一元二次方程与二次函数提高练习题.docx
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1、一元二次方程与二次函数提高练习题一选择题(共11小题)1已知关于x的方程(m+2)x23x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A且m2 B且m2 C D2若ABC的一边a为4,另两边b、c分别满足b25b+6=0,c25c+6=0,则ABC的周长为()A9 B10 C9或10 D8或9或103(2008随州)如图,要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有()A4个B3个C2个D1个4若a,b,c为三角形三边,则关于的二次方程x2+(ab)x+c2=0的根的情况是()A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根 C没有实数根D无法确定5如果关于x的方程7x2+px+q=0的两个
2、根为2和3,那么二次三项式7x2+px+q可分解为()A(x2)(x+3)B(x+2)(x3)C7(x2)(x+3)D7(x+2)(x3)6在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是()ABCD7若抛物线y=(xm)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为()Am1 Bm0 Cm1 D1m08如图为二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象,则下列说法:a0 2a+b=0 a+b+c0 当1x3时,y0其中正确的个数为()A1 B2 C3 D49设b0,二次函数y=ax2+bx+a21的图象为下列之一,则a的值为()A1 B1 C D10抛物线y=2x2,y
3、=2x2,共有的性质是()A开口向下B对称轴是y轴 C都有最高点Dy随x的增大而增大11小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴,且向右为正向;两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴,且向上为正向,并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形关于他选择x、y轴的叙述,下列何者正确?() (第11小题图) (第15小题图)AL1为x轴,L3为y轴BL1为x轴,L4为y轴CL2为x轴,L3为y轴DL2为x轴,L4为y轴二填空题(共6小题)12定义:给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1x2时,都有y1y2,称该函数为增函数,根据以上定义,
4、可以判断下面所给的函数中,是增函数的有(填上所有正确答案的序号)y=2x;y=x+1;y=x2(x0);y=13下列函数(其中n为常数,且n1)y=(x0);y=(n1)x;y=(x0);y=(1n)x+1;y=x2+2nx(x0)中,y的值随x的值增大而增大的函数有个14在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y),给出如下定义:若y=,则称点Q为点P的“可控变点”例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(1,3)的“可控变点”为点(1,3)(1)若点(1,2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”,则点M的坐标为(2)若点P在函数y=x2+16(5xa)的图象上,
5、其“可控变点”Q的纵坐标y的取值范围是16y16,则实数a的取值范围是15如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=2,点C在抛物线上,且位于点A、B之间(C不与A、B重合)若ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为(用含a的式子表示)16如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a2b+c的值为17请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y=三解答题(共13小题)18已知关于x的一元二次方程mx2(m+2)x+2=0(1)证明
6、:不论m为何值时,方程总有实数根;(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根19某商场销售一批名牌衬衣,平均每天可售出20件,每件衬衣盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施经调查发现,如果每件衬衣降价10元,商场平均每天可多售出20件若商场平均每天盈利1200元,每件衬衣降价多少元?20阅读下面的例题与解答过程:例解方程:x2|x|2=0解:原方程可化为|x|2|x|2=0设|x|=y,则y2y2=0解得 y1=2,y2=1当y=2时,|x|=2,x=2;当y=1时,|x|=1,无实数解原方程的解是:x1=2,x2=2在上面的解答过程中,我们把|x|看
7、成一个整体,用字母y代替(即换元),使得问题简单化、明朗化,解答过程更清晰这是解决数学问题中的一种重要方法换元法请你仿照上述例题的解答过程,利用换元法解下列方程:(1)x22|x|=0; (2)x22x4|x1|+5=021阅读下列材料:求函数的最大值解:将原函数转化成x的一元二次方程,得x为实数,=y+40,y4因此,y的最大值为4根据材料给你的启示,求函数的最小值22如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是RtABC和RtBED边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”请解决下列问题:(1)写出一个“勾系一元二次方程”;(2)求证:关于
8、x的“勾系一元二次方程”必有实数根;(3)若x=1是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求ABC面积23已知点A(2,n)在抛物线y=x2+bx+c上(1)若b=1,c=3,求n的值;(2)若此抛物线经过点B(4,n),且二次函数y=x2+bx+c的最小值是4,请画出点P(x1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由24如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏写出了一个答案:y=2x2+3x4,请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏
9、幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式,请你解答25如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴,抛物线y=x2+bx+c经过B、C两点,点D为抛物线的顶点,连接AC、BD、CD(1)求此抛物线的解析式(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积26如图,抛物线y=x2bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由27已知关于x的方程
10、kx2+(2k+1)x+2=0(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标28如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m(1)足球飞行的时间是
11、多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?29为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元超市规定每盒售价不得少于45元根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?最大利润是
12、多少?(3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?30为了解都匀市交通拥堵情况,经统计分析,都匀彩虹桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度为20辆/千米时,车流速度为80千米/小时研究表明:当20x220时,车流速度v是车流密度x的一次函数(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制彩虹桥上
13、的车流密度在什么范围内?(3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度车流密度当20x220时,求彩虹桥上车流量y的最大值一元二次方程与二次函数提高练习题参考答案与试题解析一选择题(共11小题)1(2010朝阳区一模)已知关于x的方程(m+2)x23x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A且m2B且m2CD【考点】根的判别式菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中,必须满足下列条件:(1)二次项系数不为零;(2)在有不相等的实数根下必须满足=b24ac0【解答】解:根据题意列出方程组:,解得m且m2,故选A【点评】
14、总结:一元二次方程根的情况与判别式的关系:(1)0方程有两个不相等的实数根;(2)=0方程有两个相等的实数根;(3)0方程没有实数根2(2010滨湖区一模)若ABC的一边a为4,另两边b、c分别满足b25b+6=0,c25c+6=0,则ABC的周长为()A9B10C9或10D8或9或10【考点】根与系数的关系;三角形三边关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由于两边b、c分别满足b25b+6=0,c25c+6=0,可求出b,c的值,而ABC的一边a为4,由此即可求出ABC的一边a为4周长【解答】解:两边b、c分别满足b25b+6=0,c25c+6=0,解得:b=3或2,c=2或3,ABC的一
15、边a为4,若b=c,则b=c=3或b=c=2,但2+2=4,所以三角形不成立,故b=c=3ABC的周长为4+3+3=10若bc,ABC的周长为4+5=9故选C【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周长结合起来,利用三角形三边关系得出是解题关键3(2008随州)如图,要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有()A4个B3个C2个D1个【考点】一元二次方程的解;解一元二次方程-因式分解法;解分式方程菁优网版权所有【专题】计算题;压轴题【分析】本题实际是分为两种情况:(1)当x2时,有方程x22=x,分别解得x的值;(2)当x2时,由=x,解得x的值;看看究竟有几个符合题意的x的值
16、【解答】解:(1)当x2时,由方程x22=x,解得:x=2或x=1;(2)当x2时,由=x,解得:x=,x=应舍去,因而这样的x的值有3个,分别是2,1和故选B【点评】正确理解题意,把图表问题转化为方程问题是解决本题的关键4(1999烟台)若a,b,c为三角形三边,则关于的二次方程x2+(ab)x+c2=0的根的情况是()A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定【考点】根的判别式;三角形三边关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】先求出=b24ac,再结合a,b,c为三角形的三边,即可判断根的情况【解答】解:x2+(ab)x+c2=0,=b24ac=(ab)2c2=(a
17、bc)(ab+c)a,b,c为三角形三边,b+ca,a+cbabc0,ab+c0(abc)(ab+c)0,即二次方程x2+(ab)x+c2=0无实数根故选C【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系5(1998大连)如果关于x的方程7x2+px+q=0的两个根为2和3,那么二次三项式7x2+px+q可分解为()A(x2)(x+3)B(x+2)(x3)C7(x2)(x+3)D7(x+2)(x3)【考点】解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有【专题】计算题;压轴题【分析】根据方程的两根,即可将多项式分解因式【解答】解:7x2+px+q=0的两个根为2和3,二次三项式7x2+
18、px+q=7(x2)(x+3)故选C【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解,弄清题意是解本题的关键6(2015泉州)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是()ABCD【考点】二次函数的图象;一次函数的图象菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号,进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意,根据选项逐一讨论解析,即可解决问题【解答】解:A、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a0,b0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,对称轴x=0,应在y轴的左侧,故不合题意,图形错误B、对于直线y=bx+
19、a来说,由图象可以判断,a0,b0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误C、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a0,b0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象开口向下,对称轴x=位于y轴的右侧,故符合题意,D、对于直线y=bx+a来说,由图象可以判断,a0,b0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象开口向下,a0,故不合题意,图形错误故选:C【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题;解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号,进而判断另一个函数的图象是否符合题意;解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、
20、判断、解答7(2015益阳)若抛物线y=(xm)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为()Am1Bm0Cm1D1m0【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标,根据顶点在第一象限,所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组【解答】解:由y=(xm)2+(m+1)=x22mx+(m2+m+1),根据题意,解不等式(1),得m0,解不等式(2),得m1;所以不等式组的解集为m0故选B【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围,同时考查了不等式组的解法,难度较大8(2015安顺)如图为二次函数y=ax2+bx
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