分钟的5名学生中依次抽取两名学生调查学习效率，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

21．（12分）已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半径为1，∠BCP＝30°，求图中阴影部分的面积．

22．（10分）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）

23．（12分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．

24．（14分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

2014年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每个小题4分，10个小题共40分
1．（4分）＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】15：绝对值．
【分析】按照绝对值的性质进行求解．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得：|﹣|＝．
故选：C．
【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．+＝
【考点】2C：实数的运算；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．
【专题】11：计算题．
【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
D、原式不能合并，错误．
【解答】解：A、原式＝a5，错误；
B、原式＝a6，正确；
C、原式＝a2+b2+2ab，错误；
D、原式不能合并，错误，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
3．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【考点】L6：平行四边形的判定．
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．（4分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（　　）
A．可能有5次正面朝上 B．必有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上 D．不可能10次正面朝上
【考点】X1：随机事件．
【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．
【解答】解：A、是随机事件，故A正确；
B、不是必然事件，故B错误；
C、不是必然事件，故C错误；
D、是随机事件，故D错误；
故选：A．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（4分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为（　　）

A．0.5 B．1.5 C． D．1
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB＝AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD＝AB，然后根据CD＝BC﹣BD计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°，
∵AC＝，
∴AB＝AC•tan30°＝×＝1，
∴BC＝2AB＝2，
由旋转的性质得，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
6．（4分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，则AB的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm
【考点】KW：等腰直角三角形；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【专题】11：计算题．
【分析】连结OA，根据圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝45°，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE＝BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE＝OA＝，然后利用AB＝2AE进行计算．
【解答】解：连结OA，如图，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴AE＝BE，△OAE为等腰直角三角形，
∴AE＝OA，
∵CD＝6，
∴OA＝3，
∴AE＝，
∴AB＝2AE＝3（cm）．
故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
7．（4分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（　　）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0求得m2﹣m＝1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
解得 m2﹣m＝1．
∴m2﹣m+2014＝1+2014＝2015．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．
8．（4分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【专题】11：计算题．
【分析】由于正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，则点A与点B关于原点对称，所以S△AOC＝S△BOC，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△BOC＝，所以△ABC的面积为1．
【解答】解：∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴S△AOC＝S△BOC，
∵BC⊥x轴，
∴△ABC的面积＝2S△BOC＝2××|1|＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0
其中正确结论的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝﹣1时，x＝2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x＝2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a﹣b+c，由函数图象可以看出当x＝﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，由函数图象可以看出当x＝2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，y＝4a+2b+c，然后根据图象判断其值．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　）

A．6 B．12 C．2 D．4
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】设BE＝x，表示出CE＝16﹣x，根据翻折的性质可得AE＝CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF＝∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE＝∠CEF，然后求出∠AEF＝∠AFE，根据等角对等边可得AE＝AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝16﹣x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE＝CE＝16﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴AE＝16﹣6＝10，
由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝10，
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH＝AB＝8，
AH＝BE＝6，
∴FH＝AF﹣AH＝10﹣6＝4，
在Rt△EFH中，EF＝＝＝4．
故选：D．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
二、填空题：每个小题4分，6个小题共24分
11．（4分）计算cos60°＝　　．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】根据记忆的内容，cos60°＝即可得出答案．
【解答】解：cos60°＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．
12．（4分）函数y＝自变量x的取值范围是　x＞1　．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：有意义的条件是x﹣1≥0，解得x≥1；
又分母不为0，x﹣1≠0，解得x≠1．
∴x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．（4分）因式分解：x3﹣5x2+6x＝　x（x﹣3）（x﹣2）　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法；57：因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式．
【解答】解：x3﹣5x2+6x＝x（x2﹣5x+6）＝x（x﹣3）（x﹣2）．
故答案是：x（x﹣3）（x﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和十字相乘法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（4分）若一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则+＝　﹣1　．
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】欲求+的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再代入数值计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，
∴+＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15．（4分）在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为　5　．

【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最少有几个正方体组成即可．
【解答】解：底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有5个小正方体组成，
故答案为：5．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需最少正方体的个数．
16．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为　　．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA′＝1，进而利用勾股定理得出即可．
【解答】解：如图所示：作A点关于直线y＝x的对称点A′，连接A′B，交直线y＝x于点P，
此时PA+PB最小，
由题意可得出：OA′＝1，BO＝2，PA′＝PA，
∴PA+PB＝A′B＝＝．
故答案为：．

【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键．
三、解答题:8个小题，共86分
17．（8分）计算：2tan30°﹣|1﹣|+（2014﹣）0+．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2×﹣（﹣1）+1+
＝﹣+1+1+
＝2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算．
18．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣4．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，
当x＝﹣4时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（10分）解不等式组，并写出它的非负整数解．
【考点】CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的x的非负整数解即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣，
由②得，x＜，
故此不等式组的解集为：﹣＜x＜，
它的非负整数解为：0，1，2，3．
【点评】本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
20．（12分）黔东南州某校为了解七年级学生课外学习情况，随机抽取了部分学生作调查，通过调查将获得的数据按性别绘制成如下的女生频数分布表和如图所示的男生频数分布直方图：
学习时间t（分钟）
人数
占女生人数百分比
0≤t＜30
4
20%
30≤t＜60
m
15%
60≤t＜90
5
25%
90≤t＜120
6
n
120≤t＜150
2
10%
根据图表解答下列问题：
（1）在女生的频数分布表中，m＝　3　，n＝　30%　．
（2）此次调查共抽取了多少名学生？
（3）此次抽样中，学习时间的中位数在哪个时间段？
（4）从学习时间在120～150分钟的5名学生中依次抽取两名学生调查学习效率，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

【考点】V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；W4：中位数；X6：列表法与树状图法．
【专题】27：图表型．
【分析】（1）根据第一段中有4人，占20%，即可求得女生的总人数，然后根据频率的计算公式求得m、n的值；
（2）把直方图中各组的人数相加就是男生的总人数，然后加上女生总人数即可；
（3）求得每段中男女生的总数，然后根据中位数的定义即可判断；
（4）利用列举法即可求解．
【解答】解：（1）女生的总数是：4÷20%＝20（人），
则m＝20×15%＝3（人），
n＝×100%＝30%；

（2）男生的总人数是：6+5+12+4+3＝30（人），
则此次调查的总人数是：30+20＝50（人）；

（3）在第一阶段的人数是：4+6＝10（人），
第二阶段的人数是：3+5＝8（人），
第三阶段的人数是：5+12＝17（人），
则中位数在的时间段是：60≤t＜90；

（4）如图所示：

共有20种等可能的情况，则恰好抽到男女生各一名的概率是＝．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（12分）已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半径为1，∠BCP＝30°，求图中阴影部分的面积．

【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD＝∠BAC，AB是直径，得出∠ACB＝90°，所以∠ACB＝∠CDB＝90°，得出结论△ACB∽△CDB；
（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积＝S扇形OCB﹣S△OCB＝π﹣．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°
∴∠BCD＝∠ACO，
又∵∠BAC＝∠ACO，
∴∠BCD＝∠BAC，
又∵BD⊥CP
∴∠CDB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°
∴△ACB∽△CDB；
（2）解：如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP＝30°，
∴∠COB＝2∠BCP＝60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴S△OCB＝，S扇形OCB＝＝π，
故阴影部分的面积＝S扇形OCB﹣S△OCB＝π﹣．
【点评】本题主要考查了切线的性质及扇形面积，三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．
22．（10分）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN＝0.25m．由小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM＝ME，设AM＝ME＝xm，则CN＝（x+6）m，EN＝（x﹣0.25）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN＝＝，代入CN、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．
【解答】解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，
∴MN＝0.25m，
∵∠EAM＝45°，
∴AM＝ME，
设AM＝ME＝xm，
则CN＝（x+6）m，EN＝（x﹣0.25）m，
∵∠ECN＝30°，
∴tan∠ECN＝＝＝，
解得：x≈8.8，
则EF＝EM+MF≈8.8+1.5＝10.3（m）．
答：旗杆的高EF为10.3m．

【点评】本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．
23．（12分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
【专题】12：应用题．
【分析】（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；
（2）分情况：不大于20件；大于20件；分别列出函数关系式即可；
（3）设购进玩具a件（a＞20），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．
【解答】解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得
，
解得，
答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；

（2）当0＜x≤20时，
y＝30x；
当x＞20时，
y＝20×30+（x﹣20）×30×0.7＝21x+180；

（3）设购进玩具a件（a＞20），则乙种玩具消费27a元；
当27a＝21a+180，
则a＝30
所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；
当27a＞21a+180，
则a＞30
所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；
当27a＜21a+180，
则a＜30
所以当购进玩具少于30件，多于20件，选择购乙种玩具省钱．
【点评】此题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的运用，理解题意，正确列式解决问题．
24．（14分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】152：几何综合题；16：压轴题．
【分析】（1）已知B（4，m）在直线y＝x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝4+2＝6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
＝﹣2n2+9n﹣4，
＝﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n＝时，线段PC最大且为．

（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°．
如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON＝，AN＝．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN＝AN＝，∴OM＝ON+MN＝+＝3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x＝3或x＝（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x＝3时，y＝x+2＝5，
∴P1（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°．
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x＝2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x＝时，y＝x+2＝．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．
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