2017年浙江省丽水市中考数学试卷(含解析版).doc
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2017年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.(3分)在数1,0,﹣1,﹣2中,最大的数是( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 2.(3分)计算a2•a3,正确结果是( ) A.a5 B.a6 C.a8 D.a9 3.(3分)如图是底面为正方形的长方体,下面有关它的三个视图的说法正确的是( ) A.俯视图与主视图相同 B.左视图与主视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三个视图都相同 4.(3分)根据PM2.5空气质量标准:24小时PM2.5均值在0∽35(微克/立方米)的空气质量等级为优.将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表,这组PM2.5数据的中位数是( ) 天数 3 1 1 1 1 PM2.5 18 20 21 29 30 A.21微克/立方米 B.20微克/立方米 C.19微克/立方米 D.18微克/立方米 5.(3分)化简+的结果是( ) A.x+1 B.x﹣1 C.x2﹣1 D. 6.(3分)若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数,则m的取值范围是( ) A.m≥2 B.m>2 C.m<2 D.m≤2 7.(3分)如图,在▱ABCD中,连结AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是( ) A. B.2 C.2 D.4 8.(3分)将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移1个单位 9.(3分)如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( ) A. B.﹣2 C. D.﹣ 10.(3分)在同一条道路上,甲车从A地到B地,乙车从B地到A地,乙先出发,图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象,下列说法错误的是( ) A.乙先出发的时间为0.5小时 B.甲的速度是80千米/小时 C.甲出发0.5小时后两车相遇 D.甲到B地比乙到A地早小时 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11.(4分)分解因式:m2+2m= . 12.(4分)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是 . 13.(4分)已知a2+a=1,则代数式3﹣a﹣a2的值为 . 14.(4分)如图,由6个小正方形组成的2×3网格中,任意选取5个小正方形并涂黑,则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 . 15.(4分)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为 . 16.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+m分别交x轴,y轴于A,B两点,已知点C(2,0). (1)当直线AB经过点C时,点O到直线AB的距离是 ; (2)设点P为线段OB的中点,连结PA,PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值是 . 三、解答题(本大题共8小题,第17-19题每题6分,第20,21题每题8分,第22,23题每题10分,第24题12分,共66分) 17.(6分)计算:(﹣2017)0﹣()﹣1+. 18.(6分)解方程:(x﹣3)(x﹣1)=3. 19.(6分)如图是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15m,AB=2.70m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1m).(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75) 20.(8分)在全体丽水人民的努力下,我市剿灭劣V类水“河道清淤”工程取得了阶段性成果,如表是全市十个县(市、区)指标任务数的统计表;如图是截止2017年3月31日和截止5月4日,全市十个县(市、区)指标任务累计完成数的统计图. 全市十个县(市、区)指标任务数统计表 县(市、区) A B C D E F G H I J 合计 任务数(万方) 25 25 20 12 13 25 16 25 11 28 200 (1)截止3月31日,完成进度(完成进度=累计完成数÷任务数×100%)最快、最慢的县(市、区)分别是哪一个? (2)求截止5月4日全市的完成进度; (3)请结合图表信息和数据分析,对Ⅰ县完成指标任务的行动过程和成果进行评价. 21.(8分)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售,记汽车行驶时为t小时,平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时).根据经验,v,t的一组对应值如下表: v(千米/小时) 75 80 85 90 95 t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式; (2)汽车上午7:30从丽水出发,能否在上午10:00之前到达杭州市场?请说明理由; (3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范围. 22.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E. (1)求证:∠A=∠ADE; (2)若AD=16,DE=10,求BC的长. 23.(10分)如图1,在△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动,点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示. (1)求a的值; (2)求图2中图象C2段的函数表达式; (3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积,求x的取值范围. 24.(12分)如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连结BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设=n. (1)求证:AE=GE; (2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值; (3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值. 2017年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.(3分)(2017•丽水)在数1,0,﹣1,﹣2中,最大的数是( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【分析】根据有理数大小比较的规律即可得出答案. 【解答】解:﹣2<﹣1<0<1, 所以最大的数是1, 故选D. 【点评】本题考查了有理数大小比较的方法. (1)在数轴上表示的两点,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.(2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数.(3)两个正数中绝对值大的数大.(4)两个负数中绝对值大的反而小. 2.(3分)(2017•丽水)计算a2•a3,正确结果是( ) A.a5 B.a6 C.a8 D.a9 【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可. 【解答】解:a2•a3=a2+3=a5, 故选A. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算,掌握同底数幂的乘法运算法则:底数不变,指数相加是解题的关键. 3.(3分)(2017•丽水)如图是底面为正方形的长方体,下面有关它的三个视图的说法正确的是( ) A.俯视图与主视图相同 B.左视图与主视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三个视图都相同 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图,从左边看得到的图形是左视图,从上面看得到的图形是俯视图,可得答案. 【解答】解:A、俯视图是一个正方形,主视图是一个长方形,故A错误; B、左视图是一个长方形,主视图是个长方形,且两个长方形的长和宽分别相等,所以B正确; C、左视图是一个长方形,俯视图是一个正方形,故C错误; D、俯视图是一个正方形,主视图是一个长方形,左视图是一个长方形,故D错误; 故选:B. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的视图是主视图,从左边看得到的图形是左视图,从上面看得到的图形是俯视图. 4.(3分)(2017•丽水)根据PM2.5空气质量标准:24小时PM2.5均值在0∽35(微克/立方米)的空气质量等级为优.将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表,这组PM2.5数据的中位数是( ) 天数 3 1 1 1 1 PM2.5 18 20 21 29 30 A.21微克/立方米 B.20微克/立方米 C.19微克/立方米 D.18微克/立方米 【分析】按大小顺序排列这组数据,最中间那个数是中位数. 【解答】解:从小到大排列此数据为:18,18,18,20,21,29,30,位置处于最中间的数是:20, 所以组数据的中位数是20. 故选B. 【点评】此题主要考查了中位数.找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数. 5.(3分)(2017•丽水)化简+的结果是( ) A.x+1 B.x﹣1 C.x2﹣1 D. 【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果. 【解答】解:原式=﹣===x+1, 故选A 【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 6.(3分)(2017•丽水)若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数,则m的取值范围是( ) A.m≥2 B.m>2 C.m<2 D.m≤2 【分析】根据方程的解为负数得出m﹣2<0,解之即可得. 【解答】解:∵程x﹣m+2=0的解是负数, ∴x=m﹣2<0, 解得:m<2, 故选:C. 【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力,根据题意列出不等式是解题的关键. 7.(3分)(2017•丽水)如图,在▱ABCD中,连结AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是( ) A. B.2 C.2 D.4 【分析】证出△ACD是等腰直角三角形,由勾股定理求出AD,即可得出BC的长. 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB=2,BC=AD,∠D=∠ABC=∠CAD=45°, ∴AC=CD=2,∠ACD=90°, 即△ACD是等腰直角三角形, ∴BC=AD==2; 故选:C. 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明△ACD是等腰直角三角形是解决问题的关键. 8.(3分)(2017•丽水)将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移1个单位 【分析】根据平移规律,可得答案. 【解答】解:A、平移后,得y=(x+1)2,图象经过A点,故A不符合题意; B、平移后,得y=(x﹣3)2,图象经过A点,故B不符合题意; C、平移后,得y=x2+3,图象经过A点,故C不符合题意; D、平移后,得y=x2﹣1图象不经过A点,故D符合题意; 故选:D. 【点评】主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减. 9.(3分)(2017•丽水)如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( ) A. B.﹣2 C. D.﹣ 【分析】连接OC,根据已知条件得到∠ACB=90°,∠AOC=30°,∠COB=120°,解直角三角形得到AB=2AO=4,BC=2,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论. 【解答】解:连接OC, ∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点, ∴∠ACB=90°,∠AOC=60°,∠COB=120°, ∴∠ABC=30°, ∵AC=2, ∴AB=2AO=4,BC=2, ∴OC=OB=2, ∴阴影部分的面积=S扇形﹣S△OBC=﹣×2×1=π﹣, 故选A. 【点评】此题主要考查了扇形面积求法,利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键. 10.(3分)(2017•丽水)在同一条道路上,甲车从A地到B地,乙车从B地到A地,乙先出发,图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象,下列说法错误的是( ) A.乙先出发的时间为0.5小时 B.甲的速度是80千米/小时 C.甲出发0.5小时后两车相遇 D.甲到B地比乙到A地早小时 【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度,进而分析得出答案. 【解答】解:A、由图象横坐标可得,乙先出发的时间为0.5小时,正确,不合题意; B、∵乙先出发,0.5小时,两车相距(100﹣70)km,∴乙车的速度为:60km/h, 故乙行驶全程所用时间为:=1(小时), 由最后时间为1.75小时,可得乙先到到达A地, 故甲车整个过程所用时间为:1.75﹣0.5=1.25(小时), 故甲车的速度为:=80(km/h), 故B选项正确,不合题意; C、由以上所求可得,甲出发0.5小时后行驶距离为:40km,乙车行驶的距离为:60km,40+60=100,故两车相遇,故C选项正确,不合题意; D、由以上所求可得,乙到A地比甲到B地早:1.75﹣1=(小时),故此选项错误,符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题,解决本题的关键正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决. 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11.(4分)(2017•丽水)分解因式:m2+2m= m(m+2) . 【分析】根据提取公因式法即可求出答案. 【解答】解:原式=m(m+2) 故答案为:m(m+2) 【点评】本题考查因式分解,解题的关键是熟练运用提取公因式法,本题属于基础题型. 12.(4分)(2017•丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是 100° . 【分析】根据100°角是钝角判断出只能是顶角,然后根据等腰三角形两底角相等解答. 【解答】解:∵100°>90°, ∴100°的角是顶角, 故答案为:100°. 【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,先判断出100°的角是顶角是解题的关键. 13.(4分)(2017•丽水)已知a2+a=1,则代数式3﹣a﹣a2的值为 2 . 【分析】原式后两项提取﹣1变形后,将已知等式代入计算即可求出值. 【解答】解:∵a2+a=1, ∴原式=3﹣(a2+a)=3﹣1=2. 故答案为:2 【点评】此题考查了代数式求值,利用了整体代入的思想,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 14.(4分)(2017•丽水)如图,由6个小正方形组成的2×3网格中,任意选取5个小正方形并涂黑,则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 . 【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置,进而得出答案. 【解答】解:由题意可得:空白部分有6个位置,只有在1,2处时, 黑色部分的图形是轴对称图形,故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是:=. 故答案为:. 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确得出符合题意的位置是解题关键. 15.(4分)(2017•丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为 10 . 【分析】根据正方形面积公式,由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积,进一步得到1个直角三角形的面积,再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积,进一步求出正方形EFGH的边长. 【解答】解:(14×14﹣2×2)÷8 =(196﹣4)÷8 =192÷8 =24, 24×4+2×2 =96+4 =100, =10. 答:正方形EFGH的边长为10. 故答案为:10. 【点评】考查了勾股定理的证明,关键是熟练掌握正方形面积公式,以及面积的和差关系,难点是得到正方形EFGH的面积. 16.(4分)(2017•丽水)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+m分别交x轴,y轴于A,B两点,已知点C(2,0). (1)当直线AB经过点C时,点O到直线AB的距离是 ; (2)设点P为线段OB的中点,连结PA,PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值是 12 . 【分析】(1)把点C的坐标代入函数解析式求得m的值;然后结合一次函数解析式求得A、B的坐标,然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是 ; (2)典型的“一线三等角”,构造相似三角形△PCD∽△APB,对m的取值分析进行讨论,在m<0时,点A在x轴的负半轴,二此时,∠APC>∠OBA=45°,不合题意;故m>0.由相似比求得边的相应关系. 【解答】解:(1)当直线AB经过点C时,点A与点C重合, 当x=2时,y=﹣2+m=0,即m=2, 所以直线AB的解析式为y=﹣x+2,则B(0,2). ∴OB=OA=2,AB=2. 设点O到直线AB的距离为d, 由S△OAB=OA2=AB•d,得 4=2d, 则d=. 故答案是:. (2)作OD=OC=2,连接CD.则∠PDC=45°,如图, 由y=﹣x+m可得A(m,0),B(0,m). 所以OA=OB, 则∠OBA=∠OAB=45°. 当m<0时,∠APC>∠OBA=45°, 所以,此时∠CPA>45°,故不合题意. 所以m>0. 因为∠CPA=∠ABO=45°, 所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°,即∠OPC=∠BAP,则△PCD∽△APB, 所以=,即=, 解得m=12. 故答案是:12. 【点评】本题考查了一次函数综合题.需要掌握待定系数法求一次函数解析式,相似三角形的判定与性质,三角形面积的求法等知识点,另外,解题时,注意分类讨论数学思想的应用. 三、解答题(本大题共8小题,第17-19题每题6分,第20,21题每题8分,第22,23题每题10分,第24题12分,共66分) 17.(6分)(2017•丽水)计算:(﹣2017)0﹣()﹣1+. 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简3个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】解:(﹣2017)0﹣()﹣1+ =1﹣3+3 =1. 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算. 18.(6分)(2017•丽水)解方程:(x﹣3)(x﹣1)=3. 【分析】先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程. 【解答】解:方程化为x2﹣4x=0, x(x﹣4)=0, 所以x1=0,x2=4. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法. 19.(6分)(2017•丽水)如图是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15m,AB=2.70m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1m).(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75) 【分析】作AE⊥CD于E,BF⊥AE于F,则四边形EFBC是矩形,汽车AF、EF即可解决问题. 【解答】解:作AE⊥CD于E,BF⊥AE于F,则四边形EFBC是矩形, ∵OD⊥CD,∠BOD=70°, ∴AE∥OD, ∴∠A=∠BOD=70°, 在Rt△AFB中,∵AB=2.7, ∴AF=2.7×cos70°=2.7×0.34=0.918, ∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1m, 答:端点A到地面CD的距离是1.1m. 【点评】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 20.(8分)(2017•丽水)在全体丽水人民的努力下,我市剿灭劣V类水“河道清淤”工程取得了阶段性成果,如表是全市十个县(市、区)指标任务数的统计表;如图是截止2017年3月31日和截止5月4日,全市十个县(市、区)指标任务累计完成数的统计图. 全市十个县(市、区)指标任务数统计表 县(市、区) A B C D E F G H I J 合计 任务数(万方) 25 25 20 12 13 25 16 25 11 28 200 (1)截止3月31日,完成进度(完成进度=累计完成数÷任务数×100%)最快、最慢的县(市、区)分别是哪一个? (2)求截止5月4日全市的完成进度; (3)请结合图表信息和数据分析,对Ⅰ县完成指标任务的行动过程和成果进行评价. 【分析】(1)利用条形统计图结合表格中数据分别求出C,I两县的完成进度; (2)利用条形统计图结合表格中数据求出总的完成进度; (3)可从识图能力、数据分析能力以及综合运用能力分析得出答案. 【解答】解:(1)C县的完全成进度=×100%=107%; I县的完全成进度=×100%≈27.3%, 所以截止3月31日,完成进度最快的是C县,完成进度最慢的是I县; (2)全市的完成进度=(20.5+20.3+27.8+9.6+8.8+17.1+9.6+21.4+11.5+25.2)÷200×100% =171.8÷200×100% =85.9%; (3)A类(识图能力):能直接根据统计图的完成任务数对I县作出评价; B类(数据分析能力):能结合统计图通过计算完成对I县作出评价, 如:截止5月4日,I县的完成进度=×100%≈104.5%,超过全市完成进度; C类(综合运用能力):能利用两个阶段的完成进度、全市完成进度的排序等方面对I县作出评价, 如:截止3月31日,I县的完成进度=×100%≈27.3%,完成进度全市最慢; 截止5月4日,I县的完成进度=×100%≈104.5%,超过全市完成进度, 104.5%﹣27.3%=77.2%,与其它县(市、区)对比进步幅度最大. 【点评】此题主要考查了条形统计图以及统计表的综合应用,利用图表获取正确信息是解题关键. 21.(8分)(2017•丽水)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售,记汽车行驶时为t小时,平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时).根据经验,v,t的一组对应值如下表: v(千米/小时) 75 80 85 90 95 t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式; (2)汽车上午7:30从丽水出发,能否在上午10:00之前到达杭州市场?请说明理由; (3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范围. 【分析】(1)根据表格中数据,可知V是t的反比例函数,设V=,利用待定系数法求出k即可; (2)根据时间t=2.5,求出速度,即可判断; (3)根据自变量的取值范围,求出函数值的取值范围即可; 【解答】解:(1)根据表格中数据,可知V=, ∵v=75时,t=4, ∴k=75×4=300, ∴v=. (2)∵10﹣7.5=2.5, ∴t=2.5时,v==120>100, ∴汽车上午7:30从丽水出发,不能在上午10:00之前到达杭州市场. (3)∵3.5≤t≤4, ∴75≤v≤, 答:平均速度v的取值范围是75≤v≤. 【点评】本题考查反比例函数的应用,待定系数法等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于基础题. 22.(10分)(2017•丽水)如图,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E. (1)求证:∠A=∠ADE; (2)若AD=16,DE=10,求BC的长. 【分析】(1)只要证明∠A+∠B=90°,∠ADE+∠B=90°即可解决问题; (2)首先证明AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC==12,设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2﹣202,可得x2+122=(x+16)2﹣202,解方程即可解决问题; 【解答】(1)证明:连接OD, ∵DE是切线, ∴∠ODE=90°, ∴∠ADE+∠BDO=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°, ∵OD=OB, ∴∠B=∠BDO, ∴∠ADE=∠A. (2)连接CD. ∵∠ADE=∠A, ∴AE=DE, ∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°, ∴EC是⊙O的切线, ∴ED=EC, ∴AE=EC, ∵DE=10, ∴AC=2DE=20, 在Rt△ADC中,DC==12, 设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2﹣202, ∴x2+122=(x+16)2﹣202, 解得x=9, ∴BC==15. 【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 23.(10分)(2017•丽水)如图1,在△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动,点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示. (1)求a的值; (2)求图2中图象C2段的函数表达式; (3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积,求x的取值范围. 【分析】(1)作PD⊥AB于D,根据直角三角形的性质得到PD=AP=x,根据三角形的面积公式得到函数解析式,代入计算; (2)根据当x=4时,y=,求出sinB,得到图象C2段的函数表达式; (3)求出y=x2的最大值,根据二次函数的性质计算即可. 【解答】解:(1)如图1,作PD⊥AB于D, ∵∠A=30°, ∴PD=AP=x, ∴y=AQ•PD=ax2, 由图象可知,当x=1时,y=, ∴×a×12=, 解得,a=1; (2)如图2,作PD⊥AB于D, 由图象可知,PB=5×2﹣2x=10﹣2x, PD=PB•sinB=(10﹣2x)•sinB, ∴y=×AQ×PD=x×(10﹣2x)•sinB, ∵当x=4时,y=, ∴×4×(10﹣2×4)•sinB=, 解得,sinB=, ∴y=x×(10﹣2x)×=﹣x2+x; (3)x2=﹣x2+x, 解得,x1=0,x2=2, 由图象可知,当x=2时,y=x2有最大值,最大值是×22=2, ﹣x2+x=2, 解得,x1=3,x2=2, ∴当2<x<3时,点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积. 【点评】本题考查的是三角形的面积计算、二次函数的解析式的确定、二次函数的性质,根据图象确定x的运动时间与面积的关系是解题的关键. 24.(12分)(2017•丽水)如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连结BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设=n. (1)求证:AE=GE; (2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值; (3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值. 【分析】(1)直接利用等角的余角相等得出∠FGA=∠EFG,即可得出EG=EF,代换即可; (2)先判断出△ABE∽△DAC,得出比例式用AB=DC代换化简即可得出结论; (3)先判断出只有∠CFG=90°或∠CGF=90°,分两种情况建立方程求解即可. 【解答】解:设AE=a,则AD=na, (1)由对称知,AE=FE, ∴∠EAF=∠EFA, ∵GF⊥AF, ∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°, ∴∠FGA=∠EFG, ∴EG=EF, ∴AE=EG; (2)如图1,当点F落在AC上时, 由对称知,BE⊥AF, ∴∠ABE+∠BAC=90°, ∵∠DAC+∠BAC=90°, ∴∠ABE=∠DAC, ∵∠BAE=∠D=90°, ∴△ABE∽△DAC, ∴,∵AB=DC, ∴AB2=AD•AE=na2, ∵AB>0, ∴AB=a, ∴; (3)若AD=4AB,则AB=a, 如图2,当点F落在线段BC上时,EF=AE=AB=a,此时a=a, ∴n=4, ∴当点F落在矩形内部时,n>4, ∵点F落在矩形内部,点G在AD上, ∴∠FCG<∠BCD, ∴∠FCG<90°, ①当∠CFG=90°时, 如图3,则点F落在AC上, 由(2)得,, ∴n=16, ②当∠CGF=90°时,则∠CGD+∠AGF=90°, ∵∠FAG+∠AGF=90°, ∴∠CGD=∠FAG=∠ABE, ∵∠BAE=∠D=90°, ∴△ABE∽△DGC, ∴, ∴AB•DC=DG•AE, ∵DG=AD﹣AE﹣EG=na﹣2a=(n﹣2)a, ∴(a)2=(n﹣2)a•a, ∴n=8+4或n=8﹣4(舍), ∴当n=16或n=8+4时,以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形. 【点评】此题是相似形综合题,主要考查了矩形的性质,等腰三角形的判定,相似三角形的判定和性质,解(1)的关键是判断出EG=EF,解(2)的关键是判断出△ABE∽△DAC,解(3)的关键是分类讨论,用方程的思想解决问题,是一道中考常考题. 第25页(共25页)- 配套讲稿:
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