2020年辽宁省丹东市中考数学试卷.doc
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2020年辽宁省丹东市中考数学试卷 一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的.每小题3分,共24分) 1.(3分)﹣5的绝对值等于( ) A.﹣5 B.5 C.﹣ D. 2.(3分)下面计算正确的是( ) A.a3•a3=2a3 B.2a2+a2=3a4 C.a9÷a3=a3 D.(﹣3a2)3=﹣27a6 3.(3分)如图所示,该几何体的俯视图为( ) A. B. C. D. 4.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是( ) A.x≤3 B.x<3 C.x≥3 D.x>3 5.(3分)四张背面完全相同的卡片,正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形,现在把它们的正面向下,随机的摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是( ) A. B. C. D.1 6.(3分)如图,CO是△ABC的角平分线,过点B作BD∥AC交CO延长线于点D,若∠A=45°,∠AOD=80°,则∠CBD的度数为( ) A.100° B.110° C.125° D.135° 7.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∠B=60°,AD=8,分别以B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点P和Q,直线PQ与BA延长线交于点E,连接CE,则△BCE的内切圆半径是( ) A.4 B.4 C.2 D.2 8.(3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A坐标为(﹣1,0),点C在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),抛物线的顶点为D,对称轴为直线x=2.有以下结论: ①abc>0; ②若点M(﹣,y1),点N(,y2)是函数图象上的两点,则y1<y2; ③﹣<a<﹣; ④△ADB可以是等腰直角三角形. 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每小题3分,共24分) 9.(3分)据有关报道,2020年某市斥资约5800000元改造老旧小区,数据5800000用科学记数法表示为 . 10.(3分)因式分解:mn3﹣4mn= . 11.(3分)一次函数y=﹣2x+b,且b>0,则它的图象不经过第 象限. 12.(3分)甲、乙两人进行飞镖比赛,每人投5次,所得平均环数相等,其中甲所得环数的方差为5,乙所得环数如下:2,3,5,7,8,那么成绩较稳定的是 (填“甲”或“乙”). 13.(3分)关于x的方程(m+1)x2+3x﹣1=0有两个实数根,则m的取值范围是 . 14.(3分)如图,矩形ABCD的边AB在x轴上,点C在反比例函数y=的图象上,点D在反比例函数y=的图象上,若sin∠CAB=,cos∠OCB=,则k= . 15.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥AC,AD=AC,∠BAD=105°,点E和点F分别是AC和CD的中点,连接BE,EF,BF,若CD=8,则△BEF的面积是 . 16.(3分)如图,在矩形OAA1B中,OA=3,AA1=2,连接OA1,以OA1为边,作矩形OA1A2B1使A1A2=OA1,连接OA2交A1B于点C;以OA2为边,作矩形OA2A3B2,使A2A3=OA2,连接OA3交A2B1于点C1;以OA3为边,作矩形OA3A4B3,使A3A4=OA3,连接OA4交A3B2于点C2;…按照这个规律进行下去,则△C2019C2020A2022的面积为 . 三、解答题(每小题8分,共16分) 17.(8分)先化简,再求代数式的值:(﹣)÷,其中x=cos60°+6﹣1. 18.(8分)如图,在平面直角坐标系中,网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,点A,B,C的坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(2,3),先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1.使它与△ABC位似,且相似比为2:1,然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2. (1)画出△A1B1C1,并直接写出点A1的坐标; (2)画出△A2B2C2,直接写出在旋转过程中,点A到点A2所经过的路径长. 四、(每小题10分,共20分) 19.(10分)某校为了解疫情期间学生居家学习情况,以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式(每名学生只选最主要的一种),并将调查结果绘制成如图不完整的统计图. 种类 A B C D E 学习方式 老师直播教学课程 国家教育云平台教学课程 电视台播放教学课程 第三方网上课程 其他 根据以上信息回答下列问题: (1)参与本次问卷调查的学生共有 人,其中选择B类型的有 人. (2)在扇形统计图中,求D所对应的圆心角度数,并补全条形统计图. (3)该校学生人数为1250人,选择A、B、C三种学习方式大约共有多少人? 20.(10分)在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1,2,3,4的小球,它们除数字外都相同,每次摸球前都将小球摇匀. (1)从中随机摸出一个小球,小球上写的数字不大于3的概率是 . (2)若从中随机摸出一球不放回,再随机摸出一球,请用画树状图或列表的方法,求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率. 五、(每小题10分,共20分) 21.(10分)为帮助贫困山区孩子学习,某学校号召学生自愿捐书,已知七、八年级同学捐书总数都是1800本,八年级捐书人数比七年级多150人,七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍.求八年级捐书人数是多少? 22.(10分)如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,连接BD,∠CBD的平分线交⊙O于点E,交AC于点F,且AF=AB. (1)判断BC所在直线与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若tan∠FBC=,DF=2,求⊙O的半径. 六、(每小题10分,共20分) 23.(10分)如图,小岛C和D都在码头O的正北方向上,它们之间距离为6.4km,一艘渔船自西向东匀速航行,行驶到位于码头O的正西方向A处时,测得∠CAO=26.5°,渔船速度为28km/h,经过0.2h,渔船行驶到了B处,测得∠DBO=49°,求渔船在B处时距离码头O有多远?(结果精确到0.1km) (参考数据:sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan26.5°≈0.50,sin49°≈0.75,cos49°≈0.66,tan49°≈1.15) 24.(10分)某服装批发市场销售一种衬衫,衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进货价,经市场调查,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表: 售价x(元/件) 60 65 70 销售量y(件) 1400 1300 1200 (1)求出y与x之间的函数表达式;(不需要求自变量x的取值范围) (2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元,又想尽量给客户实惠,该如何给这种衬衫定价? (3)物价部门规定,该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总利润为w(元),那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少? 七、(本题12分) 25.(12分)已知:菱形ABCD和菱形A′B′C′D′,∠BAD=∠B′A′D′,起始位置点A在边A′B′上,点B在A′B′所在直线上,点B在点A的右侧,点B′在点A′的右侧,连接AC和A′C′,将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角(0°<α<180°). (1)如图1,若点A与A′重合,且∠BAD=∠B′A′D′=90°,求证:BB′=DD′. (2)若点A与A′不重合,M是A′C′上一点,当MA′=MA时,连接BM和A′C,BM和A′C所在直线相交于点P. ①如图2,当∠BAD=∠B′A′D′=90°时,请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数. ②如图3,当∠BAD=∠B′A′D′=60°时,请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数. ③在②的条件下,若点A与A′B′的中点重合,A′B′=4,AB=2,在整个旋转过程中,当点P与点M重合时,请直接写出线段BM的长. 八、(本题14分) 26.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,A点坐标为(﹣2,0),与y轴交于点C(0,4),直线y=﹣x+m与抛物线交于B,D两点. (1)求抛物线的函数表达式. (2)求m的值和D点坐标. (3)点P是直线BD上方抛物线上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为H,交直线BD于点F,过点D作x轴的平行线,交PH于点N,当N是线段PF的三等分点时,求P点坐标. (4)如图2,Q是x轴上一点,其坐标为(﹣,0).动点M从A出发,沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动,设M的运动时间为t(t>0),连接AD,过M作MG⊥AD于点G,以MG所在直线为对称轴,线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′,点M在运动过程中,线段A′Q′的位置也随之变化,请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围. 2020年辽宁省丹东市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的.每小题3分,共24分) 1.【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答. 【解答】解:﹣5的绝对值|﹣5|=5. 故选:B. 【点评】本题考查了绝对值的性质,熟记一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0是解题的关键. 2.【分析】用同底数幂的乘法法则计算A,用合并同类项法则计算B,用同底数幂的除法法则计算C,用积和幂的乘方法则计算D. 【解答】解:因为a3•a3=a6≠2a3,故选项A计算不正确; 2a2+a2=3a2≠3a4,故选项B计算不正确; a9÷a3=a6≠a3,故选项C计算不正确; (﹣3a2)3=﹣27a6,故选项D计算正确; 故选:D. 【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项及积和幂的乘方法则.题目难度较小,熟练掌握整式的运算法则是解决本题的关键. 3.【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,注意看到的棱用实线,直接看不到的用虚线,可得答案. 【解答】解:该几何体的俯视图为 故选:C. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从上边看得到的图形是俯视图. 4.【分析】根据二次根式的性质,可得被开方数大于等于0,解不等式即可得到x的取值范围. 【解答】解:根据题意得:9﹣3x≥0, 解得:x≤3. 故选:A. 【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 5.【分析】根据中心对称图形的概念,结合概率公式求解可得. 【解答】解:∵从这4张卡片中任意抽取一张共有4种等可能结果,其中抽到的卡片正面是中心对称图形的是圆、平行四边形、正六边形这3种结果, ∴抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是, 故选:C. 【点评】本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握概率公式和中心对称图形的概念. 6.【分析】利用角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系,先求出∠D、∠DCB的度数,再利用三角形的内角和定理求出∠CBD. 【解答】解:∵CO是△ABC的角平分线, ∴∠DCB=∠DCA. ∵BD∥AC, ∴∠A=∠DBA=45°,∠D=∠ACD=∠DCB. ∵∠AOD=∠D+∠DBA, ∴∠D=∠AOD﹣∠DBA =80°﹣45° =35°. ∴∠DCB=35°. ∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°, ∴∠DBC=110°. 故选:B. 【点评】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识点.利用平行线的性质,把分散的条件集中起来是解决本题的关键. 7.【分析】先根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质可得BC=AD=8,根据作图过程可得EB=EC,根据等边三角形的判定可得△EBC是等边三角形,再根据等边三角形的性质即可求解. 【解答】解:∵在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD=8, 由作图过程可得EB=EC, ∵∠B=60°, ∴△EBC是等边三角形, ∴△BCE的内切圆半径是×8××=4. 故选:A. 【点评】本题考查的是平行四边形的判定与性质,三角形的内切圆与内心,作图﹣基本作图,熟知垂直平分线的作法是解答此题的关键. 8.【分析】由﹣=2,得b=﹣4a,由点A坐标与点C坐标得a﹣b+c=0,2<c<3,由二次函数图象可知a<0,则b>0,得出abc<0,故①不正确; 点N(,y2)关于对称轴x=2的对称点为(,y2),>﹣,y随x的增大而增大,则y1<y2,故②正确; 由,解得﹣<a<﹣,故③正确; 易求AB=6,DA=DB,则△ADB是等腰三角形,如果△ADB是等腰直角三角形,则点D到AB的距离等于AB=3,则,求出二次函数解析式为y=﹣x2+x+,当x=0时,y=,与点C在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点)矛盾,得出△ADB不可能是等腰直角三角形,故④不正确. 【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为:x=﹣, ∴﹣=2, ∴b=﹣4a, ∵点A坐标为(﹣1,0),点C在(0,2)与(0,3)之间,且都在抛物线上, ∴a﹣b+c=0,2<c<3, 由二次函数图象可知,a<0, ∴b>0, 又∵c>0, ∴abc<0,故①不正确; ∵点N(,y2)关于对称轴x=2的对称点为(,y2),>﹣,y随x的增大而增大, ∴y1<y2,故②正确; ∵, 解得:﹣<a<﹣, 故③正确; ∵抛物线的顶点为D,对称轴为直线x=2, ∴点A与点B关于直线x=2对称,点D在直线x=2上, ∴AB=6,DA=DB, ∴△ADB是等腰三角形, 如果△ADB是等腰直角三角形,则点D到AB的距离等于AB=3,即D(2,3), 则, 解得:, ∴二次函数解析式为:y=﹣x2+x+, 当x=0时,y=,与点C在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点)矛盾, ∴△ADB不可能是等腰直角三角形,故④不正确; ∴正确的有2个, 故选:B. 【点评】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等腰三角形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质,属于中考常考题型. 二、填空题(每小题3分,共24分) 9.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数. 【解答】解:数据5800000用科学记数法表示为:5.8×106. 故答案为:5.8×106. 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 10.【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可. 【解答】解:原式=mn(n2﹣4) =mn(n+2)(n﹣2). 故答案为:mn(n+2)(n﹣2). 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 11.【分析】直接利用y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,进而得出答案. 【解答】解:∵一次函数y=﹣2x+b,且b>0, ∴它的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 故答案为:三. 【点评】此题主要考查了一次函数的性质,正确掌握一次函数图象分布规律是解题关键. 12.【分析】先根据方差的定义计算出乙成绩的方差,再与甲成绩的方差比较大小,方差小的成绩更稳定,据此可得答案. 【解答】解:∵==5, ∴=×[(2﹣5)2+(3﹣5)2+(5﹣5)2+(7﹣5)2+(8﹣5)2]=, ∵=5<, ∴成绩较稳定的是甲, 故答案为:甲. 【点评】本题主要考查方差,解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义. 13.【分析】根据方程有两个实数根,得到此方程为一元二次方程且根的判别式大于等于0,确定出m的范围即可. 【解答】解:∵关于x的方程(m+1)x2+3x﹣1=0有两个实数根, ∴△=9+4(m+1)≥0,且m+1≠0, 解得:m≥﹣且m≠﹣1. 故答案为:m≥﹣且m≠﹣1. 【点评】此题考查了根的判别式,弄清一元二次方程解的情况与根的判别式的关系是解本题的关键. 14.【分析】根据题意设BC=4x,OC=5x,则OB=3x,根据反比例函数系数k的几何意义求得C的坐标,解直角三角形求得AB的长,即可求得OA的长,从而求得D的坐标,代入解析式即可求得k的值. 【解答】解:∵矩形ABCD的边AB在x轴上,点C在反比例函数y=的图象上, ∴S△BOC==3, ∵cos∠OCB==, ∴设BC=4x,OC=5x,则OB=3x, ∴=3,解得x=, ∴BC=2,OB=, ∴C(,2), ∵sin∠CAB==, ∴=, ∴AC=2, ∴AB==4, ∴OA=AB﹣OB=4﹣=, ∴D(﹣,2), ∵点D在反比例函数y=的图象上, ∴k=﹣×2=﹣10, 故答案为﹣10. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数系数k的几何意义,解直角三角形等,求得D的坐标是解题的关键. 15.【分析】过点E作EH⊥BF于H.利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明△BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题. 【解答】解:过点E作EH⊥BF于H. ∵AD=AC,∠DAC=90°,CD=8, ∴AD=AC=4, ∵DF=FC,AE=EC, ∴EF=AD=2,EF∥AD, ∴∠FEC=∠DAC=90°, ∵∠ABC=90°,AE=EC, ∴BE=AE=EC=2, ∴EF=BE=2, ∵∠BAD=105°,∠DAC=90°, ∴∠BAE=105°﹣90°=15°, ∴∠EAB=∠EBA=15°, ∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°, ∴∠FEB=90°+30°=120°, ∴∠EFB=∠EBF=30°, ∵EH⊥BF, ∴EH=EF=,FH=EH=, ∴BF=2FH=2, ∴S△EFB=•BF•EH=×2×=2. 故答案为2. 【点评】本题考查三角形中位线定理,直角三角形斜边中线的性质,等腰三角形的判定和性质,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 16.【分析】首先证明CC1∥A2A3,CC1=A2A3,推出=,求出第一个,第二个三角形的面积,利用相似三角形的性质寻找规律,利用规律解决问题即可. 【解答】解:在矩形OAA1B中,∵OA=3,AA1=2, ∴∠A=90°, ∴OA1===, ∵==, ∴=, ∵∠OA1A2=∠A=90°, ∴△OA1A2∽△OAA1, ∴∠A1OA2=∠AOA1, ∵A1B∥OA, ∴∠CA1O=∠AOA1, ∴∠COA1=∠CA1O, ∴OC=CA1, ∵∠A2OA1+∠OA2A1=90°,∠OA1C+∠A2A1C=90°, ∴∠CA2A1=∠CA1A2, ∴CA1=CA2=OC, 同法可证OC1=A3C1, ∴CC1∥A2A3,CC1=A2A3, ∴=, ∵A1A2=, ∴OA2===, ∴A2A3=×=, ∴CC1=A2A3=, ∴==××=, 同法可证=S, 由题意,===, ∵△C2A3C1∽△C1A2C, ∴相似比为:=, ∴=()2×=,=,…, 由此规律可得,△C2019C2020A2022的面积为. 故答案为. 【点评】本题考查矩形的性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积,三角形的中位线定理等知识,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考填空题中的压轴题. 三、解答题(每小题8分,共16分) 17.【分析】直接利用分式的混合运算法则将分式分别化简得出答案. 【解答】解:原式=• =• = =3x+10, 当x=cos60°+6﹣1=+=时, 原式=3×+10=12. 【点评】此题主要考查了分式的化简求值,正确化简分式是解题关键. 18.【分析】(1)利用网格和位似的性质画出△A1B1C1,再写出点A1的坐标即可, (2)利用网格和旋转的性质画出△A2B2C2,先利用勾股定理求出OA的长,再根据弧长公式即可求得答案. 【解答】解:(1)如图所示:点A1的坐标为(﹣2,﹣4); (2)如图所示: 由勾股定理得OA==, 点A到点A2所经过的路径长为=. 【点评】本题考查作图﹣旋转变换,轨迹,作图﹣位似变换,解题的关键是把旋转和位似变换后对应点的坐标表示出来,及弧长公式的正确运用. 四、(每小题10分,共20分) 19.【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图中所给数据,可得参与本次问卷调查的学生人数和其中选择B类型的人数; (2)根据扇形统计图中所给数据,即可求D所对应的圆心角度数,并补全条形统计图; (3)根据样本估计总体即可得该校学生人数为1250人,选择A、B、C三种学习方式大约人数. 【解答】解:(1)参与本次问卷调查的学生共有:240÷60%=400(人), 其中选择B类型的有:400×10%=40(人); 故答案为:400,40; (2)在扇形统计图中,D所对应的圆心角度数为: 360°×(1﹣60%﹣10%﹣20%﹣6%)=14.4°, ∵400×20%=80(人), ∴选择C种学习方式的有80人. ∴补全的条形统计图如下: (3)该校学生人数为1250人,选择A、B、C三种学习方式大约共有: 1250×(60%+10%+20%)=1125(人). 答:选择A、B、C三种学习方式大约共有1125人. 【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图,掌握这两种统计图是解本题的关键. 20.【分析】(1)列表确定出所有等可能的情况数,找出小球上写的数字不大于3的情况数,即可求出所求概率; (2)列表确定出所有等可能的情况数,找出两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况数,即可求出所求概率. 【解答】解:(1)从中随机摸出一个小球,小球上写的数字所有等可能情况有:1,2,3,4,共4种, 其中数字不大于3的情况有:1,2,3,共3种, 则P(小球上写的数字不大于3)=; 故答案为:; (2)列表得: 1 2 3 4 1 ﹣﹣﹣ (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) ﹣﹣﹣ (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) ﹣﹣﹣ (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) ﹣﹣﹣ 所有等可能的数有12种,两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况有:(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4种, 则P(两次摸出小球上的数字和恰好是偶数)==. 【点评】此题考查了列表法与树状图法,概率公式,弄清题中的数据是解本题的关键. 五、(每小题10分,共20分) 21.【分析】设八年级捐书人数是x人,则七年级捐书人数是(x﹣150)人,根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍,可得出方程,解出即可. 【解答】解:设八年级捐书人数是x人,则七年级捐书人数是(x﹣150)人,依题意有 ×1.5=, 解得x=450, 经检验,x=450是原方程的解. 故八年级捐书人数是450人. 【点评】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.应用题中一般有三个量,求一个量,明显的有一个量,一定是根据另一量来列等量关系的. 22.【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ADB=90°,根据等腰三角形的性质得到∠ABF=∠AFB,由角平分线的定义得到∠DBF=∠CBF,求得∠ABC=90°,于是得到结论; (2)根据角平分线的定义得到∠DBF=∠CBF,根据三角函数的定义得到BD=6,设AB=AF=x,根据勾股定理即可得到结论. 【解答】解:(1)BC所在直线与⊙O相切; 理由:∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∵AB=AF, ∴∠ABF=∠AFB, ∵BF平分∠DBC, ∴∠DBF=∠CBF, ∴∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠C, ∴∠ABD=∠C, ∵∠A+∠ABD=90°, ∴∠A+∠C=90°, ∴∠ABC=90°, ∴AB⊥BC, ∴BC是⊙O的切线; (2)∵BF平分∠DBC, ∴∠DBF=∠CBF, ∴tan∠FBC=tan∠DBF==, ∵DF=2, ∴BD=6, 设AB=AF=x, ∴AD=x﹣2, ∵AB2=AD2+BD2, ∴x2=(x﹣2)2+62, 解得:x=10, ∴AB=10, ∴⊙O的半径为5. 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,等腰三角形的性质,勾股定理,三角函数的定义,正确的识别图形是解题的关键. 六、(每小题10分,共20分) 23.【分析】设B处距离码头O有xkm,分别在Rt△CAO和Rt△DBO中,根据三角函数求得CO和DO,再利用DC=DO﹣CO,得出x的值即可. 【解答】解:设B处距离码头O有xkm, 在Rt△CAO中,∠CAO=26.5°, ∵tan∠CAO=, ∴CO=AO•tan∠CAO=(28×0.2+x)•tan26.5°≈2.8+0.5x(km), 在Rt△DBO中,∠DBO=49°, ∵tan∠DBO=, ∴DO=BO•tan∠DBO=x•tan49°≈1.15x(km), ∵DC=DO﹣CO, ∴6.4=1.15x﹣(2.8+0.5x), ∴x=14.2(km). 因此,B处距离码头O大约14.2km. 【点评】此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数和三角形中的边角关系是解题的关键. 24.【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式; (2)根据题意,可以得到相应的方程,从而可以得到如何给这种衬衫定价,可以给客户最大优惠; (3)根据题意,可以得到w与x之间的函数关系式,再根据二次函数的性质,即可得到售价定为多少元可获得最大利润,最大利润是多少. 【解答】解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, , 解得,, 即y与x之间的函数表达式是y=﹣20x+2600; (2)(x﹣50)(﹣20x+2600)=24000, 解得,x1=70,x2=110, ∵尽量给客户优惠, ∴这种衬衫定价为70元; (3)由题意可得, w=(x﹣50)(﹣20x+2600)=﹣20(x﹣90)2+32000, ∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,每件售价不低于进货价, ∴50≤x,(x﹣50)÷50≤30%, 解得,50≤x≤65, ∴当x=65时,w取得最大值,此时w=19500, 答:售价定为65元可获得最大利润,最大利润是19500元. 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和方程的知识解答. 七、(本题12分) 25.【分析】(1)证明△ADD′≌△BAB′(SAS)可得结论. (2)①证明△AA′C∽△MAB,可得结论. ②证明方法类似①. ③求出A′C,利用②中结论计算即可. 【解答】(1)证明:如图1中, 在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中,∵∠BAD=∠B′A′D′=90°, ∴四边形ABCD,四边形A′B′CD′都是正方形, ∵∠DAB=∠D′AB′=90°, ∴∠DAD′=∠BAB′, ∵AD=AB,AD′=AB′, ∴△ADD′≌△ABB′(SAS), ∴DD′=BB′. (2)①解:如图2中,结论:CA′=BM,∠BPC=45°. 理由:设AC交BP于O. ∵四边形ABCD,四边形A′B′CD′都是正方形, ∴∠MA′A=∠DAC=45°, ∴∠A′AC=∠MAB, ∵MA′=MA, ∴∠MA′A=∠MAA′=45°, ∴∠AMA′=90°, ∴AA′=AM, ∵△ABC是等腰直角三角形, ∵AC=AB, ∴==, ∵∠A′AC=∠MAB, ∴△AA′C∽△MAB, ∴==,∠A′CA=∠ABM, ∴CA′=BM, ∵∠AOB=∠COP, ∴∠CPO=∠OAB=45°,即∠BPC=45°. ②解:如图3中,设AC交BP于O. 在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中,∵∠BAD=∠B′A′D′=60°, ∴∠C′A′B′=∠CAB=30°, ∴∠A′AC=∠MAB, ∵MA′=MA, ∴∠MA′A=∠MAA′=30°, ∴AA′=AM, 在△ABC中,∵BA=BC,∠CAB=30°, ∴AC=AB, ∴==, ∵∠A′AC=∠MAB, ∴△A′AC∽△MAB, ∴==,∠ACA′=∠ABM, ∴A′C=BM, ∵∠AOB=∠COP, ∴∠CPO=∠OAB=30°,即∠BPC=30°. ③如图4中,过点A作AH⊥A′C于H. 由题意AB=BC=CD=AD=2,可得AC=AB=2, 在Rt△A′AH中,A′H=AA′=1,AAH=, 在Rt△AHC中,CH===, ∴A′C=A′H+CH=+, 由②可知,A′C=BM, ∴BM=1+. 【点评】本题属于四边形综合题,考查了菱形的性质,正方形的性质,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题. 八、(本题14分) 26.【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可. (2)求出点B的坐标,可得直线BD的解析式,构建方程组确定点D坐标即可. (3)设P(a,﹣a2+a+4),则N(a,),F(a,﹣a+2)推出PN=﹣a2+a+4﹣=﹣a2+a+,NF=﹣(﹣a+2)=a+,由N是线段PF的三等分点,推出PN=2NF或NF=2PN,构建方程求解即可. (4)首先证明QQ′∥AD,由题意直线QQ′的解析式为y=x+2,设直线QQ′交抛物线于E,利用方程组求出点E的坐标,求出两种特殊情形t的值即可判断. 【解答】解:(1)把A(﹣2,0),C(0,4)代入y=﹣x2+bx+c, 得到, 解得, ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4. (2)令y=0,则有﹣x2+x+4=0, 解得x=﹣2或4, ∴B(4,0), 把B(4,0)代入y=﹣x+m,得到m=2, ∴直线BD的解析式为y=﹣x+2, 由,解得或, ∴D(﹣1,). (3)设P(a,﹣a2+a+4), 则N(a,),F(a,﹣a+2), ∴PN=﹣a2+a+4﹣=﹣a2+a+,NF=﹣(﹣a+2)=a+, ∵N是线段PF的三等分点, ∴PN=2NF或NF=2PN, ∴﹣a2+a+=a+1或a+=﹣a2+2a+3, 解得a=±1或﹣1或, ∵a>0, ∴a=1或, ∴P(1,)或(,). (4)如图2中, ∵A(﹣2,0),D(﹣1,), ∴直线AD的解析式为y=x+5, ∵A′Q′与AQ关于MG对称,MG⊥AD, ∴QQ′∥AD, ∵Q(﹣,0), ∴直线QQ′的解析式为y=x+2,设直线QQ′交抛物线于E, 由,解得或, ∴E(1,), 当点A′与D重合时,直线GM的解析式为y=﹣x+,可得M(,0),此时t=, 当点Q′与E重合时,直线GM经过点(,), ∵GM⊥AD, ∴GM的解析式为y=﹣x+, 令y=0,可得x=, ∴M(,0),此时t==, 观察图象可知,满足条件的t的值为≤t≤. 【点评】本题考查二次函数综合题,一次函数的性质,轴对称变换等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题. 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2020/9/14 12:30:47;用户:18366185883;邮箱:18366185883;学号:22597006 第29页(共29页)- 配套讲稿:
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