2015年四川省德阳市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的倒数为（　　）
A． B．3 C．﹣3 D．﹣1
2．（3分）为了考察一批电视机的使用寿命，从中任意抽取了10台进行实验，在这个问题中样本是（　　）
A．抽取的10台电视机 B．这一批电视机的使用寿命
C．10 D．抽取的10台电视机的使用寿命
3．（3分）中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
4．（3分）如图，已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于N，M两点，MG平分∠EMD，若∠BNE＝30°，则∠EMG等于（　　）

A．15° B．30° C．75° D．150°
5．（3分）下列事件发生的概率为0的是（　　）
A．射击运动员只射击1次，就命中靶心
B．任取一个实数x，都有|x|≥0
C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm
D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为6
6．（3分）如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣2 B．π﹣ C．π D．2
7．（3分）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（　　）

A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3
8．（3分）将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（　　）种．
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（　　）

A．60° B．45° C．30° D．75°
10．（3分）如图，在一次函数y＝﹣x+6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝（　　）

A．150° B．160° C．130° D．60°
12．（3分）已知m＝x+1，n＝﹣x+2，若规定y＝，则y的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：a3﹣a＝　 　．
14．（3分）不等式组的解集为　 　．
15．（3分）在某次军事夏令营射击考核中，甲、乙两名同学各进行了5次射击，射击成绩如图所示，则这两人中水平发挥较为稳定的是　 　同学．

16．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，Pn，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，Pn﹣1Pn＝2n﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，Pn向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Qn，则点Qn的坐标为　 　．

17．（3分）下列四个命题中，正确的是　 　（填写正确命题的序号）
①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
②函数y＝（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a＝；
③半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为3；
④若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1．
三、解答题（共69分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）计算：2﹣1+tan45°﹣|2﹣|+÷．

19．（7分）如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM＝2∠BAM．
（1）求证：AG＝BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG＝1，求三角形ADG的面积．

20．（11分）希望学校八年级共有4个班，在世界地球日来临之际，每班各选拔10名学生参加环境知识竞赛，评出了一、二、三等奖各若干名，校学生会将获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请依据图中信息解答下列问题：
（1）本次竞赛获奖总人数为　 　人；获奖率为　 　；
（2）补全折线统计图；
（3）已知获得一等奖的4人为每班各一人，学校采取随机抽签的方式在4人中选派2人参加上级团委组织的“爱护环境、保护地球”夏令营，请用列举法求出抽到的两人恰好来自二、三班的概率．

21．（10分）如图，直线y＝x+1和y＝﹣x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A的双曲线y＝（x＞0）与直线y＝﹣x+3的另一交点为点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求△BCD的面积．

22．（10分）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．
（1）求面料和里料的单价；
（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．
①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润＝销售价﹣布料成本﹣固定费用）
②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．

23．（11分）如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC＝60°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

24．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．

2015年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的倒数为（　　）
A． B．3 C．﹣3 D．﹣1
【考点】17：倒数．
【分析】直接根据倒数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵（﹣）×（﹣3）＝1，
∴﹣的倒数为﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2．（3分）为了考察一批电视机的使用寿命，从中任意抽取了10台进行实验，在这个问题中样本是（　　）
A．抽取的10台电视机
B．这一批电视机的使用寿命
C．10
D．抽取的10台电视机的使用寿命
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．
【分析】根据样本的定义即可得出答案．
【解答】解：根据样本的定义可知为了考察一批电视机的使用寿命，从中任意抽取了10台进行实验，
则10台电视机的使用寿命是样本，
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的有关定义，掌握样本、总体、个体、样本容量等概念是解题的关键．
3．（3分）中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370000＝3.7×105，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于N，M两点，MG平分∠EMD，若∠BNE＝30°，则∠EMG等于（　　）

A．15° B．30° C．75° D．150°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠MND的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠BNE＝30°，
∴∠DME＝∠BNE＝30°．
∵MG是∠EMD的角平分线，
∴∠EMG＝∠EMD＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
5．（3分）下列事件发生的概率为0的是（　　）
A．射击运动员只射击1次，就命中靶心
B．任取一个实数x，都有|x|≥0
C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm
D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为6
【考点】X3：概率的意义．
【专题】11：计算题．
【分析】找出不可能事件，即为概率为0的事件．
【解答】解：事件发生的概率为0的是画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm．
故选：C．
【点评】此题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解本题的关键．
6．（3分）如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣2 B．π﹣ C．π D．2
【考点】MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算．
【分析】首先根据⊙O的周长为4π，求出⊙O的半径是多少；然后根据的长为π，可得的长等于⊙O的周长的，所以∠AOB＝90°；最后用⊙O的面积的减去△AOB的面积，求出图中阴影部分的面积为多少即可．
【解答】解：∵⊙O的周长为4π，
∴⊙O的半径是r＝4π÷2π＝2，
∵的长为π，
∴的长等于⊙O的周长的，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝＝π﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
7．（3分）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（　　）

A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】首先根据商品的外包装盒的三视图确定几何体的形状是圆柱，然后根据圆柱的体积＝底面积×高，求出这个包装盒的体积是多少即可．
【解答】解：根据图示，可得
商品的外包装盒是底面直径是10cm，高是20cm的圆柱，
∴这个包装盒的体积是：
π×（10÷2）2×20
＝π×25×20
＝500π（cm3）．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了由三视图想象几何体的形状，首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）此题还考查了圆柱的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：圆柱的体积＝底面积×高．
8．（3分）将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（　　）种．
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】首先根据题意画出函数图象，然后平移直线y＝k+b，找出两函数图象的交点个数即可．
【解答】解：如图1，所示：函数图象没有交点．

如图2所示：函数图象有1个交点．

如图3所示，图象有两个交点．

如图4所示函数图象有3个交点．

如图5所示，图象有4个交点．

综上所述，共有5种情况．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数图象的交点问题，根据题意画出函数图象是解答此类问题的常用方法．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（　　）

A．60° B．45° C．30° D．75°
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；P2：轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质可知∠CED＝∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED＝60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，
∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，
∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠B＝∠CED＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CED＝60°．
10．（3分）如图，在一次函数y＝﹣x+6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分两种情况：①当0＜x＜6时，②当x＜0时列出方程，分别求解即可．
【解答】解：①当0＜x＜6时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴x（﹣x+6）＝5，化简x2﹣6x+5＝0，解得x1＝1，x2＝5，
∴P1（1，5），P2（5，1），
②当x＜0时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴﹣x（﹣x+6）＝5，化简x2﹣6x﹣5＝0，解得x3＝3﹣，x4＝3+（舍去），
∴P3（3﹣，3+），
∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，解题的关键是要分两种情况讨论求解．
11．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝（　　）

A．150° B．160° C．130° D．60°
【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质；L3：多边形内角与外角．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD＝60°，再求出∠BAD＝60°，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠E＝180°﹣∠EAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∴∠BAD＝∠EAB﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，
在四边形ABCD中，∠BCD＝（360°﹣∠BAD）＝（360°﹣60°）＝150°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
12．（3分）已知m＝x+1，n＝﹣x+2，若规定y＝，则y的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【考点】F5：一次函数的性质．
【专题】16：压轴题；23：新定义．
【分析】根据x+1≥﹣x+2和x+1＜﹣x+2得出x的取值范围，列出关系式解答即可．
【解答】解：因为m＝x+1，n＝﹣x+2，
当x+1≥﹣x+2时，可得：x≥0.5，则y＝1+x+1+x﹣2＝2x，则y的最小值为1；
当x+1＜﹣x+2时，可得：x＜0.5，则y＝1﹣x﹣1﹣x+2＝﹣2x+2，则y＞1，
故选：B．
【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据题意列出关系式分析．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：a3﹣a＝　a（a+1）（a﹣1）　．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】44：因式分解．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
14．（3分）不等式组的解集为　﹣1＜x≤3　．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
由①得x＞﹣1，
由②得x≤3．
故原不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
故答案为：﹣1＜x≤3．
【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
15．（3分）在某次军事夏令营射击考核中，甲、乙两名同学各进行了5次射击，射击成绩如图所示，则这两人中水平发挥较为稳定的是　甲　同学．

【考点】VC：条形统计图；W7：方差．
【分析】先根据平均数的定义分别计算出甲和乙的平均数，甲＝乙＝7；再根据方差的计算公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]计算出它们的方差，然后根据方差的意义即可确定答案．
【解答】解：∵甲＝（6+7+6+8+8）＝7，乙＝（5+7+8+8+7）＝7；
∴S2甲＝[（6﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2＝，
S2乙＝[（5﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2＝；
∴S2甲＜S2乙，
∴甲在射击中成绩发挥比较稳定．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的定义和意义：数据x1，x2，…xn，其平均数为，则其方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定．
16．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，Pn，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，Pn﹣1Pn＝2n﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，Pn向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Qn，则点Qn的坐标为　（n2，n2）　．

【考点】D5：坐标与图形性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】2A：规律型．
【分析】利用特殊直角三角形求出OPn的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Qn的坐标．
【解答】解：∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，
∴∠AOC＝30°，
又∵Pn﹣1Pn＝2n﹣1，PnQn⊥OA，
∴OQn＝（OP1+P1P2+P2P3+…+Pn﹣1Pn）＝（1+3+5+…+2n﹣1）＝n2，
∴Qn的坐标为（n2•cos60°，n2•sin60°），
∴Qn的坐标为（n2，n2）．
故答案为：（n2，n2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确的求出OQn的值．
17．（3分）下列四个命题中，正确的是　①④　（填写正确命题的序号）
①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
②函数y＝（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a＝；
③半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为3；
④若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据三角形的外心定义对①进行判断；利用分类讨论的思想对②③进行判断；根据不等式的性质对④进行判断．
【解答】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以①正确；
函数y＝（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a＝或1，所以②错误；
半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为1或3；
若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1，所以④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
三、解答题（共69分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）计算：2﹣1+tan45°﹣|2﹣|+÷．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及负整数指数幂的计算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
【解答】解：原式＝+1﹣（3﹣2）+3÷2
＝﹣1+
＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知特殊角的三角函数值、绝对值的性质及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．
19．（7分）如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM＝2∠BAM．
（1）求证：AG＝BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG＝1，求三角形ADG的面积．

【考点】L8：菱形的性质．
【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角，得出∠ABD＝∠CBD，再根据∠ABM＝2∠BAM，得出∠ABD＝∠BAM，然后根据等角对等边证明即可．
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABM＝2∠BAM，
∴∠ABD＝∠BAM，
∴AG＝BG；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△MBG，
∴＝，
∵点M为BC的中点，
∴＝2，
∴＝（）2＝4
∵S△BMG＝1，
∴S△ADG＝4．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
20．（11分）希望学校八年级共有4个班，在世界地球日来临之际，每班各选拔10名学生参加环境知识竞赛，评出了一、二、三等奖各若干名，校学生会将获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请依据图中信息解答下列问题：
（1）本次竞赛获奖总人数为　20　人；获奖率为　50%　；
（2）补全折线统计图；
（3）已知获得一等奖的4人为每班各一人，学校采取随机抽签的方式在4人中选派2人参加上级团委组织的“爱护环境、保护地球”夏令营，请用列举法求出抽到的两人恰好来自二、三班的概率．

【考点】VB：扇形统计图；VD：折线统计图；X6：列表法与树状图法．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）先利用扇形统计图计算出一等奖所占的百分比，然后用一等奖的人数除以它所占百分比即可得到获奖总人数，再计算获奖率；
（2）分别计算出二、三等奖的人数，然后补全折线统计图；
（3）利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：（1）本次竞赛获奖总人数＝4÷＝20（人），获奖率＝×100%＝50%；
故答案为20；50%；
（2）三等奖的人数＝20×50%＝10（人），二等奖的人数＝20﹣4﹣10＝6（人），
折线统计图为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽到的两人恰好来自二、三班的有2种情况，
所以抽到的两人恰好来自二、三班的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了折线统计图和扇形统计图的应用，根据题意结合图形得出正确信息是解题关键．
21．（10分）如图，直线y＝x+1和y＝﹣x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A的双曲线y＝（x＞0）与直线y＝﹣x+3的另一交点为点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求△BCD的面积．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）先通过解方程组得A（1，2），然后把A（1，2）代入y＝中求出k的值即可得到反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题，通过解方程组得D（2，1），再利用x轴上点的坐标特征确定B点和C点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）解方程组得，
则A（1，2），
把A（1，2）代入y＝得k＝1×2＝2，
所以反比例函数解析式为y＝；
（2）解方程组得或，
则D（2，1），
当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，则B（﹣1，0）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C（3，0），
所以△BCD的面积＝×（3+1）×1＝2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
22．（10分）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．
（1）求面料和里料的单价；
（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．
①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润＝销售价﹣布料成本﹣固定费用）
②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．
【考点】8A：一元一次方程的应用；B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据成本为76元列方程求解即可；
（2）设打折数为m，根据利润大于等于30元列不等式求解即可；
（3）设vip客户享受的降价率为x，然后根据VIP客户与普通用户批发件数相同列方程求解即可．
【解答】解：（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米．
根据题意得：0.8x+1.2（2x+10）＝76．
解得：x＝20．
2x+10＝2×20+10＝50．
答：面料的单价为50元/米，里料的单价为20元/米．
（2）设打折数为m．
根据题意得：150×﹣76﹣14≥30．
解得：m≥8．
∴m的最小值为8．
答：m的最小值为8．
（3）150×0.8＝120元．
设vip客户享受的降价率为x．
根据题意得：，
解得：x＝0.05
经检验x＝0.05是原方程的解．
答；vip客户享受的降价率为5%．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程、一元一次不等式、分式方程的应用，找出题目的相等关系和不等关系是解题的关键．
23．（11分）如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC＝60°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【考点】KK：等边三角形的性质；MD：切线的判定．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）连结OB、OD、OC，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得OD⊥BC，∠BOD＝∠COD，再根据圆周角定理得∠BOD＝∠M＝60°，则∠OBD＝30°，所以∠ABO＝90°，于是根据切线的判定定理得AB是⊙O的切线；
（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，则利用角平分线性质得DH＝DN，根据四边形内角和得∠HDN＝120°，由于∠EDF＝120°，所以∠HDE＝∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE＝NF，于是BE+CF＝BH+CN，再计算出BH＝BD，CN＝DC，则BE+CF＝BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．
【解答】（1）证明：连结OB、OD、OC，如图1，
∵D为BC的中点，
∴OD⊥BC，∠BOD＝∠COD，
∴∠ODB＝90°，
∵∠BMC＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠M＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝60°
∴∠ABO＝60°+30°＝90°，
∴AB⊥OB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：BE+CF的值是为定值．
作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴DH＝DN，∠HDN＝120°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠HDE＝∠NDF，
在△DHE和△DNF中，
，
∴△DHE≌△DNF，
∴HE＝NF，
∴BE+CF＝BH﹣EH+CN+NF＝BH+CN，
在Rt△DHB中，∵∠DBH＝60°，
∴BH＝BD，
同理可得CN＝OC，
∴BE+CF＝DB+DC＝BC，
∵BD＝OB•cos30°＝，
∴BC＝2，
∴BE+CF的值是定值，为．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．
24．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF，
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a），
＝﹣﹣a+，
＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣，）；

（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA＝PA1，∠APA1＝90°，
如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA1+∠MPA＝∠NA1P+∠NPA1＝90°，
∴∠NA1P＝∠NPA，
在△A1NP与△PMA中，
，
∴△A1NP≌△PMA，
∴A1N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A1（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A，2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2＝90°，∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2），
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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