2015年广西南宁市中考数学试卷含答案解析.doc

2015年广西南宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起南宁火车站，东至南宁东站，全长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（　　）
A．0.113×105 B．1.13×104 C．11.3×103 D．113×102
4．（3分）某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示，则这些队员年龄的众数是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
5．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（3分）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
8．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．4ab÷2a＝2ab B．（3x2）3＝9x6 C．a3•a4＝a7 D．
9．（3分）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　）
A．60° B．72° C．90° D．108°
10．（3分）如图，已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论中：
①ab＞0，‚②a+b+c＞0，ƒ③当﹣2＜x＜0时，y＜0．
正确的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
12．（3分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝的解为（　　）
A．1﹣ B．2﹣ C．1+或1﹣ D．1+或﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：ax+ay＝　 　．
14．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为　 　．
15．（3分）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是　 　．
16．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　 　．

17．（3分）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC＝60°，则k＝　 　．

18．（3分）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　 　．

三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）
19．（6分）计算：20150+（﹣1）2﹣2tan45°+．
20．（6分）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）﹣1，其中x＝．
四、解答题
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．

22．（8分）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求全班学生人数和m的值．
（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
分组
分数段（分）
频数
A
36≤x＜41
2
B
41≤x＜46
5
C
46≤x＜51
15
D
51≤x＜56
m
E
56≤x＜61
10

23．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE＝CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若∠DEB＝90°，求证：四边形DEBF是矩形．

24．（10分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积．
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC＝CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝，求AD的长．

26．（10分）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y＝ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若直线y＝﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．

2015年广西南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】直接根据绝对值的意义求解．
【解答】解：|3|＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
2．（3分）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】从正面看几何体得到主视图即可．
【解答】解：根据题意的主视图为：，
故选：B．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起南宁火车站，东至南宁东站，全长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（　　）
A．0.113×105 B．1.13×104 C．11.3×103 D．113×102
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将11300用科学记数法表示为：1.13×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示，则这些队员年龄的众数是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】VC：条形统计图；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数．
【解答】解：观察条形统计图知：为14岁的最多，有8人，
故众数为14岁，
故选：C．
【点评】考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义，难度较小．
5．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】由直角三角板的特点可得：∠C＝30°，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠CAE的度数．
【解答】解：∵∠C＝30°，BC∥DE，
∴∠CAE＝∠C＝30°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
6．（3分）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】先解不等式得到x＜2，用数轴表示时，不等式的解集在2的左边且不含2，于是可判断D选项正确．
【解答】解：2x＜4，
解得x＜2，
用数轴表示为：
．
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【考点】KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
8．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．4ab÷2a＝2ab B．（3x2）3＝9x6 C．a3•a4＝a7 D．
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4H：整式的除法；75：二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【分析】A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝2b，错误；
B、原式＝27x6，错误；
C、原式＝a7，正确；
D、原式＝，错误，
故选：C．
【点评】此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　）
A．60° B．72° C．90° D．108°
【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝540，即可求得n＝5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝540，
解得：n＝5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：＝72°．
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
10．（3分）如图，已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论中：
①ab＞0，‚②a+b+c＞0，ƒ③当﹣2＜x＜0时，y＜0．
正确的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到ab＞0；故①正确；
②由x＝1时，得到y＝a+b+c＞0；故②正确；
③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0
∴ab＞0；故①正确；
②∵观察图象知；当x＝1时y＝a+b+c＞0，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于（0，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴当﹣2＜x＜0时，y＜0；故③正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】M5：圆周角定理；PA：轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【分析】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，利用两点之间线段最短得到此时P′M+P′N的值最小，然后证明△OMN′为等边三角形得到MN＝OM＝4，从而可判断PM+PN的最小值．
【解答】解：作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，
则P′N＝P′N′，
∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′，
∴此时P′M+P′N的值最小，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠NOB＝20°，
∵N点关于AB的对称点N′，
∴∠N′OB＝20°，
∴∠MON′＝60°，
∴△OMN′为等边三角形，
∴MN＝OM＝4，
∴P′M+P′N＝4，
即PM+PN的最小值为4．
故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了最短路径问题的解决方法．
12．（3分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝的解为（　　）
A．1﹣ B．2﹣ C．1+或1﹣ D．1+或﹣1
【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有
【分析】根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．
【解答】解：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x＝，
去分母得：x2+2x+1＝0，即x＝﹣1；
当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x＝，即x2﹣2x＝1，
解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），
经检验x＝﹣1与x＝1+都为分式方程的解．
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：ax+ay＝　a（x+y）　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【分析】观察等式的右边，提取公因式a即可求得答案．
【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．
故答案为：a（x+y）．
【点评】此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．
14．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为　x≠1　．
【考点】62：分式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．
故答案是：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
15．（3分）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是　　．
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】首先判断出1，2，3，4，5中的奇数有哪些；然后根据概率公式，用奇数的数量除以5，求出取出的小球标号是奇数的概率是多少即可．
【解答】解：∵1，2，3，4，5中的奇数有3个：1、3、5，
∴取出的小球标号是奇数的概率是：3÷5＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　45°　．

【考点】KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°．
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，
AB＝AE，
∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°，
∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．
17．（3分）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC＝60°，则k＝　　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】首先根据点A在双曲线y＝（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA＝2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．
【解答】解：因为点A在双曲线y＝（x＞0）上，设A点坐标为（a，），
因为四边形OABC是菱形，且∠AOC＝60°，
所以OA＝2a，
可得B点坐标为（3a，），
可得：k＝，
故答案为：
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B点坐标，即可算出反比例函数解析式．
18．（3分）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　13　．

【考点】13：数轴；38：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A12表示的数为16+3＝19，则可判断点An与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．
【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8；
…；
则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，
A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19，
所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）
19．（6分）计算：20150+（﹣1）2﹣2tan45°+．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1+1﹣2×1+2
＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）﹣1，其中x＝．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式＝2x，然后把x＝代入计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣x2+x2+2x﹣1
＝2x，
当x＝时，原式＝2×＝1．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
四、解答题
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．

【考点】P7：作图﹣轴对称变换；R8：作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；
（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．
【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，
线段BC旋转过程中所扫过得面积S＝＝．

【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．
22．（8分）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求全班学生人数和m的值．
（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
分组
分数段（分）
频数
A
36≤x＜41
2
B
41≤x＜46
5
C
46≤x＜51
15
D
51≤x＜56
m
E
56≤x＜61
10

【考点】V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图；W4：中位数；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；
（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%＝50（人）；
m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；

（2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51﹣56分数段；

（3）如图所示：
将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1

A1
A2
B1
A1

（A1，A2）
（A1，B1）
A2
（A2，A1）

（A2，B1）
B1
（B1，A1）
（B1，A2）

P（一男一女）＝＝．
【点评】此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE＝CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若∠DEB＝90°，求证：四边形DEBF是矩形．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）由在▱ABCD中，AE＝CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．
（2）由在▱ABCD中，且AE＝CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB＝90°，可证得四边形DEBF是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．
24．（10分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积．
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

【考点】HE：二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；
（3）根据图象2，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解y与x的函数关系式，再建立x与a的函数关系，进而得出y与a的函数关系式，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；
（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）＝×60×40，
解以上式子可得：a1＝5，a2＝45（舍去），
答：所以通道的宽为5米；
（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，通道宽为a；
x花圃＝（40﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣200a+2400；
x通道＝60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）＝﹣4a2+200a，
而y1是过原点和（1200，4800）的直线解析式为y1＝40x，
当（40﹣2a）（60﹣2a）＝800时，a＝40或a＝10，
∴y2＝（此函数关系式是费用面积的关系式）
∴y2＝（此函数关系式是费用通道宽度的关系式）
则y＝y1+y2＝
当a＝2时，y有最小值，最小值为105920；
所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC＝CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝，求AD的长．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC＝∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC＝OB，于是得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠OCB＝∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；
（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD＝3，DE＝3，BE＝6，在Rt△DAH中，AD＝＝＝．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC＝CG，
∴，
∴∠ABC＝∠CBG，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴，
∴，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OB，
∴OC＝OE，
∵∠ECO＝90°，
∴∠E＝30°；

（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E＝30°
∴∠EBD＝60°，
∴∠CBD＝EBD＝30°，
∵CD＝，
∴BD＝3，DE＝3，BE＝6，
∴AE＝BE＝2，
∴AH＝1，
∴EH＝，
∴DH＝2，
在Rt△DAH中，AD＝＝＝．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y＝ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若直线y＝﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）如图1，由AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1，由于∠AOB＝90°，得到OE＝AB＝1，求出A（﹣1，1）、B（1，1），把x＝1时，y＝1代入y＝ax2得：a＝1得到抛物线的解析式y＝x2，A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB＝﹣1
（2）如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N得到∠AMO＝∠BNO＝90°，证出△AMO∽△BON，得到OM•ON＝AM•BN，设A（xA，yA），B（xB，yB），由于A（xA，yA），B（xB，yB）在y＝x2图象上，得到yA＝，yB＝，即可得到结论；
（3）设A（m，m2），B（n，n2）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn＝﹣1．再联立直线m：y＝kx+b与抛物线y＝x2的解析式，由根与系数关系得到：mn＝﹣b，所以b＝1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图1，∵AB与x轴平行，
根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1，
∵∠AOB＝90°，
∴OE＝AB＝1，
∴A（﹣1，1）、B（1，1），
把x＝1时，y＝1代入y＝ax2得：a＝1，
∴抛物线的解析式y＝x2，
A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB＝﹣1

（2）xA•xB＝﹣1为常数，
如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠MAO+∠AOM＝∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠MAO＝∠BON，
∴△AMO∽△BON，
∴，
∴OM•ON＝AM•BN，
设A（xA，yA），B（xB，yB），
∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y＝x2图象上，
∴，yA＝，yB＝，
∴﹣xA•xB＝yA•yB＝•，
∴xA•xB＝﹣1为常数；

（3）设A（m，m2），B（n，n2），
如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．
∴，即，整理得：mn（mn+1）＝0，
∵mn≠0，∴mn+1＝0，即mn＝﹣1．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，联立，得：x2﹣kx﹣b＝0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn＝﹣b．
∴b＝1．
∵直线AB与y轴交于点D，则OD＝1．
易知C（0，﹣2），OC＝2，∴CD＝OC+OD＝3．
∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝3．
设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG＝﹣a，GD＝OG﹣OD＝﹣2a﹣3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2＝PD2，
即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2＝32，整理得：5a2+12a＝0，
解得a＝0（舍去）或a＝﹣，
当a＝﹣时，﹣2a﹣2＝，
∴P（﹣，）．

【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第（3）问中，注意根与系数关系的应用．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有