2013年天津高考文科数学试题及答案(Word版).doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
第Ⅰ卷
参考公式:
如果事件A, B互斥, 那么

·棱柱的体积公式V = Sh，
其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高.
·如果事件A, B相互独立, 那么

·球的体积公式
其中R表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则
(A) (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]
(2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为
(A) －7 (B) －4
(C) 1 (D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n的值为

(A) 7 (B) 6
(C) 5 (D) 4
(4) 设, 则 “”是“”的
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
(5) 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则
(A) (B) 1
(C) 2 (D)
(6) 函数在区间上的最小值是
(A) (B)
(C) (D) 0
(7) 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间上单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设函数. 若实数a, b满足, 则
(A) (B)
(C) (D)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9) i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .
(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .
(11) 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .
(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .
(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为 .

(14) 设a + b = 2, b>0, 则的最小值为 .

三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x, y, z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x, y, z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品,
(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;
(⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.
(16) (本小题满分13分)
在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a = 3, .
(Ⅰ) 求b的值;
(Ⅱ) 求的值.

(17) (本小题满分13分)
如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.
(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

(18) (本小题满分13分)
设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左,右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.

(19) (本小题满分14分)
已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 证明.

(20) (本小题满分14分)
设, 已知函数
(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明.

2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。每小题5分。满分40分。
（1）D （2）A （3）D （4）A
（5）C （6）B （7）C （8）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
（9）5-5i （10） （11）
（12） （13） （14）

三、解答题
（15）本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力。满分13分。
（I）解：计算10件产品的综合指标S，如下表:
产品编号

4
4
6
3
4
5
4
5
3
5

其中S≤4的有，，，，，，共6件，故该样本的一等品率为=0.6，
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
（II）
（i）解：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为，，，，， ，，，，，，，，，，共15种.
（ii）解：在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为，， ，，则事件B发生的所有可能结果为，，，，，共6种。
所以P(B)= .

（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式
、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分13分。
（I）解：在中，由=，可得,又由，可得a=3c，又a=3，故c=1.

由，=，可得
（II）解：由=，得=，进而得==，.
所以sin=sin

（17）本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。

（I）证明：如图，在三棱柱中，
∥，且=，连接ED，在中，因为D,E分别为AB, BC的中点，所以DE=且DE∥AC，又因为F为的中点，可得,且∥，即四边形为平行四边形，所以∥ 又平面,平面，所以，∥平面。
（II）证明：由于底面是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱⊥底面，CD平面，所以⊥CD，又，因此CD⊥平面，而CD平面，所以平面⊥。
（III）解：在平面内，过点B作BG⊥交直线于点G，连接CG. 由于平面⊥平面，而直线是平面与平面的交线，故BG⊥平面。由此得为直线BC与平面所成的角。
设棱长为a，可得，由∽，易得BG。在Rt中，sin.
所以直线BC与平面所成角的正弦值为。

（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分13分。

（I）解：设F（），由知. 过点F且与轴垂直的直线为，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，c=1，所以椭圆的方程为.
（II）解：设点，,由F（-1，0）得直线CD的方程为，由方程组消去，整理得.

求解可得，. 因为A(),，所以=（）+
==

=.
由已知得=8，解得

（19）本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识. 考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.
（I）解：设等比数列的公比为q，因为, , 成等差数列，所以+=，即=，可得2，于是. 又，所以等比数列的通项公式为.
（II）证明：
=
当n为奇数时，随的增大而减小，所以≤
当n为偶数时，随的增大而减小，所以≤
故对于≤
（20）本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想、化归思想、函数思想. 考查综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分。
（I）证明：设函数，
① =由，从而当＜＜0时，= ＜3，所以函数在区间内单调递减.
② =，由于，所以当0＜＜1时，＜0；当＞1时，＞0. 即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.
综合①，②及，可知函数在区间（-1,1）内单调递减，在区间内单调递增.

（II）证明：由（I）知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增. 因为曲线在点（i=1,2,3）处的切线相互平行，从而互不相等，且. 不防设＜0＜＜，由，
可得，解得，从而0＜＜＜.
设，则＜＜.
由＜，解得＜＜0，所以++＞，设，则，因为，所以，故++＞，
即++＞.