高中数学立体几何知识点及练习题知识讲解.doc

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点、直线、平面之间的关系
㈠ 平面的基本性质
公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。

㈡ 空间图形的位置关系
1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面)
1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a∥b，b∥c a∥c
1.2 异面直线
定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
1.3 异面直线所成的角
⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°].
⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。

2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)
3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)

㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行)
1 线面平行
1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
1.2 判定定理：

1.3 性质定理：

2 线面角：
图2-3 线面角
2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]

3 面面平行
3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
3.2 面面平行的判定定理：
⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：
图2-5 判定1推论

⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：

图2-6 判定2
3.3 面面平行的性质定理
⑴ (面面平行线面平行)

⑵

⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。

㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)
1 线面垂直
1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
1.2 线面垂直的判定定理：

1.3 线面垂直的性质定理：
⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即
⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即：
★1.4 三垂线定理及其逆定理图2-7 斜线定理

已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面
α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
2 面面斜交和二面角
2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。
2.2 二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°]

3 面面垂直
3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。
3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：

3.3 面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
⑵

图2-10 面面垂直性质2

⑶

图2-11 面面垂直性质3

⑷

例题分析
例1、(1)已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有( )条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是 ( ).
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90

例2、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
求证：MN⊥AB；

例3、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB1⊥平面CED；

人民广场地铁站有一家名为“漂亮女生”的饰品店，小店新开，10平方米不到的店堂里挤满了穿着时尚的女孩子。不几日，在北京东路、淮海东路也发现了“漂亮女生”的踪影，生意也十分火爆。现在上海卖饰品的小店不计其数，大家都在叫生意难做，而“漂亮女生”却用自己独特的经营方式和魅力吸引了大批的女生。（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

（4）牌子响

在现代文化影响下，当今大学生对新鲜事物是最为敏感的群体，他们最渴望为社会主流承认又最喜欢标新立异，他们追随时尚，同时也在制造时尚。“DIY自制饰品”已成为一种时尚的生活方式和态度。在“DIY自制饰品”过程中实现自己的个性化追求，这在年轻的学生一代中尤为突出。“DIY自制饰品”的形式多种多样，对于动手能力强的学生来说更受欢迎。

（四）大学生对手工艺制品消费的要求

在上海， 随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。例4、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；

服饰□ 学习用品□ 食品□ 休闲娱乐□ 小饰品□（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；

附件（一）：

3、竞争对手分析

（2） 缺乏经营经验例5．如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中， 求证：A1C⊥平BDC1；

十几年的学校教育让我们大学生掌握了足够的科学文化知识，深韵的文化底子为我们创业奠定了一定的基础。特别是在大学期间，我们学到的不单单是书本知识，假期的打工经验也帮了大忙。

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